Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

261쪽

diminuta alia quantitate incognita. Ita si

'o, in qua secundus terminus deficit. Sed eadem aequatio invenietur etiam , si

Interim notare oportet hoc loco, quod quum hac ratione tollitur secundus terminus , radices aequationis positivae evadant negativae, sed diminutae quantitate illa cognita, quae ad tollendum secundum terminum adhibetur , vicita sim verb radices negativae evadant positivae , sed auctae eadem illa quantitate.Sit etenim x - a in o radix una positiva aliculuS aequationis , 2 x ' h - o radix altera negativa. Itaque si fiat x in c --ν, erit c - '- a , o , 2 c - γ h o, hoc est y l a , c , o,2F - θ - C MO. unde radix positiva a versa est in negati vam , diminutam quantitate c 3 radix vero negativa b prodiit positiva , aucta eadem quantitate:. Differre autem hunc modumi transformandi aequationes ab utroque antecedentium', etiams fiat subtractione, nemo non videt.

262쪽

III. Rua ratione per ara sim quisque termἰ-nus aequationis tolli possis,omndi tur.

R Egul a mox tradita usui nobis esse

potest dumtaxat, quum ex aequatio ne secundus terminus tolli debet: si enim oporteat,ex aequatione alium quem cum que terminum tollere , multum abest, ut

eadem regula illud possit obtineri. Interim ne , si id sorte fieri contingat , haereat Analysta , ostendemus hic, qua ratione tolli possit per analysim quilibet terminus ex quacumque aequatione proposita. Nam regulas pro quolibet termino cude re , nec tam commode fieri potest , nee si utique fieri posset, ad rem esse existima

mus.

Hunc in finem consideremus primδ, regula superius tradita tolli secundum

terminum ex quali het aequatione, si radices ipsius aequationis augeantur , vel minuantur ea parte quantitatis cognitae secundi termini, quam aequationis gradusiostendit, quum hac ratione alia loco eius oriatur , in qua secundus terminus nequaquam Occurret. Ouare , ut ex aliqua aequa

263쪽

E L E M. Lib. II. Cap. 4. 187m uatione datus quicumque terminus itolli possit , determinari tantum debet

quantitas cognita , qua radices aequationis augendae sint, aut minuendν,quo terminus ille in est , in quam transmutatur aequatio proposita , prorsus evanescat. Jam quantitas ista cognita, qua augeris aut minui debent radices aequationis, ut in e , in quam transmutatur,deficiat ter minus assignatus , determinabitur per analysim in hunc modum . Assumatur quantitas illa in determinatu ue eaque augeantur, aut minuantur radices aequa

tionis . Quia ergo quantitas illa talis esse

debet , ut per eam evanescat terminus a signatus , ponatur post transformationem aequationis terminus ille aequalis etero, si ve nihilo: qua ratione habebitur aequa tio , quae quantitatis illius indeterminatae valorem exhibebit.

Id ut clarius intelligatur , dabimus primo huius methodi specimen in eodem illo casu , in quo tradita superius regula

valet, nimirum, quum secundus terminus ex aequatione tolli debet . Itaque oporteat ex aeqtiatione ista x - ax ' b in o secundum terminum tollere . Fiat x in I ' c, vel etiam x in v - c. Parum

enim refert, quo signo ponatur affecta

264쪽

188 A L G E B R N quantitas illa in determinata , cum qu a. aequatio proposita transformanda est,nam id ipsum determinabitur etiam ab aequatione, quae in Venitur, supponendo post factam transformationem secundum te minum aequalem Zero, sive nihilo. . Itaque si in aequatione proposita x

cundum terminum ' a - ο aequalem gero , sive nihilo , fiet a rar o , hoc est acν - ay , & ac - a . Unde quum quantitas c adaequet semita iam ipsius a , liquet ex aequatione proposita tolli secundum terminum , si radices ejus minuantur quantitate cognita secundi termini dimidiata. Oporteat similiter ex aequatione istaxa ' ax' a x - ab - - o secundam terminum tollere . Fiat x - θ f c , Scponatur in ipsa aequatione 3 ' c loco x .

gob f ca loco x3. Itaque loco propositae aequationis habebitur haec alias go

a Rc - ab - - Ο . Linde supponendo secundum terminum aequalem etero , sive

265쪽

- - a - , &-- - a . unde quum quantitas c adaequet trientem ipsius --., perspicuu est exaequatione proposita tolli secundum terminum , si radices ejus augeantur triente quantitatis Cognitae se cundi termini. sed applicemus moilli eandem meth dum aliis quoque casibus , nimirum quum alius quilibet terminus , quam secundus , tolli debet ex aequatione . Itaque oporteat eae eadem aequatione xa fax a-x - ab - - o tertium terminum tollere . Et quoniam ea , in quam Ipsa transmutatur , ponendo x γ f c,

solvendo aequationem istam , determinabitur valor ipsius c. - , Nihilo secius tolletur per analysim quartus terminus ex ista aequatione x --βκῖ ' a x- - a bx ' a' rat o . Ponatur enim x - γ ' c . u in ipsa aequatio

266쪽

Sic enim orietur haec altera aequatio γ' l

utique ponatur quartus terminus aequalis gero , sive nihilo, fiet 4cυ - gac υ aa -- a Θ - o, hoc est 4c33ac aa c --aφθ - o , quae quidem aequatio legitime redocta , ac resoluta ipsius c valorem exhibebit. Notetur autem hoc loco velim , quod sicuti ad determinandam quantitatems cum qua aequatio proposita debet trans formari , ut eius secundus terminus eva nescat , invenitur aequatio primi gradus; sic ad determinanda eandem quantitate, quum tolli debet quilibet alius terminus, iuvenietur semper aequatio talis, ut gradum eius ostendat locus ipse, quem occupat in aequatione tollendus terminus , si unitate una minuatur. unde quum in omni aequatione numerus terminorum designetur a numero dimensionum , au- eho unitate una ue perspicuum est ad tollendum ultimum terminum ex data qua- Cumque aequatione , resolvendam esse aequationem,quae sit eiusdem gradus cum aequatione proposita.

267쪽

Ε L E M. Lib. II.Cap. q. Sed notatu hic quoque dignum existimamus, quod aequatio illa , quae invuenitur pro determinanda quantitate, cum qua transsormari debet aequatio aliqua,

ut ejus ultimus terminus evanescat, notam odd sit ejusdem gradus cum aequatione proposita, verum etiam ab ipsa non differat . Notavimus namque supra , quod si, exempli gratia, in aequatione ista x3 ax- ' abx - abc - ci loco incognitaexponendum esset m, ultimus terminus ejus , in quam illa transformatur , sit quantitas , quae prodit, substituendo in ipsa aequatione In pro κ . Itaque facta hac

substitutione , erit ultimus terminus m3- um f abnu ,- abc; M propterea aequa tio , pro determinanda quantitate nn , erit

quet eandem esse cum ipsa aequatione

Neque verb obscura est ratio huius rei. Nam , ut ex aliqua aequatione ultimus terminus tolli possit, necesse est radices eius , Vel augere quantitate , quae unam radicum negativarum adaequet,vel etiam minuere quantitate , quae sit aequalis uni radicum positivarum ἡ quum utroque casu e Vanescati in aequatione radix illa, cui aequalia est qugntitas, qua radices προ

268쪽

o I g 2 Α- Ε E B R. AEquationis augentur , vel minuuntur; atque adeo dempto ultimo termino, aequatio ipsa ad gradum inferiorem deprimatur . Itaque, ut determinetur quantitas illa , qua augendae sunt, vel minuendae radices alicujus aequationis , ut ultimus ejus terminus evanescat, necesse est ipsas Propositae aequationis radices invenire et quae utique inveniri non possunt , nisi Per ipsam aequationem prpositam, aut per aliam , quae non differat ab ea.

sunt multiplicatione, ct divisione.

OIὶemadmodum transformatur aequationes additione , vel subtracti ne F augendo , vel minuendo radices ipsarum data aliqua quantitate , sic fiet aequationum transformatio multiplicatione , vel divisione , quotiescumque eaedem radices per datam aliquam quantitatem multiplicantur , vel dividuntur . unde, ut intelligant Tyrones , qua ratione transformentur aequationes multiplica tione , Se divisione ι satis erit ostendere, quo pacto radices alicujus aequationis

269쪽

E B E M. Lib. II. Cap. 4. 19 δ per datam aliquam quantitatem multiplicari , aut dividi possint. Itaque ad multiplicandum radices ali cujus aequationis per datam aliquam quantitat' in , oportet tantum in locum incognitae quantitatis, in aequatione COntentat , aliam subsutuere, quae per datanta illam quantitatem sit divisa . Ut si fueri ex incognita aequationis propositae, la data quantitas sit a , assumenda est incognita

Neque dubium esse potest , quin hac facta substitutione , unaquaeque radix reperia tur multiplicata per u . Nam quum e

270쪽

r 94 ALOE B R AE ala bstitutione,orietur haec alia aequatio

oΟ -- bo ' obc - o , siquidem omnes eius termini multiplicentur per c . unde , quum radices huius aequationis sint ac , Sebc 3 liquet, radiues aequationis pro positae in hac altera multiplicatas esse per datam quantitatem c. Oporteat similiter, radices alterius huis rum aequationis x sae ' 6-o , quae sunt a , x t , multiplicare per numerum 4 . Supponatur 4κ - et , vel quod idem Σest κοῦ - 3. deinde In ipsa aequatione Z . z substituatur loco x , R - loco κ r

qua peracta substitutione , producetur 'Σ3 snhaec altera aequatio 6 os I 6 4 quae fiet a -- a oz f 96 - O , si utique omnes termini eius multiplicentur per 16 . unde quia radices huius aequationis sunt 8, & ra , liquet radices propositae

aequationis in hae alteri multiplicata a se per . Sed