장음표시 사용
251쪽
1 Α r. ci E B R AEaliam incognita ' majorem esse, quam x, ipso numero binario radeo , ut habeaturpe -IMa. Nam si deinde in aequatione
quemadmodum hὶc factum vides, orietur
haec altera F3-6v I--6 m os Cujus radices numero binario deficiunt 1 radicibus illius. Sunt enim radices propositae aequationis x3 -. Iax f et x - 6oseo numeriisti r , 4, M s , quum quisque horum numerorum, substitutus in aequatione loco ipsius incognitae x, adimpleat ejus condi tiones , essiciendo , ut aequationis term ni omnes contrarietate signorum se mu- tu , destruant. Itaque , si radices alterius hujus aequationis 33 - Θ f r Iν-- 6- o numero binario deficiant a radicibus illius , eae utique non aliae poterunt esse , quam I , a , 2 3 . Unde,quia quilibet horum numerorum,substitutus in ae quatione loco incognitae a, adimplet con-
252쪽
E L E M. Lib. II. Cap. . 17 sditiones ipsius incognitae; consequens est,
ut radices aequationis revera sint numeri
Jam augendo hac ratione radices aris quationis , perspicuum est , quod si in arquatione radices partim sint. positivae, partim negativae , positivae quidem au
geantur m negativae verb minuantur e
dem quantitate. Sic in aequatione ista x ' x- o , in qua una ex radicibus a est positiva , altera 6 est negativa, si velim augere numero binario radices ipsius, mutabitur ea in hanc aliam 3 - -υ -- I s m O, in qua radix positiva, ut ' pote ς, est aucta numero ternario, sed radix negativa , utpote' est diminuta nu-
Neque mirum, nam quantitates negativae per additionem aliarum positivarum minuuntur, A non augentur . Sed augendo radices aequationis data aliqua quantitate , potest etiam una ex radicliabus negativis prorsus evanescere , nimirum , si data illa quantitas aliquam ex radicibus negativicadaequet. Quin etiam si quantitas , qua augeri debent radices aequationis, fuerit maior una radicum negativarum, tunc radix illa ex negat ,a fiet positiva. .
253쪽
. x 6 A B E B R IEΗine, si quantitas, qua augentur radices aequationis , fuerit major unaquaque radicum negativarum , tunc omnes illa
radices fient positivae, k termini illius, in quam mutatur aequatio proposita imgna i , 2 - alternatim habebunt. unde vicissim , si augendo radices alicuius aequationis, alia oriatur, cujus termini
habeant alternatim signa ' , Ω - , tunc
eertum erit, quantitatem illam , quis au gentur , unamquamque radicum negativarum excedere , atque hac ratione perspicuum est,nullo negotio cognosci posse,
intra quem terminum radices negativae alicuius aequationis Consistant. Vicissim autem minuendo radices ae
quationis data: aliqua quantitate , perspiacuum est , quod si aequatio radices admittat partim positivas , partim negativas spositivae quidem minuantur , negativae Verb augeantur eadem quantitate . Sic iaaequatione ista κ- - ax - I s in Os iu qua una ex radicibus f est positiva, altera 3 est negativa, si velim minuere numero ternario radices ipsius , mutabitur ea In hanc aliam 3 ' - I a m o, in qua radix positiva , utpote a , est diminuta numero ternario , sed radix negativa, utpote 6 , est aucta eodem numero ternario. 'd
254쪽
: Quod rursus non mirum videri debet, nam quantitates negativae per subductionem aliarum positivaru in augentur εχ non minuuntur. Sed minuendo radices a 4
quationis data aliqua quantitate,fieri potest, ut una ex radicibus positivis pro sus evanescat, nimirum si data illa quantitas radicum positivarum aliquam adaequet. Quin etiam si quantitas , qua mi rui debent radicex aequationiS,suerit maior una ex radicibus positivis, tunc radix illa ex positius fiet negativa. Hinc, si quantitas, qua minuuntur radices aequationis, fuerit in Mor unaquamque radicum positivarum, tunc omnes illae radices fient negativae , Se termini illius , in quam mutatur aequatio propotata,omnes assicientur signo l. unde vicinsim , si minuendo radices aequationis, alia
oriatur , cuius termini omnes assiciant ut
signo ' , certum erit, quantitatem illam,
qua minuuntur, unamquamque radicumpositi varum excedere : atque hac ratione
facile quoque erit inquirere , intra quem terminum consistant radices positivae alicuiuS aequationis. Geterum , quia non rarb usuveniet, ut eius , in quam mutatur aequatio Pro-Posita , augendo , vel minuendo radiceS
255쪽
iν8 A E O E B R AE ipsius , dumtaxat ultimus terminus sciri debeat 3 proinde non abs re erit hὶc ad notare , ultimum hunc terminum nullo negotio haberi posse, si latum in aequatio-no proposita scribatur loco incognitae ipse qualitas,qua radices augeri debent,vel minui . Sed in hac substitutione consider ri debet quantitas illa , velut affecta signQ -s quotiescumque radices augenda: iunt ea quantitate ; & verd consideranda est velut affecta signo i , quum radicos eadem illa quantitate minui debent. Hac ratione , si radices istius a quatio uia ' a 6x a 4-ci augendae sint numero ternario , prodibit loc eius haec alia '3 - 1 l Io -
O,Culus ultimus terminus est ε- a Ior
' δεπ-- a ponatur Dubicumque reperitur xi fient termini eius - Στ-8I-78 - a , quorum summa' est a Ira . Atque ita quoque , si radices istius aequationis x3 - 1ax ' 47X -6o minuendae sint numero binario, habebitur loco eius haec alia Ia --6 1 IF - 6 - o , cuius ultimus terminus est 6 ; & si utique in ipsa aequatione κῆ - iax 'x ,-6o - Ο, ponatura r ubicumque reperitur x , fient termi ni
256쪽
I Ransformationes aequationum, quae fiunt additione,& i ubi raetione, hoc est augendo , Se minuendo radices a quationum data aliqua quantitate , varios nobis suppetunt usus , potissimum tamen in id nobis inserviunt , quod ipsarum ope tolli semper possit secundus terminus ex omni a quatione. Si enim radices alis uius aequationis, ubi secundus terminus asscitur signo ', augeantur quantitate cognita secundi termini , divisat per numerum , ipsius a quationis gradum ostendentem , iam nova orietur aequatio , in qua deficiet secundus tetin minus. Et similiter, si radices alicuius e quationis , In qua secundu S terminus reperitur assectus signo minuantur ea Parte quantitatis cognitae secundi termini , quam ostendit idem gradus a quationis, nova etiam prodibita quatie,secundo
257쪽
ia' ' 8 loco xῖ . Qua ratione haec alia prodibit aequatio F 3 - agy f 38 o ,
in qua non modb radices diminutae rein periuntur numero binario , Verum etiam secundus terminus deest.' Itaque, quia radices alicuius aequatio . nis augentur data aliqua quantitate , si loco incognitae , in aequatione Contentae salia substituatur quatitate illa diminuta;& vicissim radices alicuius aequationis minuuntur data quadam quantitate,si in ipsa aequatione loco incognitae alia subrogetur , aucta quantitate illa: perspicuum est , quod ex unaquaque aequatio ne tolletur secundus terminus, si loco in cognitae ipsius aequationis substituatur. incognita altera , aucta, vel diminuta ea Parte quantitatis cognitae secundi teris mini , quam ostendit gradus arquationis: nimirum aucta , si secundus terminus sieaffectus signo -- , Ω vicissim diminuta, si
Hujus regulae rationem adscribere,sua su perfluum existimatquum nemo,Opinor,.st,qui illam non percipiat, si sedulo alte dat ad haec duo . Primum , quod si quan titas quaecumque , duabus partibus constans , ad potestatem aliquam attollaturm .
258쪽
18 A E G E B R IEpartes illae in term nis intermediis ad omnes alias potestates in seriores ordine elevatae reperiantur. Et alterum, quod in quacumque potestate radicis , duabus partibus constantis , coessiciens secundi
termini sit ipse potestatis exponens . Ex his quippe duobus principiis, a nobis iam superius ostensis , adducta regula is
cili negotio derivatur. Caeterum in e Xaminandis aequationibus , praestat ex iis secundum terminum tollere , quia hac ratione omnes alicujus gradus aequationes ad pauciorem nume-Tum reducuntur. Ita aequationes secundi gradus, si omnibus terminis sint repletae, Pro diversitate signorum , quibus assici possunt ipsarum termini, ad has quatuor formulas reducuntur. κ- - px -- ρ - .
quum tamen , si tollatur ex iis secundus terminus, vel induent hanc formam x - ρ - sin qua una radix est vera, alis tera falsa ue vel etiam hanc aliam x in o , cuius ambae radices sunt imaginariae. Si-
259쪽
similiter, si in aequationibus terili gradus nullus desit terminorum intermedio rum, possunt omnes pro diversitate si gnorum , quibus ipsarum termini affici queunt, ad sequentes octo formulas revo cari ι
num tamen si ex iis auferatnt secundus terminus , reduci poterunt ad aliquam sequentium quatuor formularum.
aequationibus secundi gradus , non modbad pauciorem numerum reducuntur,veis sum etiam hoc amplius obtinetur , quod earum resolutio nullo negotio persci
260쪽
possit. Quotiescumque enim in aequatione secundi gradus secundus terminus dea scit, ipsius resolutio nullam dissoulta tem involvit , quum satis sit ex utraque parte aequotionis quadratam radicem elicere . Itaque si ex unaquaque secundi gra idus aequatione auferatur secundus termi- minus, poterit hoc artificio resolutio ejus
Proponatur,exempli gratia, resolvenda aequatio secundi gradus - x - γα o . Tollatur ex et secundus terminus,
αδ . Prodibit Itaque i hac facta substitutione altera isthaec aequatio I - - Iom o,s ve γ - Io , ex cuius utraque parte II extrahatur quadrata radix , fiet vel I UIO, et I Io. Et quoniam x idem
est , ac F ' a ; erit quoque vel x a f
dices duae utquationis propositae eruma Io , 2 a -- IO. Sed nolim h1c silentio praeterire , quod quum secundus arquationis terminus a ficitur signo . , possit alia quoqu e ratione ille terminus tolli inimirum si loco inacognitae, in aequatione Contentae, ponatum ea pars quantitatis cognitae secundi ter . mini, quam ostendit gradus aequationis