Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

211쪽

EBEM. Lib. II. Cap. numeris duobus , qui substituti in aequa .

tione efficiunt omnes eius terminos eva

nescere , unus est 3 r , alter est 3 - - Ι , quorum utrumque liquet, imaginarium esse . Atque ita quoque aequationis huius x3-- 2x' ' Α-- 8 αα otres sunt radices , sed ex iis una tantum est realis, aliae verb duae suot imaginariae quum numeri, qui in aequatione illa inis cognitae conditiones adimplent, sint a so -- 4 , &- -- 4. Quemadmodum autem radices negati. vae ostendunt nobis, problema non esse rite coceptum , sed debere paulo gliter enclinciari,ita radices imaginariae indicio nobis esse possunt, problema in iis, in quibus

Proponitur, terminis contradictionem ali quam involveres. atque adeo modera

dum esse aliquo modo , qub capax fiat solutionis . Non rard enim contingit ε ut id quod quaeritur, etsi determinatum, nequeat inveniri iis conditionibus , quae apponuntur in problemate. unde, ne aequatio casus problematis impossibiles ethibeat possibiles, aequum est, ut radicesx Cansus illos ostendentes, prod*aut imagina

Id ut exemplo notissinum fiat, assu

212쪽

E E E M. Lib.II cap. 7θret conditionem illam , quae pugnat cum eo , quod quaeritur , subinde temperare ι

ut evanescat Contradictio , quae antea s

lutioni problematis obstabat. Quod quidem perspicuum est, bifariam fieri posse,

vel nempe minuendo datum intervallum, quousque non maius sit semidiametro circuli; vel, quod eodem recidit,sumendo datum intervallum ab alia recta linea , quam a diametro. Jam, quae debeat esse haec altera rem linea , 1 qua sumendum sit datum interis vallum , qud problema si semper capax solutionis, ostendit ipsa quantitas imaginaria ira a' , quae radicem ingreditur aequationis : nimirum ex centro cir-

. culi F erigatur super diametro AB perinpendicularis FG , quae quantitatem illam , ut realem , adaequet; 2 ducta per punctum G recta linea ΗI Ipsi ΛΒ parallela, erit Hl recta linea quaesita . Nec ulli dubium esse potest . quin hoc casu recta linea DC circulum secet; nam quum fiat AG - a , distabit recta linea DC a centro intervallo , semper semidiametro AF

ritque hinc modo patet veritas eius , 'quod de quantitatibus imaginariis libro primo dictum est: nimi tu in , quod in

213쪽

Geometri ρ sieuti quantitates postivae designantur per lineas tendentes ad pia gam unam , & negativae per lineas tendentes ad plagam oppositam ; ita quantitates imaginariae designari debeant per lineas, quae ad plagas i uter medias diriguntur. Nam in proposito exemplo quanistitas ob -a- , quae sumi debet supe ediametro AB hinc inde a centro F, quumo est minor , quam b ; sumenda est hinc Inde ab eodem centro super recta Gg , quae diametrum secat ad rectos angulos squum vicissim a est majors quam b. IVom constitutione aquationum, qua rum plures sunt radices. 71' Quationes, quarum plures sunt dia mensiones , 2 consequentet plures radices , constituuntur per mutuam multiplicationem sequationum simplicium , Tuae radices illas continent. ut si scienum sit , quomodo constituatur aequatiore ' 6 - o , cuius duae radicessune a , M 3 , cogitandum est, incognitam x ambigue signifieare numeros illos,& esse, tum X a, sive κ - a in Ostum

214쪽

Ε h ε M. Lib. II. Cap. δ. I r. sive π - δ α o. Nam multiplicando deinde inter se mutuli duas istas

prodibit aequatio proposita x'-rx t s

Similiter,si quaerat Rr, quae sit constitu tio huius aequationis xy-sH l a 6x-- a H O , in qua incognita x, tres hahens dimensiones , tres item radices ad mittit , quae nant a , 3 , & quia aequa tiones simplices,quae illas continent radices , sunt X a, παῖ, lax - - , hoci est x a Mo, κ---3 m o, χ π - O multiplico primum κ -- a per x - δ - Ο tum productum ex duabus hisce aequationibus κ' - rx ' 6 αα o multiplico adhuc per x -- O , δc ha-hebitur tandem aequatio proposiἔa x 9x ' a 6x- 2- Ο. Nihilo secus constituuntur aequatiOnes , quarum radices sunt negativae. Ita aequationis huius κῆ l 9x l ao - o, ubi incognita x est duarum dimensionum . utraque radicum est negativa , quum una sit . , 4 , altera-ν .undo, si fiat x -- 4 , sive κ=4 m o, v x αα - s, sive x f ς - . , multiplicando inter se muis

tub duas istas sequationes x ' in m o , ux f ς - o, prodibit aequatio proposita πη

215쪽

multiplicentur inter se mutub duat isthiaequationes simplices-- I - ον η - χ l sis o 1 orietur ipsa aequatio proposita -- 6X f p. Interim, qu9m fgdice, alicuius aequa tiopis sunt in commenlarabiles , ac radi- taleς , 2 sedes in commensurabidiatis est in eodem l llo gradψ . pd quem in AEqua-φione proposita Ricendit incognita , pote aequ/tio illa constitui per unicam tanω

216쪽

EL EM. . IIb.II. Cap. 3. regulam is periri. traditam , una ex m. qu tionibus simplicibur, quae continent radices illas , , xadicalibus liberetur . Ita si assumatur aequatio X ἔ-- s& transferendo quantitatem radicalem ad 4lter3m partem, Ritellatur utraque parsa quationis adi quadratum , fiet x- ω'9- ses, hoc est κ' - 6x l 4 m Q. ubi tamen notandum id fieri nequaquam posse , quum sedes ips mensuram bilitatis nqp est n eodem illo gradum ad quem in aequatione proposit scendit quantitas inCognita . Ita x uationis huius αῖ - 6κῆ 'ax' Iam se radicet sunt a , a se , M a - Io . Sed ae quatio ista nequaquam.constitui potest per aequationem simplice κ η' a -- Iomo , vel per hanc alia in x - a tia Io : O,.qψ .ssilicet sedes incommen hsurabilitatis est quadratum , & incognit in aequatione ad tertiam diatensionem

Sed, quae sit sedes incommςnsurabilitatis, non tan*um a signis, quibus assiciuntur Partes xadizples , verum etiam a numero . M cpnstitutione ipsarum debet diiudicari , Ita una φx radicibus aequationi hujus μ' -- Iox' t I m o,ubi incognita Quatuor habet dimens es, est Oa ' , 3 R a ' ' Et

217쪽

signo qu3dr tae radi , adhuz tamen muuatio proposita constitui potest per hana

, iam ut ea liberetur a radicatibus.

duae eis partes bis elevandae sunt -- quadratum : ex quo fit , tit sedes Lincomis mensurabilitatis in eodem illo gradu reo Periatur , ad quem in a quatione P possinta ascendit incognita, m quum a quationes, quarum plures sunt radices, constituantur per multipliscationem a quationum simplicium , quae radices inas continent 3 perspieuum est , aequationem omnem , quae plures rastices

ad mittit, dividi semper posse per bino-mium,quod compositum ' ex quantitate

ancognitil minus valore aliousus ex radicibus positivis, vel ex quantitate Inediagnita plus valore alicuius ex radicibus negati vis 3 quum id , quod multiplicati me componitur , rursus di isione resolvaposse, norissimum sit. Ita aequationis huius κδ l 'ρκα- et o dus quidem sunt radices , quaru nuuna positiva,altera- s est negari a. Itaque ad constituendam ipsam a quatIO nem necesse est , multiplicare κ - Σ

218쪽

ducitur , multiplicando x-a 'α per o,est aequatio α- l 3π -- Io - ita dividando ipsam aequationem αδ fgπ--IG- ω per binomium κἄ-as Producetur a: f ς - o, k dividendo ean dem aequationem per hoa aliud binorimium x ' ς , orietur a m Huius autem divisionis ope per lincuum est, dimensiones aequationis minuis ipsa inque aequ3tionem ad gradum in se riorem deprimi. Ita aequatio illa x319κ l go mo , ubi incognita x ites lia bens dimansiones, tres item radices adamictit , quae sunt a , , 2 - s , si dividatur per A f s , hoc est per binomium

constans incognita plus valore radicis neαgativat,otietur haec alia x -l 6 -οι ubi incognita duas tantum dimensiones habet. Et si rutis dividatur haec altera per x 3 ι hoc est per binomium , constans incognita mimis valore unius ex radicibus positivis , remanebit aequatiasmplev x - quae continet T dicem alteram politivam. Sed quemadmoduin omnis aequatio diis vidi potΦst per binomium s.compos tum ex incognita minus Valore unius ex radicibus positivis, vel ex incognita plus valore alicujus ex radicibus negativis is

219쪽

.3 st A B o E B R AE ista sit una ex radicibus aequationis ἔ PO stiva , quotiescumque coniungitur cum incognita signo - , 2 negativa, ubi cum incognita signo coniuncta reperitur . Nam id ex ipsa, qua constituuntur aequa tiones, ratione non ita est manifestum 3 quum quemadmodum una , eademque quantitas multipliciter Componi queat et 'ita suspicati aliquis posset,unam eandemque summam aequationis.multipliciter posse constitui. Dabimus itaque huius rei duplicem flemonstrationem,quarum prima haec erit. Assumatur aequatio x --6 zzz o squae quia dividi potest absque ullo residuo per x - q. Dico lare X -ῖ - O,atque adeo π - . Inveniatur enim quotiens , qui oritur ex illa divisione . Erit igitur illex, a. Itaque multiplicando 'ς - a per x g , producitur quantitas αδ - xl 6 , quae ex hypothesi nihilum adaequat. 4iocirca duae illat quantitates tales esse debent, ut quod ex earum multiplicatione producitur , sit gero , si ve nia

hil um: id quod fieri non potest , nisi fue

Hoc idem ostendemus etiam in hunc modum. Assumatur aequatio quaevis κη

220쪽

E B E M. Lib.II. Cap. 3. , absque ullo residuo per x-- a. Dieo forex a se os atque adeo x - a. Divida

tur enim quantitas x' ' px f ρ per x--s. Et quoniam in divisione , quae ex hyp thesi fieri debet sine ullo residuo, remanet

in hac aequatione si loco incognitae a sub stituatur x , fient termini eius κ' f px list, quorum summa est aequalis nihilo. Itaque, quia in aequatione o ' ρο ' ρ αα oquantitas at adimplet conditiones ipsium

si , erit a - π , atque adeo x - a m G.

Reta ratione species radicum aqua tionis cognosci possis,ostenditur. Ouot sint radices, sive valores in una

quaque aequatione , ex numero di mensionum ipsius aequationis dignosci posse iam superius indicavimus , quum Omnis aequatio tot radices habere possit, quot sunt dimensiones ejus,& non plures. Et quamquam huiusmodi principium nulla fuerit superius ratione suffultum; attamen eX tradita aequationum constitutione: nimirum , quod oriantur per multiplicationem aequationum simplicium, quae