장음표시 사용
271쪽
EL EM. Lib. II. Cap. g. I9s Sed notetur hoc loco velim, eam, tu quam mutatur aequatio proposita , quulnradices ipsius per datam aliquam quantitatem oportet multiplicare , posse etiam inveniri, si loco incognitae, in aequatione Contentae, substituta incognita alia, multiplicetur secundus terminus per ip sam datam quantitatem, per eius quadra
tum terminus tertius, per cubum terminus quartus, atque ita deinceps. Proponatur aequatio xῖ ax l abae
in aequatione pro x valorem istu in, prodiabit aequatio sequens γῖ -- ao l abc μ' - a Roc 3 - o , quae etiam invenietur, si ponendo in aequatione proposita F , D quadratum ejus θ' , cubumque I 3 loco κ , x- , v xῖ , multiplicetur deinde secundus terminus Per c , terminu& teritu Sper , Ω terminus quartus per c Pr OPonatur aequatio numerica,
272쪽
regulam traditam x - -, 2 substituen.
do in aequatione pro x ubique Valorem istum , orietur sequens aequatio 23 18Z IoΑΣ . rsa - o . Sed haec ea dem aequatio invenietur quoque, si ponatur in aequatione proposita Z , sta Σῖ loco x , x- , 2 x3 ac deinde multiplicetur secundus terminus per a , tervminus tertius per η ,& terminus quartus per 8. Huius copendii ratio non melius intel ligi potest, quam si pauid diligentius per- Pendatur operatio , quae fieri debet luxi regulam traditam.tlt enim radices,eXempli gratia , istius arquationis x3--ax': auex -- a*ὼ - O multiplicentur Per regula id quidem praescribit, ut psenatuae
ur aequatio - --- ' -- - a s Q. c 3 ca c& in oportet multiplicare terminos Omnes per c 3 , ut a fractionibus liberetur ,- Perspicuum Perinde esse, si positis ,
273쪽
tur terminus secandus per e , terminus tertius per c - , 2 terminus quartus per
Ad dividendum autem radices alicuius aequationis per datam aliquam quantita tem , oportet vieissim in locum incognitae quantitatis , in aequatione contentae, aliam subrogare , quae per datam illam quantitatem sit multiplicata . Ut si sue rit x incognita aequationis propositae, gedata quantitas sit a , assumenda est incognita alia 3 , 2 loco x ponendum ubiquea' . Nec etiam dubium esse potest , quin hac facta substitutione, unaqua que radix divisa reperiatur per a . Nam quum ex
Dpolleat , exempli gratia i radices laulus aequationis αδ-acκ-, abx a b o, quae sunt ab, ac, dividete per quantitatem cognitam a . Ponatur x ο, χin ipsa aequatione scribatur adi loco x , Sca γλ loco x . Hac enim facta substitutione , orietur haec alla a quatio a di
274쪽
1s8 A L G E B R AEdices alterius huius aequationis 3 - a v D f bc in o sunt liquet, radices aequationis propositae in hac alters divisas esse per a. Oporteat similiter radices alterius huius aequationis X -- aox f 96 - o,quae nnt 8 , 2 ra , dividere per numerum 4. Ponatur x et , Se in ipsa aequatione scribatur e loco x , k 16Σ loco κδ. Hac si quidem peracta substitutione . prodibit haec altera aequatio It Z- - 8oa f 96-Σ o , quae evadet et ' ' 6 - o , si utique omnes termini eius dividantve per I 6 . Unde, quum radices alterius huius arquationis Q - se ' 6 - o sint et,& p perspicuum est , radices propositae aequationis in hac altera divisas esse per
Atque hie quoque notatu dignum existimo , quod ea , in quam mutatur a quatio proposita , quum radices ipsius per datam aliquam quantitat. m oportet dividere , possi t etIam inveniri, si Ioco in cog itar, in aequatione contentae, subinstituta incognita alia , dividatur secundus terminus per ipsam datam quantit tem , per eius quadratum terminus teritus , per cubum terminus quartus s at ita deinceps.pr
275쪽
videre per c . Jam ponendo , iuxta reguintum traditam , α - , 2 scribenda inaequatione pro x vatorem istum ubique, prodibit a quatio sequens νῖ - σ3 f ab
- a Rhio quae etiam invenietur, si ponendo in aequatione proposita ν,2 quadratum eius νδ , cubumque ν3 loco x,x ,2 κ3 , dividatur deinde secundus terminus per c , terminus tertius per c - , Μ terminus quartuS per c .
Proponatur aequatio numerica χῖ
x8x f ro x - 19 a tam o , Se Oporteae radices eius dividere per a . Fiat iuxta regulam traditam x - ag , Se Libstituenis do in aequatione prox ubique Ualorem istum , orietur sequens aequatio a 3 9αφ f a6et a 'o . Sed haec eadem aequatio invenietur quoqpe , si ponatur in aequatione proposita a , κ' , Se amo x , κ' , It xa , ac deinde dividatur secundus terminus per x, terminus tertius
Per , Se terminus quartus per 3. Atque huius itidem compendii ratio non melius intelligi potest, quam perpendendo paulli diligentius operationem squar fieri debet iuxta regulam traditam. ut enim radices , exempli gratia , istius
276쪽
α- Α Β o E B R AE aequationis κῆ -ax- ' abx - a iura odividantur per c , regula id quidem praescribit, ut ponatur o loco X ,c by loco κ- , occisa loco x3. Unde quia hac facta substitutione , oritur arquatio co3 ac υ- l abc- - - a-b M o, I in ista oportet dividere terminos omnes per c 3, ut maxima in Cognitae potestas a cognitis se paretur ue perspicuum est perinde esse , si positis ν ,3 - , &dia loco x , x- , dividatur terminus secundus per c , terminus tertius per c ,2 terminus quartus per c 3. . . V.
us expositarum transformationum indicantur . . Ransformationes aequationum s quae a fiunt multiplicatione , 2 divisione, hoc est , multiplicando , Ic dividendo radices ipsarum per datam aliquam quantiatatem , usui nobis esse possunt ad tollendas fractiones , 2 quandoq; etia radicales quantitates ab ipsis aequationibus . ut si habeatur aequatio κλ - ax' ' Icix.
--o, k ipsius loco alia desideretur ,
277쪽
E B E M. Lib. II. Cap. 4. 2o Icuius omnes termini per numeros In te gros exprimantur , obtinebitur id , si a quationis radices omnes multiplicentur per numerum et , qui est radix cubica denominatoris fractionis . Nam quum is stituta loco x incognita altera dis oporteat iuxta ea , quae superius ostensa sunt , s cundum terminum multiplicare per a , terminum tertium per η, 2 quartum, sive ultimum terminum per 8 ; perspicuum est, hac ratione oriri aequationem alteram, quae libera erit ab omni fractione.
Similiter , si habeatur arquatio xῖ
ex ea fractio, quae reperitur in tertio ter mino ν satis erit omnes aequationis radices multiplicare per numerum g , qui est radix quadrata denominatoris illius fractionis . Quum enim ad faciendam hanc multiplicatione necesse sit prius substitue re loco x incognitam aliam ν, tum deinde secundum terminum multiplicare per terminum tertium per ' , 3e quartum, sive ultimum terminum per a liquet ita in hunc modum aliam oriri aequationem, in qua nulla fractio reperietur . Λtque ita
278쪽
quoque si tollenda sit fractio , quae exta Iein secunda termino huius aequationis aκ3 - , x f π - a αe o , satis erit 3 itequationis radices omnes multiplicare per numerum 3 , qui est denominator Illius fractionis.. Neque aliter sit, si non una, sed plures fractiones occurrant in aequatione . Proin Ponatur , exempli gratia , aequatio x3
t is x - - - O, se oporteat eam
in aliam transmutare,cuius termini nulαlas fractiones involvant. Quoniam deno minator fractionis in ultimo termino est 64 , ad tollendum eum op Irtet, radices aequationis multiplicare per numerum 4, qui est radix cubica numeri 6 . Et si militer, quia denominator fractionis teriamini tertii est y , tolletur ille , si radices aequationis multiplicentur per numerum 3 , qui est radix quadrata numeri 9 . Λ que ita quoque evaneχet fractio secundi termini , si eaedem aequationis radices multiplicentur per numerum a , qui ea denominator illius fractionis . Linde si aequationis radices multiplicentur ab
279쪽
ELEM. Lib. II. Cap. q. ao 'initio per numerum 24 , qui oritur eae multiplicatione trium numerorum a s& - , invenietur statim aequatio , in qua nulla fractio reperiatur.
Non dissimilis est operandi ratio. si
quantitates radicales eet a quationibus
tolli debeant. Ut si habeatur aequati x- f Ax a - 6 - o, k ipsius loco alia
desideretur , cuius omnes termini per nu meros rationales exprimantur ; obtinebitur, si radices aequationis multiplicentur , aut dividantur per a . Nam quum substitui' in aequatione loco x incognIta alui 3 , oporteat secundum terminum multiplicare, aut dividere per i a , 2 terminum tertium multiplicare , aut dividere per a quadratum ex ina , perspicuum est utrὰque ratione aequationem alteram oriri, quae libera erit ab omni quantitate radicati . Atque ita quoque multiplicando , aut dividendo radices omnes huius aequationis xῖ - - r sx f 9, 3- o Per Og , alia loco eius orietur , in qua nulla occurret quantitas radicatis. Et quidem hac operatione facile semis per erit, fractiones ex aequationibus toliniere , ' uum non aliud requiratur , quam ut denominator eius stactionis sit quadratum , si existat in tertio termino , sit
280쪽
dio 4 A L G κ n a a ocubus , si existat in quarto ; sit quadratres quadratum, si existat in quinto; atque ita deinceps : id, quoa facile erit essicere, non
mutato valore fractionis , siquidem alitet esse contigerit . Sed radicatas quantitates non semper tollere licet , quum non tarboccurrat , ut id nulla ratione possit obtineri. Ut si proponatur aequatio x3 - δαλεχ ' 6 δ zzz O , eX qua tollenda siequantitas radicalis , oporteret radices ae quationis multiplicare , aut dividere per q: quod quidem quum efficitur , nova oritur aequatio, in qua eadem quantitas radicalis secundum terminum ingrediatur. lope earundem transformationum seiari quoque potest, ut quantitas Cognita alicuius termini in aequatione oriatur a qualis alteri cuidam datae quantitati . ues habeatur aequatio κῖ -- gx ' Ι 8κ --s o,2 ipsius loco invenienda sit alia, in qua quantitas cognita secundi termini , nimirum ea , quae hic est 3 , sit a, non autem 3 3 id quidem fieri potest, vel