장음표시 사용
221쪽
Geometrii sie uti quantitates positiva designantur per lineas tendentes ad plagam unam , 2 negativae per lineas tendentes ad plagam oppositam ; ita quantitates imaginariae designari debeant per lineas , quae ad plagas i uter medias diriguntur. Nam in proposito exemplo quantitas ob -a- , quae sumi debet supeldiametro ΑΒ hinc inde a centro F, quumo est minor , quam , di, sumenda est hinc Inde ab eodem centro super recta Gg , quae diametrum secat ad rectos angulos squum vicissim a est major, quam b. IVa De constitutione aequationum, quarum plures sunt radices.
IC Quationes, quarum plures sunt di- a mensiones , 2 consequentet plures
radices , Constituuntur per mutuam multiplicationem arquationum simplicium , Tuae radices illas continent . ut si scienum sit, quomodo constituatur a quatio I 6 -o , cujus duae radices sunt a , k δ , cogitandum est, incognitam x ambigue signifieare numeros illos,& eue, tum x sive κ -- a - Ο,tum
222쪽
prodibit aequatio proposita x' -- sx ' ε
Similiter,si quaeratur, quae sit constitu tio huius aequationis xῖ-sx' f a6v
- a H Ο , in qua incognita x, tres habens dimensiones , tres item radices ad mittit , quae stant a , 3 , & η ; quia aequa tiones simplices,quae illas continent radices , su ni X zma ,π α 3 , Ω κ - - , hoo est die a zzz Ο , x -- 3 - Ο , χ π - Α- o; multiplico primum κ-a in o pes X-δ απ O tum productum ex duabus hisce aequationibus x - να ' 6 αα o multiplico adhuc per x - O , ὀc ha-hebitur tandem aequatio proposita x . - 9x ' a 6x - 24 O. Nihilo secus constituuntur aequatiO- nes , quarum radices sunt negativae. It
aequationis huius κῆ l 9x l ao M o, ubi
incognita x est duarum dimensionum , utraque radicum est negativa , quum una altera-r. unde, si fiat x -- 4, sive κ f 4 m o , & καα - s, sivex φ-ει , multiplicando inter se mu tu , duas istas sequationes x ' in m o , MN ' ς - o, prodibit aequatio proposita κ'
223쪽
npsitivae artim negati v N. Ut si pon tur
tax duas habeps dirnens onyS , Praeter 'a lorem positivum ν, habebis quoque Valo.
multiplicentur inter se mutub duae istxaequationes simplices κ--χ-- is *-- 'ses m o 1 orietur ipsa aequatis proposita κ- - 6X ' η αα: p. Interin , quum radice, alicuius aequa Lliopis sunt in commensur/biles , ac radi-
tales, 2 sedes in commensurabidistis est in eodem illo gradu, gd quem in - tione Noposit) pscendit incognita , pote aequ*tio illa ponstitui per unicam tan.
224쪽
E L κ M IIb.II. Cap. g. rQulam superita traditam , una ex ae. qu tionibus simplicibus quae continent radices illas, gadicalibus libere ur . Ita
λ transserendo quantitatem radicalem ad iter3m partem, Ritellatur utraque par aequationis adi quadratum , fiet x -εη
ubi tamen notandum , id fieri nequa quam posse , quum sedes in om mensura bilitatis n qn est in eodem illo gradu, ad quem in aenuatione proposita ascendit quantitas incognita . Ita x uationis huius αῖ ,- 6κῆ l ax am p radice.
sunt a , a ' σι Q ,2 a -- Io . Sed at quatio ista nequaquam.constitui potest per aequ*tionem simplicem κ -- a - IO o, vel per hanc alia in X: Io quia stilicet sedes in commenis iurabilitatis est quadratum , & incognit in aequatione ad tertiam dimensionem ascendiis . Sed, quae sit sedes incommensurabilita tis,non tantum a signis Q quibus affiςiuntur partes xadicales, verum etiam i numero , k constitutione ipsarum debet dijudicari , Ita una xx radicibur aequationi hujus κ' ε-- IOAR't I -α o,ubi incognita
quatuor habet dimensiones, est , a '
225쪽
quatio proposita constitui potest per hana solam aequationem simplicem ' - a f. 3 , nam ut ea liberetur I radicatibus. duae elys pq rtes bis elevanda: .sunt'- ad quadratum : ex quo fit , hi sedes incomis mensurabilitatis in eodem illo gradu re Periatur , ad quem in aequatione Proposita ascendit incognita, ' Jam quum arquationes, quarum plures sunt radices, constituantur per multipli ςationem aequationum simplicium , quae radices inas continent 3 pe spicuum est , aequationem ossi nem , quae plures radi res. admittit, dividi semper posse per bino-mium,quod compositum sit ex quantitate Incognitil minus valore alicujus ex radicibus positivis, ve I ex quantitate inco gnita plus valore alicujus ex radicibus negati vis; quum id , quod multiplicati me componitur , rursus di isione resol vaposse, notissimum sit. ' - Ita aequationis huius lx ' ro
o duae quidem sunt radices, quaru nuuna a ςst positiva,altera -- s est negativa. Itaque ad constituendam ipsam aequatio nem necese est , multiplicare κ - Σ - Ο
226쪽
ducitur , multiplicando x a dia D perras o,est aequatio αδ l 3π - Io M o ita dividando ipsam aequationem αδ fg π - Io- ω per binomium a -- asproducetur x ' ς Σαα ο; 2 dividendo ean dem 'aequationem per hos aliud binorimium x ' r orietur Huius autem divisionis ope perspicuum est, dimensiones aequationis minui, ipsa inque aequationem ad gradum inseriorem deprimi. Ita aequatio illa x3 19 xl go m o, ubi incognita x tres lia bens di inensiones, tres ite in radices adamittit, quae sunt a, i 2 -- s , ii ἀNvidatur per x l s , hoc est per binomium
constans incognita plus valore radicis heis gativae,otietur haec alia xβ-l 6 meo, ubi incognita duas tantum dimensiones habet . Et si rursus dividatur haec altera per x -3 , hoc est per binomiums constans incognita minus valore unius ex radicibus politi vis , remanebit aequatiasmplev x -- Σ - Ο s quae continet T dicem alteram politivam. . .
Sed quemadmodum omnis aequatio dividi potest per binomium scompositum ex incognita minus Val Ore unius ex radicibus positivis, vel ex incognita plus valore alicujus ex radicibus negativis a
227쪽
t 6 Α ο κ i a , , VIta vicissim fi aequatio aliqua dividi pos-st per binomium , constans ex incognita plus, vel minus altera quantitate cognita, Indicio nobis esse potest , quantitatem Illam cognitam esse unam ex radicibus a quationis ue positivam, siquidem conJugatur cum in coemta' signo -- ; negativam, si ad binomium constituendum signo fcum incognita coniuncta reperiatur. Ut si fuerit aequatio x3 - 6x - νκ ετο - o , quia dividendo eam per x - 4, vel per x - s divisio sit cexacte , quum
in primo casu oriatur haec altera x ΣX -- Is Σα o , in secundo verb ista x --Iκ Il meos concludo numeros 4,& ς esse radices positivas propositae aequationis.Εt quia eadem aequatio dividi quoque potest per xl 3 , quum oriatur in quatiente aequatio duarum dimensionum - - 9x ao - Ο , erit eiusdem a quationis radix negativa numerus et .
Vicissim autem,si aequatio aliqua dividi non possit per binomium, compositumeat quantitate incognita plus, vel minus certa alist quadam quantitate cognita, argumento erit, quantitatem hanc non esse valorem alicu us ex eius radicimus. Ita mquatio superior x3 6x-- x f 6o, o dividi quidem potest per X - 4, per
228쪽
vidi potest. pet x plus,vel minus quo maque alio numelo i id , quod ostendit ι aequationem ipsam non posse admittere alias radices, praeter hasce eres ἔ ι η ,α ς, quarum prior est negativa, alite verb duη sunt positivae. Atque hinc ag cognoscendum , num aliqua quantitas sat radix alicurus aequationis , nec ne, non modo illud nobis v lut craterium esse potest , scilicet inquir se, num substituta quantitate illa loco
incognitae in aequationes ejus conditiones adimpleat, hoc est,essciat aequationis teris minos omnes evanescere , verum etiam
obtineri potest talis cognitio ope divisio nis, videlicet dividendo aequationem pro positam per binomium ι conssans in magnita plus, vel minus data illa quantitate. Nasti si di isio fiat absque ullo residuo rie data illa quantitas una ex radicibus a quationis , secus verιι si divisio exa ah fieti nequeat. Verum enim verb ι ne ullum hu duabium Lectotibus maneat , det lonstrati ne oportet sulciamur , quoἡ si utique ais
quatio aliqua dividi posse per binomius compost uni ex incognita plus , vel nit-nus data aliqua quantitato 3 quan sitas
229쪽
rra A B o E B R AE. ista sit una ex radicibus aequationis , PO- stiva , quotiescumque coniungItur cum incognita signo -- , Ω negativa, ubi cum incognita signo coniuncta reperitur. Nam id ex ipsa, qua constituuntur aequa tiones , ratione non ita est manifestum uequum quemadmodum una s eademque quantitas multipliciter Componi queat et 'ita suspicati aliquis posset,unam eandemque summam aequationis.multipliciter posse constitui. Dabimus itaque huius rei duplicem demonstrationem,quarum prima haec erit. Assumatur aequatio x- - sx ' 6 o . quae quia dividi potest absque ullo restia duo per X -- g. Dico fore X - ῖ - O,atque adeo x - . Inveniatur enim quotiens , qui oritur ex illa divisione . Erit igitur illex, a. Itaque multiplicando κ - a per x g s producitur quantitas
α' -- sx f 6 , quae ex hypothesi nihilum
adaequat. os ocirca duae illat quantitates tales esse debent, ut quod ex earum multiplicatione producitur , sit gero , si ve ni
hilum: id quod fieri non potest , nisi fuerit tam quam x - Σ - Ο.r Hoc idem ostendemus etiam in hunc modum. Assumatur aequatio quaevis κη
'pxf ρ - o, quae dividi po1sit exacto
230쪽
E B E M. Lib. I. Cap. g. , s tabsque ullo residuo per x-- a. Dieo fore
tur enim quantitas x' ' px ' ρ per Et quoniam in divisione , quae ex hyp thesi fieri debet sine ullo residuo, remanet
in hac aequatione si loco incognitae a sub stituatur x, fient termini eius κῆ f px fg, quorum summa est aequalis nihilo. Itaque, quia in aequatione a ' ' pa ' ρ αρο oquantitas x adimplet conditiones ipsium
ratione Decies radicum aqua tionis cognosci possis exuitur. Ouot sint radices, sive valores in una
quaque aequatione , ex numero di mensionum ipsius aequationis dignosci posse iam superius indicavimus , quum umnis aequatio tot radices habere possit squot sunt dimensiones ejus,& non Plures. Et quamquam hujusmodi principium nulla fuerit superius ratione suffultum attamen ex tradita aequationum constitutione: nimirum , quod oriantur per multiplicationem arquationum simplicium squae