장음표시 사용
241쪽
.I64 Α Β o E B R AElta nulla erit quantitas imaginaria . Itaque radices ipsius aequationis eiusmodi debent esse, ut quum eae ad constituendam a quationem multiplicantur inter se mutub , evanescat in commensurabili tas , evanescat contradictio radicum . Sed quum quantitates , quae multiplicantur inter se mutub , sunt imaginariae , ipsa-Tum contradictio nequit evanescere,nisi earundem numerus fuerit par 3 quum, nonnisi duie quantitates imaginariae Perse mutub multiplicatae producant quantitatem realem ; χ omnis quantita S ima ginaria , ducta in quantitatem realems Producat quantitatem alteram similiter imaginariam . Quare in omni aequatione numerus radicum imaginariarum Parsemper esse debet. Ex eo autem , quod radices imagina-xiae occurrant in a quationibus semper
in numero pari ue perspicuum est aequationes illas , quae sunt tertii, quinti s suptimi, aut alterius cuiusque impariS gramdus , unam ad minimum radicem realem
habere 3 nec proinde omninb impossibilia esse posse problemata , ad quae aequationes illae referuntur riuum iis fieri positi satis,saltem per radicem illam re lem, quam illae a quationes admittunt. Δα
242쪽
An non ergo exinde ratio est deducenda praeclari illius theorematis , quod innuit vir summus Isaac Ne. tonus in anu meis ratione linearum tertii ordinis , quod lineae omnes ordinis primi, tertii , quinti, septimi ,2 imparis cujusque duci habeant ad minimum crura tu infinitum versus plagas oppositas progredientia PNam utique lineae istae per a quationes eiusdem gradus definiuntur εχ norunt Geomeiatrae crura linearum ad aliquem terminum sisti , nec ulterius progredi posse a quia ordinatae ipsarum evadunt imaginariae . Sed id fusids ostendera non est huius loci , 2 lassiciat illud indicasse.
secun db radices imaginariae a quati num possunt esse, vel purae, vel mixtae, sive a me . Dicuntur purae , quum non ni si quantitates imaginarias Continent. Vocantur veru mixtie,sive affectae, quum ex realibus , Sc imaginariis constant . Ita aequationis huius κ' 3 in o radices duae sunt imaginariars sed earum utraqua est puta , quum una sit altera Sed radices duae alterius istius ae quationis x x ' 6 - ω sunt qui isdem imaginariae , verum utraque mi Κtas sive assecta . Nam si transferatur ad alte xam partem a quationis ultimus termiis
243쪽
nus 6 , 2 addatur utrique parti quadratum ex quantitate cognita secundi teriamini dimidiata , extrahendo hinc inde
Qusmadmodum autem ex duabus radicibus alicuius aequationis, nequit una esse realis , 2 altera imaginaria , sed debent vel ambae esse reales , vel ambae imaginariae; ita quoque ex duabus alicuisius aequationis radicibus imaginariis, ne- . quit esse una pura , 2 altera mixta , sed debent vel ambae esse purae, vel ambae mixtae ι quum aliter contradictio non eva nesceret. Quin etiam quemadmodum, quum utraque radicum imaginariarum est pura . ad tollendam contradictionem necesse est, ut communis utrique radici sit quantitas imaginaria 3 ita quoque quum ambae radices sunt mixtae, ut evanescat Contradictio . oportet communem esse utrique radici tam quantitatem imaginariam , quam quantitatem realem. Sed sive radices duae imaginariae aliis cuius aequationis sint purae, sive mixtae, semper quantitas ipsa imaginaria , utrique radici communis , contrariis signis
debet in iis reperiri . Quod exinde quoque colligi potest , quia si idem in il- lis
244쪽
lis sonum haberet,contradictio non eva-
nesceret, quotiescumque radices illae ad constituendam aequationem multiplicantur per se mutuli . Et eadem ratione si radices imaginariae suerint mixtae, quan titas realis, utrique radci communis,de bet eodem signo in iis reperiri . Ita si ponatur x - a s - η et O , ιχ κ-2-. - δ Σα o , atque duae istae aequationes multiplicentur per se mutub , in ea, quae producitur , evanescet quidem contradictio : pariterque evenascet, si aequationes
simplices, quae inter se mutub multiplicantur , fuerint x ' a ' ἄ- ὸ - o , χα f a - - o . Sed quocumque alio modo assumantur aequationes simplices , numquam equidem fieri poterit, ut per earum multiplicationem evanescat contradictio. Atque hinc patet, aeuuationis secundi gradus , cuius duae radices sunt imaginariae, ultimum terminum signo ' affectum esse oportere. Nam aequationes simplices , quae per mutuam ipsarum multiplicationem Consti tuere possunt aequationem secundi gradus , quae habeat duas radices imaginarias , debent esse, vel huius formae x - a m Q ,2 X a -- γ - b o , vel etiam alterius
245쪽
168 A L G E B R AE istius aetas by o , 2 x ' a --. - Ο : 2 prosectb utroque casu aequatio , quae producitur , habe hit ultimum terminum affectum signo '. Nam quum fuerint prioris format,orietur aequatio x- - aax ' a l by o, quum uerb fuerint formae posterioris , producetur aequatio x aax la ' h- - o . Atque idem liquet quoque , si radices imaginariae fuerint purae ; nam si multiplicetur x - -ba in oper o bl α O , prodibit aequatio x b- - o. Jam quum ultimus terminus aequatio nis secundi gradus , cujus duae radices sunt imaginariae, assici debeat signo ' ueperspicuum est in iis aequationibus secundi gradus , in quibus ultimus terminus reperitur affectus signo . , radices duas nequaquaquam posse esse imagina rias. Sed non hinc generaliter colligi d bet, imaginarias esse radices duas illius aequationis secundi. gradus , cuius ultimus terminus vicissim afficitur signo', quandoquidem id dumtaxat Iocum habet in iis aequationibus, in quibus ultimus terminus reperitur quidem affectus
seno ' , sed est maior quadrato , quod
fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata 3 ut patet in utraque istarum
246쪽
dices du:e sunt imaginariae. Nam ultimus terminus a 'θῆ maior est, qu ma quadratum , quod fit ex semisse quantitatis cognitae secundi termini. Interim radices aequationis secitdi gradus , in qua deficit secundus terminus, x ultimus afficitur signo ', erunt semper imaginariae. Quod quidem , etsi ex iis, quae articulo antecedenti dicta sunt, sua sponte sequatur, quum termini, hinc inde existentes a termino ceficiente , eodem
signo sint affectis idem tamen colligi quoque potest ex regula mox tradita . Sunt enim radices duae aequationis secundi gradus imaginariae, quum ultimus terminus
assicitur signo ' , R est maior quadratos
quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata . Unde quia, quum deficit secundus terminus , praedictum quadratum est etiam nullum,adeoq; ultimus terminus ipso semper est maior, proinde consequens est, ut radices duae aequa tionis secundi gradus , in qua deficit secundus terminus , 2 ultimus afficit ut sieno i , sint semper imaginariae.
247쪽
C A P. IV., De multiplici aequationum trans firmatione.
I Ranssormari dicimus arquationem
aliquam , quum in aliam mutatur eiusdem gradus, cuius radices habeant datam quandam relationem cu radicibus prioris et adeo , ut cognitis unius radicibus cognoscantur etiam radices alterius. Hujusmodi aequationum transformatio, que multifariam fieri potest,varios nobis suppetit usus , tum ad praeparandas , ac reducendas, cum item ad resolvendas aequationes . tinde, veluti rem maximi momenti, visum est illam seorsim hoc capite prosequi. Et si autem variis modis transformari possint aequationes , nec scio num omnes queant exa iste recenseri , praecipui tamen , δε qui maioris usus esse videntur,illant, qui fiunt additione , subtractione, multiplicatione , I divisione. Etsi enim radices alicuius arquationis nos lateant, possunt tamen data aliqua quantitate augeri, vel minui ; aut etiam per datam aliquam quantitatem multiplicari , vel di-
248쪽
ΕBEM. Lib. I. Cap. 4. III dividi prosectd quum sic augentum vel minuuntur , aut in hunc modum multiplicantur , vel dividuntur ι muta bitur ipsa aequatio in aliam , cuius radi ces ad radices prioris datam quandam habebunt relationem. Itaque in hoc capite prImb quidem ex plicabimus modos transformandi aequationes, qui fiunt additione, k subtractione, hoc est augendo, vel minuendo radices ipsarum data aliqua quantitate 3 tum eos asseremus, qui fiunt multiplica tione , 2 divisione , hoc est multiplicando , vel dividendo radices earundem sequationem per datam aliquam quantitatem. Sed ut intelligant Tyrones quorsum haec omnia tendant, propriis suis locis tisus etiam indieabimus , qui ex huiusmodi transformationibus deducuntur.
De transformationibus aequationum, qua funt additione , ct subtractione.
ADditione , vel subtractione transformantur aequationes, quum radices ipsarum, quantumvis incognitae, data aliqua quantitate augentur, vel mi
249쪽
t 'a A L ci R a R AEnuuntur . Jam autem ad augendas , vel minuendas radices alicuius aequationis data aliqua quantitate , Oportet tantum In locum incognitae quantitatis substitatuere aliam auctam , Vel diminutam data illa quantitate ; nimirum auctam , si radices propositae aequationis minuendae sint quantitate illa data , & diminutam, si vicissim sint augendae: atque loco pri ris incognitar hanc aliam sic auctam, vel diminutam ubique in aequatione subr
ut si augere velim nu muro ternario radices huius arquationis xῖ -- 9x f a6x
menda est alia F, cogitandum aliam ista cognitam I maiorem esse , qu-m x , ipso numero ternarior adeo , ut habeatur x f3 Σαγ, sive A MI . Nam si deinde in aequatione ipsa loco x scribamus ν-δ, Ioco αδ quadratum ex I - δ , quod est F - - Θ l 9,st loco x3 cubum ex P - g, qui est y3 - D' ' a F-, a s quemadmodum factum hic vides , prodibit loco ipsius '
250쪽
haec altera I 3-3 ' Ιου -- 2I scuius radices numero ternario superant radices illius. Sunt enim radices propositae aequatio nis xῖ - 9x a6X -- a 4 o numeriisti a , , & 4 , nam quisque horum numerorum , substitutus in aequatione ipsa loco incognitae X , eius conditiones adimis plet , faciendo, ut aequationis termini omnes contrarietate signorum se mutuli destruant. unde si radices alterius hujus aequationis κῆ --Ι - Φ IO 2- a Ioo ternario excedant radices illius , eas utici; non alias esse oportet,quam s ,6, 9 et proindeque quia quilibet horum numerorum, subrogatus in aequatione loco incognitae 3, praestat illud idem, quod prae stare debet incognita i liquqe utique proin post tum Similiter , si minuere velimus numero hinario radices hujus aequationis x3
Iax' ' Α π6o- o , sumenda est lo- eo incognitaex alia 3, putandumque hanc aliam