장음표시 사용
231쪽
quae continent radices illas, facilὴ nune erit illud ostendere. si enim fieri potess, habeae a quatis
aliqua duarum dimensionum tres radices, quae sint a m o, x o, v x-ις - ci . Itaque ii multiplicetur aditio per X - , et et o , pro lucetur eadema quatto 3 qua: utique orietur ι multiplicando x - a Σα o per x c α . Jam veth ex illa multiplicatione oritur equa
profluit haec altera xy -- ax --s ac igitur duae istae aequati Ines acta erunt inter se mutub diversas , adeoque conserendo terminos unius cum terminis alterius , habebuntur duae aliae aequationes ax t bae in ax l cx , ic ah me ac , ex quarum ait rerutra insertur 5 c,hoc est, quod tertia radix assumpta iit eadem eum secunda. Jam quae sit species radicum arquati nas , quotiescumque sunt reales, 2 noarmaginariae, hoc est , quot ex iis radicibus sint positivae , It quot negativae s cogno sci potest per hanc regulam s nimirum iit omni aequatione tot positivas haberi poci se, quot variationes reperiuntur signo-sulari ' , V - , δε tot negativas , quot vlcibus ibidem deprehenduntur duo signa
232쪽
E E E M. Lib. s. Cap. 7. 1yst , vel duo signa - , qua se invicem quuntor. ianae aecla idem regula ex ipsa,
qua constituuntur aequationes . ratione
abunde tolligitur. ut si constituenda esset ori natio ε qme fluas habeat radices positivas a , & g supponenilum esset x in I , si is x ;. Rem o , & xm g 3 si ve 3 oue tum deinde multiplicandum A: - 2 - per ω - g o , quum quae inde producituuae' - sx ' 6 o si aequatio quaesita . Et quoniam in hac aequatione post terminum x , assectum fgno i , ha 'tur terminus yx , affectus signo -- , quae est una signorum variatio, M post tetmi-nnm sx , affectum signo - , habetue te
minus 6; assectus signo ' , quae est sensesum variatio altera , liquet in aequatione ista κῆ --sx t 6 dies o, propter duas radices positivas , duas item signottiis vari tiones reperiri. similiter, si consiliuere oporteat aequa tionem , quae duas habeat radices negati vas - a , - g , supponendum esset x mΣ , sive x ' a o , di 2α-- :l , sivex ' δ αα o ; tum deinde debereo multi
aequatio s quae ex hac multiplicatione
Producitur , κ' f sx t 6 o sit illa ι quam
233쪽
λ ea Raquam oportet constituere. Et qudniam in hac aequ'tione post terminum x , an
lectum signo l, habetur terminus sx, tamiliter assectus signo ' , post quem sequitur terminus 6 , qui itidem assicitur signo ' ; per picuum est in aequatione istare lyxf6mo ,propter duas radices nerstativas, duas esse limilitudines signorum. Atque ita quoque, si constituenda esset aequatio , ubi incognita praeter radicem positivam s , aliam habeat negativam a s ponendum esset x M s, si ve x - 1 in o , Se x - - a , sive X f a m o, tum deinde oporteret multiplicare X - ,- ω Per x f a o , quum quae inde produci
quam oportet constituere . Et quoniam in hac aequatione post terminum x- , aia sectum signo i , sequitur terminus I x saffectus signo --, post quem habetur terminus ro affectus item signo - , liquet in aequatione ista x -δου - , IC os Propter duas radices , positivam unam, negativam alteram, unam item ligno xum variationem , Se una in signorum si is militudinem reperiri.
Λd eundem itaque modum, si scire velim , quot sine radices politi vce ,' quoenogativae i9 hac aequatione κε - 4x3
234쪽
ryx Io6κ - rao - Ο, ubi incognita ad quatuor dimensiones ascendit, aeeonsequenter quatuor radices admittits considero signa , quibus termini ipsius assiciuntur . Et quia in ea tres reperio si gnorum Variationes , ge una signorum similitudinem,concludo ex quatuor radicibus tres esse politivas , δε unam negati a.
Quod quidem perspicud est , nam radicem quatuor illiu aequationis sunt a, g , ο,κquum unusquisq; horum numeroum incognitae x conditiones adimplea . - Sed hὶc sedulb notandum est, regulam illam tunc demum sibi locum vindicare. quum radices omnes a quationis sunt' reales; at ubi radicets aliquae fuerint ima ginariat,tunc regula nequaqua nobis usuresse potest . Sic in aequatione x- - Σπ' Io O, ubi incognita x duas radices
debet habere , dispositio sienorum indi cat utramque illa ium rad Icum esse positivam Finge iam x ' - - Ο ,2 multi 'Plica aequationem illam x- -- ax ' Io Q per X l 4 - o , ut prioribus adda itur una radix negativa, 2 prodibit ae
deberet habere duas radices positivas , Munam negativam , quum tamen , si signR
QBsdores , quibus termini ipsius assi,
235쪽
. A B E B R AE teiuntur, omnes eius radices sint negati, vae . Quorsum itaque istud P nimirum quia radices duae prioris aequationis x- Ici o non sunt reales , sed ima-
Caeterum haec eadem regula potvi etiam applicari aequationibus, ubi aliquis ex perminis intermediis deficit x nimirum, si supponatur terminus ille deficiens primo flectus signo' , tum affectus signo --, 2 invoniantur in utraqu hypothesi radices , quas cum termino itala deficiente ostendunt glii duo hinc inde existentes . Ouum enim perinde sit, sive terminum illum deficientem consideres affectum signo Φ, sive signo - , si
ex utraque hypothesi eaedem radicςs. exuantur , certum est radices Illas tales esse , qualos inveniuntur , ubi quidem aequationis radices sunt reales , quod si veri xb radices, quae pruuntur ex utraque hypothesi,non sint eaedem, tunc indicio no
hi esse porist, duas illas radices imabi
- Ut si scire velim , cuius speciei sint
duae radices, quas gdmittit aequatio duarum dimensionum xy --, 9 o , ubi se cundus torminus deficit , suppono termi
236쪽
E t a M. Lib. II.ς p. g. Isigno i , deinde affectum signo . Et
quia in utraque hypothesi una ex. radιCimbus prodir positiva , altera negativa
conclμdo aequationem x--. 9 O unam ha b re r dicem positivam , alteram n .
quatio κ' ' 9 ata o , quia suppo endo terminum deficientesa signo f, utraque radicum prodit negativa i iv Vimcillim utraque politiva , quum ponitu affectus sig io-- , consequens est , ut du illius aequationis radices non sint reale νsed imaginaxi . . Similiter , si scire vel Im , cuius speciei sint duae radices, qua erui d4bent ex tri bus pxioribus terminis hujuν aequatiatin
lant reales, luppono primum, quod ter, minus deficiens assiciatur signo ' , erit que illarum radiςum una n*gativa ,κ alis tera posti 'a. Et quia eiusdem prodeunt speciei , quum terminus deficiens ponitur affectus signo .-- , ponpludo, radices illas tales revera esse . atque adeo aequa tionem ipsam duas habere radices negati 'as , & unam positivam. Sed si propona tur aequatio κῆ l 4x-- 36 - o , quia non eaedem sunt radices , quae in utraquφ
hipottasi pa tribus prioribus terminis
237쪽
s 6o A L E B R .m eruuntur, concludendum est , duas illas radices , non quidem reales, sed imaginarias esse.
Λtque ita quoque si scire cupiam , cuisius speciei sine duae radices , quae colligi debent ex tribus postremis terminis huius aequationis x3 ---l a m o,in qua omnes radices sunt reales 3 considero pri- md in terminum deficientem affectum signo f, eritque illarum radicum una politiva , altera negatiVa . Et quoniam huius etiam oriuntur speciei, ubi terminus deficiens ponitur affectus signo concludo tales revera esse radices illas,ac proinde aequationem ipsam duas habere radices politivas, D unam negativam.
Sed si proponatur aequatio τ' ' ax' lasa
o , quia non eaedem sunt radices, quarere tribus postremis terminis in utri que hypothesi eruuntur , consequens est, ut duae ille radices sint imaginariae, & non
Ex quibus liquet, traditam regula pro cognoscenda specie radicum , ubi unus terminosum deficit,cdtrahi posse in hunc modumi nimirum, quod ex duabus radiis bus , quas termini hinc inde existentes exhibere debent cum termino deficiente, . una sit positiva, A altera negativar quum
238쪽
E A E M. Lib. II. Cap. 3. I 61 diversa sunt signa illorum terminorum, 2 aequationis radices sunt reales , at verb , quod utraque sit imaginaria , si e Tundem terminorum eadem fuerint signa . Quotiescumque enim diversa sunt signa terminorum , hinc inde a deficiente termino existentium , tunc in utraque xypothesi Kna ex radicibus prodibit politi Va, altera negativa . Sed, quum illorum terminorum signa sunt eadem ι eo casu in una hypothesi erunt ambae politivae., in
Et si autem sit signum certissimum siluas illas radices imaginarias esse , quum termini , hinc inde positi a termino deficiente, eadem habuerint signa; non hinistainen indicio semper esie potest easdem
illas radices reales esse , quotiescumque eorundem terminorum diversa fuerint signa . Ita aequationis hujus κδ - π- o radices duae sunt imagi uariae : qu
circa si multiplicetur per x ' Α - ο ν
quae inde orietur arquatio κῖ - Iox fa M. O . duas habebit radices imaginarias j ω unam realem negativam , quum
tamen termini, hinc inde existentes a termino deficiente , diversa signa habere re- Periantur . Itaque , ut concludi pollit ex duabus illis radicibus unam esse poti-
239쪽
162 A B G E a R AEtivam , alteram negativam , nequaquam sufficie, diversa esste signa terminorum, hinc inde a deficiente termino existen tium , verum etiam opus est 1 ut aequaritionis radices sint reales. Caeterum ex tradita regula cognosce nindi, quot sint' radices positivae , 2 quot
negativae in omni aequatione , facile erit efficere, ut in una , eademque aequatione Iadices omnes, quae negativae erant, evadant positivae ; oc ut eadem opera Omnes lillae, quae positivae erant, negativae fiant: nimirum mutando signa omnia , quae in secundo , quarto , sexto , aliisve terminis reperiuntur, qui per numeros pares designantur ι reliquis primi, tertii , quinti, similiumque terminorum, qui designantur per numeros impares , non mutatiS.lle si loco huius a quationis X Αχ3-- I9κ Io6x-- Iaci , ubi in Cognita x tres habet radices positiva as 3,ο,& unam negativam s , scribatur κ' f
bidur aequatio, in qua una tantum est L. diα posititiva , quae est y , 2 tres reliquae a quae antea erant positivri , nunc sunt negativae.
240쪽
Nosnulla circa radices imaginarias mquationum Uyenduntur.
ΡRiusquam huic Capiti finem impo
namus,ostendenda sunt nonnulla circa radices imaginarias aequationum . Et
primb quidem , quod istarum radicum numerus semper sit par : nimirum, quod in omni aequatione , quae sit legitimereducta,ac praeparata non nisi duriquatuor, sex,&C. radices imaginariae possint occurrere. Id in ex epio su perius adducto de recta linea, quae ducitur a quid istanter diametro circuli ad datum intervallum , abunde liquet. Nam radices duae s quae determinant duo puncta sectionis, sunt ambae reales , quum datum intervallum est minus semidiametro circuli , fiunt aequales , quum idem in larvallum est aequale semidiametro, M verb evadunt ambae imaginariae, quum eadem semidiametro fuerit maius. Sed generalem oportet huius rei demonstrationem asseramus. Nimirum, quia aequatio supponitur legitime reducta , ac praeparata , in ea sicuti nulla erit quantitas realis radicatis,