Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

281쪽

dibit utroque cassi haec altera aequati ν3 - 'ν - I 6 - Ο , in qua , uε vides , coefficiens, sive quantitas cognita secundi termini est datus numerus a. Similiter, si haheatur aequatio X3 arx' l 9κ ' a o , M loco ejus alia quaeratur , in qua quantitas cognita ter mini tertii non sit 9 , sed 4 3 quia radix quadrata numeri 9 est 3 , & radix quadrata numeri 4 est a , satis ςrit , radices a

quationis multiplicare per . , vel quod

eodem recidit, e s dividere per--: sic

enim substituendo F loco ais orietur aequa

coeficiens , sive quantitas cognita termini tertii est 4 , Atque ita quoque si loco huius aequationis xῖ - κ ' 8x - 8- o alia desideretur, cuius ultimus ter minus non fit 8 , sed i ; obtinebitur , si radices aequationis dividantur per a , quum ponendo F loco x oriatur haec at tera π' ' a' -- I o. .

ed hoc idem obtineri quoque potest

282쪽

Ope earum transformationum, quae fiunt additione , vel subtractione , hoc est augendo , vel minuendo radices aequationis data aliqua quantitate. Semper enim in-- veniri poterit quantitas talis, ut si ea augeantur, vel minuantur radices aequationis, quantita, nota unius ex terminis eius prodeat aequalis alteri cuidam datae quantitati. Invenietur autem haec quan intitas eadem omnino methodo , qua determinatur quantitas, qua augendae sunt, aut minuendae radices aequationis , quo unus ex terminis ejus evanescat: nimirum si quantitas illa sumatur inde terminate , Jc ope eius transformetur aequatio proposita . Nam siquidem in ea, quae oritur illius loco , ponatur quantitas CO-gnita termini assignati aequalis datae quantitati, habebitur aequatio,quae quantitatem illam determinabit. Proponatur , exempli gratia, aequatio χ' -- ax ' 4 O , M oporteat eam in aliam transmutara , in qua quantitas C

283쪽

E I. E M. Lib. II. Cap. q. ao tione quantitas cognita secundi termini est 2m -- a , ponatur ea aequalis Α . Erit itaque a m - a - η , hoc est am 2 6 runde insertur m - 3 . Si ergo fiat x MI .' 3 3 R in aequatione proposi ta scribatur

in qua quantitas cognita secundi termini est f 4 , omnino ut quaerebatur. Quod si opus sit eandem aequationem κῆ -- ax l 4 o mutare in aliam , c

jus ultimus terminus sit ' τ, A non ' 4;

tunc ponatur ultimus cerminus eius,quieorta est ex ipsius translamatione , hoc est

m' - am ' ualis et . Sic enim habebitur m - am ' η et , hoc est m/am - p . Unde ii utrique parti huius a

quationis addatur unitas, hoc est quadratum .ex quantitate cognita secundi te mini dimidiata , M utrinque extrahatur quadrata radix , fiet tum m - I a stum m - Ι - - a , hoc est tum m M 3, tum m - - I . Ex quo patet, atquati nem propositam mutari in aliam , cuius

ultimus terminus sit ' ν , si in ea loco nyonatur vel fy, Vel -- I. Denique ope illius trynssorinationis. quae fit divisione , hoc est dividendo radices aequationis Per datam aliqu3m

284쪽

aog Α Ε Ο Ε B R AEquantitatem , hoc etiam potest obtineri, quod in examinandis a quationibus valde conducit, ut minuantur quantitates cognitae , quae in aequationis terminis singulis occurrunt. ut si habeatur aequa

tio 3-' 18x o , di Videndo radices eius per g , Orietur harualia 33 - Ο ' a' -- a m O , quae pauid simplicior est, si consideres quantitates cognitas terminorum . Sed quando demum id fieri possit absque eo , quod infractiones incidatur , supervacaneum erit adnotare , quum nemo , opinor , sit , qui Illud non satis percipiat, si sedulb atten-ὰat ad ea omnia , quae hactenus dicta sunt de natu ii, & usu istarum transformatio

Num.

VI. Alii aequationes transformandi modi inisedium asseruntur.

ΡRaeter istos , quos modb attulimus.

aequationes transformandi modos , sunt M alii quam plures , qbi etsi non ita familiares sint Algebristis , quemadmodum priores quatuor, ignorari tamen non debent , quia qaandoque possunt nobis usui esse . Itaque transformari ut terius

285쪽

E B E M. Lib. II. Cap. . a osterius possunt aequationes , mutando eas in alias , quarum radices sint quotienteS, qui oriuntur , dividendo datam quantitatem per radices illarum. ut si habeatur aequatio χ' - sx f 6 - o , cuius radi ces sunt a , 2 3 ; poterit ea mutari in aliam, cuius radices sint 6, 2 4, hoc est quotientes , qui oriuntur , dividendo eundem numerum Ia per a , M 3 radices, illius. . Fiet autem huiusmodi transformatio,

acta labstitutione , mutabitur aequatio Proposita x - sxl 6 M o in hanc aliam 144 6o- - l 6 - o,quae legitime reductas

tac Praeparata evadet - Io a4mo, unde,quia in hac a quatione uterque numerorum 6 , Ω adimplet conditiones incognitae I , iaciendo , ut aequationis termini omnes contrarietate si gnorum se mutub destruant, erunt 6, 2 4 radices

286쪽

aio Α Β o E B R AE illius aequationis, M propterea illa, laq u/m aequatio proposita mutanda erat, er it y ro' ' a 4m O . Ope hujus transformationis perspicuum est, radices aequationis in alias abire , quae reciprocam ipsarum servant raationem , adeoque maximam converti in minimam , δε vicissim minimam in main Timam . Sed si radices alicujus aequati nis in earum inversas mutari debeant,suin

menda erit unitas pro quantitate illa,quae dividi debet per unam quamque ex radia Cibus aequationis. Voco enim quantitates inversas, quae designatae ad instar fractionum, sibi ex contraria parte correspondent i quo sensu diximus alibi seriam harmonicam ex inversione numerorum naturalium oriri.

Eiubdem transformationis ope potest etiam penultimus terminus tolli, si mo- db priua tollatur secundus . Sed ne in no va aequatione fractiones occurrant,prristat Pr0 quantitate illa , quae dividi debet per unamquamque ex radicibus proposita: AEquationis , ultimum ipsius arquationis terminum ponere. Itaque si ex ista aequa

beat penultimus terminus, austro P i mum eae ea terminum secundum , ut lo

287쪽

E L E M. Lib. II. Cap. g. 2I Ieo eius habeatur haec alia Σ3 8a lam o ue tum istam muto in alteram , cujus radices sint quotientes , qui Oriuntur, dividendo numerum a per radices illius, sicque nova orietur aequatio 33 - 83- φη m O , in qua, ut Vides, penultimus teris

minus deficit . Sed si antepenultimum tollere cupias, id obtinebis ,i si mod. tertium prius tollas. Huic aequationes transformandi modo non dissimilis est ille, quem innuimus in fine articuli secundi, 2 per quem qud tio data mutatur in aliam , cujus radiceSi sint residua , quae oriuntur, subtrahendo es data quantitate radices illius. Quod enim in uno fit divisione , in altero subtractione peragitur , 2 quantum ad rR dices positivas, si eae non sint maiore data quantitate , adhuc minima Conver titur in maximam , Je maxima in mini anam. Ita si fuerit a quatio x -- gx f λ- Ο, 2 in ea ponatur x --F loco X , Ra ς - ro ν f 3- loco κ*,orietur haec alte

Hic modus transformandi aequationes sui vidimus loco citato , usui nobis esse

288쪽

potest ad tollendum ex iis secundu termiis Num , quotiescumque assicitur signo Sed idem potest etiam adhiberi, quum

omnes sequationis radices requiruntur Positivari nimirum si capiatur maXimus coeffciens negativus , qui in aequatione reperitur, i 3 positivus, ac saltem unitate auctus statuatur pro quantitate,ex qua Tadices aequationis sunt subtrahendae. ues fuerit aequatio κ3- ax - 4x' 6mos quia in ea maximus coessiciens negativus

tione peeracta , orietur aequatio γῆ . ' f s13 -- η' - o, cuius radices ominnes sunt positivae , quum termini ejus habeant alternatim signa ' εχ - . Quod si aequationis radices omnes reri quirantur positivae , sed una simul coef Ciens alicuius termini maior sit oporteat data aliqua quantitate 3 tunc quae sit quantitas, ex qua subtrahendae sunt radices a quationis, determinari poterit per analysim in hunc modum. Sit κ -- ax -6 - o aequatio proposita , & oporteat eam in aliam mutare , in qua non modb utraque radix sit positiva , verum etiam quantitas cognita secundi termini, prout

quantitas est, sit maior numero IS.

Ponatur m -- θ m x , & scribatur in

289쪽

4n3 -6 - O , in qua quum secundus terminus assici debeat signo - , eritam maior , quam 4 3 adeoque ipsius

quantitas cognita erit ann - 4 . Haec autem maior esse debet numero Io . Itaqueam major quoque erit, quam Iin , adeo que m maior quam 7 et proindeque si locom ponatur quilibet numerus, qui sit maior , quam 7 . fiet quantitas cognita se Cundi termini maior , quam Io , atquae eodem numero fiet etiam aequationis utraque radix positiva , quum maXimus coessiciens negativus in aequatione con tentus sit 6.

Sed si aequatio proposita sit x v

9 tunc poterit quidem quilibet numerus , qui sit maior . quam et , adhiberi ad inveniendam aequationem aliam, in qua quantitas cognita secundi termini sit major , quam Io 3 sed ut aequati nis utraque radix fiat positiva, necesse est, ut idem numerus sit maior, quam 9 si quum maximus coessiciens negativus itai aequatione contentus sit numerus 9.Qu9d si aequationis radices omnes requitantua

290쪽

zi 4 ALOEBRAE positivae, sed coessiciens, sive quantitas

cognita unius ex terminiS eius no maior, sed aequalis esse debeat alicui datae quantitati , eo casu problema non semper solutionem admittet , sed tunc tantum , quum quaantitas , cui aequalis oritur indeterminata m , est major maximo coe ficiente negatiVO. Eiusdem analysis ope determinari poterit quantitas illa , ex qua subtrahendae sunt radices aequationis , ut rnutetur in- aliam, in qua radices omnes sint positivae,& una simul coessiciens termini tertii major sit quadrato , quod fit ex coem- Ciente secundi termini dimidiato. Esto enim xa ' 6x- - I sa: - m o aequati proposita. Ergo si ponatur x - 2m - I s& debita fiat substitutio', mutabitur illa in hanc aliam 33 - 6m D Iambla my -- I Ly-8χῖ - a m

Et quoniam in ista aequatione tertius terminus assici debet signo i , erit I am ' a 4m major quam I s: proindeque eius

quantitas cognita erit I am a 373 - I s. Ηa C autem maior esse debet quadrato,

quod fit ex ani l a , semisse quantitatis cognitae secundi termini, hoc est νηn ram ' s. Itaque erit Iam' i a m maior, quam