장음표시 사용
301쪽
EL EM. Lib. ΙΙ.Cap. e. 1, ne deficit secundus terminus, inno fiam-
ndus, nisi evanescat quantitas C gmta esus: quae quidem evanescet, si par 'IX SPIbuS componitur , contrarie-
ἡ Σφ m se mutuis struant. Ita in
Postrema aequatione x3-ax- - ---a --bcx ' iιί, ' abc - o evanelcet secundus terminus , si fuerit a ' bc, hoc est, si radices duae positiva: simul aequales fuerint radici negativae . Inter eos, qui Elementa Algebrae scripserunt, conati sunt nonnulli problema-a aequationum constitutiva , eX qu rum nempe resolutione a quationes illis oriretur,determinare. Sano equidem consilio , ne crederent Tyrones , aequationes
ad libitum sumptas fictilias esse , 2 ad ullum problema posse referri . Sed 'ulb gς. id , quod unica, χmplicidiana via , quae ex ipsa aeuuati
Ii .s terminiarumque esus Constitutione derivatur, tradi potest. Satis enim eratiae rem Concipere , ut Pro unaquaque at- quatione inveniendae sint tot quantitates,
quot sunt dimensiones eius , sed ita tamen , ut data sit tum summa ipsarum , L b. II. D
302쪽
problema eius constitutivum hoc erit:inis 'enire duas magnitudines, quarum sum
ma sit a, productum verb sub ipsis sit b .
Et similiter , si habeatur aequatio χῖ - σκ' - abη abc o , problema eius constitutivum in hunc modum concipi Poterit: invenire tres magnitudines, ita
ut summa ipsarum sit a , summa productorum ex singulis binis sit ab , 2 id, quod ex multiplicatione omnium produ-ςitur, sit-abo . Λtque ita quoque, si Proponatur aequatio κε ' ax ῖ-abx obcx ' abcd - ο , poterit problema eius constitutivum hoc pacto concipi; in ζni re quatuor magnitudines , ita ut sum una ipsarum sit --a, summa productorum ex singulis binis siti ab , summa Promduriorum ex singulis ternis sit ' abc , Se id , quod oritur ex multiplicationς Om mpium, sit ahcd. Neque aliter concipi debent problema - δ constitutiva aequationum , in quibus
unu Sa vel plures ex terminis intermediis desunt. lit si fuerit aequatio αῖ -aὐκ Problema constitutivum ho erit
303쪽
erit: invenire tres magnitudines , ita uel umma Ipsarum sit gero, summu productorum ex singulis binis sit omnium verb productum sit - a- , . Pariterque si habeatur aequatio xue asx a-b δή o, problema constitutivum tale erit: invenire quatuor magnitudines,
ita ut tam sum ima ipsarum, qam fuinmaproductorum ex singulis ternis sit Zero , sed ut summa productorum ex singulis hinis sit - ab , 2 produchum ex omnibus sit - a*ha. Itaque in omni aequatione, etsi radices . eius adhuc nos lateant, summa tamen ip- summa pro duetorum ex singuia is binis, summa productorum ex singulis ternis , &c. nequaquam nos fugiunt, quum designentur per ipsas quantitates cognitas terminorum aequationis sub si- g as mutatis in terminis paribus , & sub tignis propriis in reliquis terminis . Sed quae sit summa quadratorum , cuborumsaliarumque altioris ordiniS potestatum, quae fiunt ex iisdem radicibus , sacili quoque negotio cognosci potes . Ponamus
enim quantitates cognitaS terminorum
aequationis sub signis mutatis esse p,-r, i I , &α , hoc est p quantitatem cognitam iecundi termini,q tertii, r quarti,squin-
304쪽
in infinitum . Qua ratione erit a summa radicum , b su mma quadratorum, e sui ma cuborum,d summa quadrato-quadratorum , atque ita de reliquis. Ita si fuerit aequatio κ' 4x3 19x ' Io6x-- Iao M o , quia quantitas cognita in secundo termino e fi - 4, in tertio est I9 , in quarto est ' ios ,& in quinto est -- Iacii ponendum erit A, V m 19,r - - IO6,2 f Iaci. Et inde orietur a - p - η , b pa
summa radicum erit 4 , summa quadratorum sq. , summa cuborum - 26 , Ω summa quadrato- quadrator u 978 . Quod quidem perspicuum est . Sunt enim radices illius aequationis numeri a , 3 , 4, &- s . Et prosectb summa horum nume-
& summa quadrato- quadratorum I 6 h
Rationem hujus regulae facile in telli gent,quitum compositionena potestatum,
305쪽
ERE MI Lib. II.Cap. s. a a VCum constitutionem quantitatum cognitarum , quae in singulis terminis aequationum reperiuntur,perspem in habeant, ac exploratam . Tantum notabimus eandem regula valere quoque,etiam si quantilitates p , ρ , r ,fkc. non omnes in ae quatione reperiantur : nimirum si quantitatum deficientium , vehiat aequalium nihilo , nulla ratio habeatur . Ita si fuerit aequatio κῆ - sx ' 6 m o,erit ρ s, ρ - - 6 , 2 Omnes aliae quantitates erunt aequales nihilo . unde , quum sit
-- 97 3 epit s summa radicum, suma quadratorum, g s summa cuborum,& 9ν summa quadrato-quadratorum. Quod rursus perspicuum est . Sunt enim radices propositae aequationis numeri a , χg . Et profecto quemadmodum summa illorum numerorum a ' a est s , ita summa quadratorum 4 l 9 erit Ig, sum, ma cuborum 8 f a 7 erit a s , A summai quadrato-quadratorum 16 l 8a erit 97.
306쪽
De reduinone aequationum compo sitarum, in quibus aliqua ex componentibus
O Stenso, qua ratione constituantur quantitates cognitae , quae in aequa tionum terminis reperiuntur haud dissicile modb erit, aequationes illas sopositas ad propriam sedem revocare , in quibus aliqua ex aequationibus Componentibus sunt simplices. Hunc in finem conside in remus oportet, quod quum inter aequationes componentes una , aut plures sunt simplices , arquatio ipsa composita , n cessarib unam , aut plures habere debeat radices rationales. Unde reducetur illa ad propriam sedem, si inventis radicibus illis rationalibus , formentur ex iis tot smplices aequationes , quot sunt ipse radices . Nam quum istie sint illae eaedem, ex quibus aequatio componitur, poterit semper per eas aequatio dividi , atque ita ad propriam suam sedem revocari. Eb itaque res redit, ut qua ratione eae aliqua aequatione radices rationales , si quae sint, erui possint, ostendamus . Et
307쪽
quoniam ex iis , quae articulo antecedenti dicta sunt, liquidb patet . quantita tem cognitam , quae in ultimo termino Coiuscumque aequationis reperitur esse id , quod ex continua radicum omnium
multiplicatione producitur ; ir utique
Contingat, quantitatem aliquam rationalem esse radicem illius a quationis , sive Positivam , sive negativam , ea dividet Exacie , Oe absque ullo residuo quantita- tem cognitam , quae in ultimo terminoaequationis continetur . Unde vicissim ad et uendas radices rationales , si quae sint, ex aliquis aequatione, satis erit , quantitatis Congitae in ultimo termino existentis divisores omnes invenire , oc inquirere. quinam ex iis , substituti in aequatione loco incognitae, ejus conditisnes ad una Pleant , faciendo , ut aequationis termini
omnes contrarietate signorurn evanescant.1n hoc autem scrutinio peragendo substituendi lane divisores loco incognitae,non modb signo i, verum etiam signo- ι narra fieri potest , ut ui divi e non sit radix positiva alicujus aequa tionis, idem sit radix negativa. Interim si
termini aequationis habeant alternatim
signa ' , Ω - , tunc satis erit , divisotes
308쪽
illos substituere signo i , quia propter ii-gnorum alternationem certum est , nullam in aequatione radicem negativam contineri,sed omnes esse positivas. Quemadmodun etiam satis erit illos subrogare signo -- , si omnes termini aequationis eodem signo assiciantur , quia propter hanc signorum similitudinem certum est , in aequatione nullam radicem positivam contineri , sed omnes esse negati-
Itaque proponatur aequatio X sae' 6 in o , 2 oporteat redices rationales,si quas habet, invenire . Inveniantur di via fores omnes numeri 6 , oui est quantitas cognita ultimi termini, iique erunt quatuor, χ non plures, nimirum I, a , 3 , Sc6 . Et quoniam termini aequationis propositae habent alternatim signa ', Sc ., substituendi sunt divisores isti loco incognitae x dumtaxat signo '. Itaque quia si
loco X ponatur I,aequationis termini omnes non evanescunt, quum fiant I - pq 6 , tento divisorem alterum a , 2 quia substitutione istius , termini evanescunt , quum evadunt Α- Io ' 6 1 eritiam a aequationis radix una . Quumque evanescant quoque termini, si loco x ponatur divisor tertius 3 3 erit 3 radix a R
309쪽
E B E λε. Lib. II. Cap. s. a 37ra. Itaque radices duete aequationis sunta , 2 8 2, atque ad eb aequatio ipsa componitur per multiplicationem aequationum simplicium x - Σ - Ο , Ω κ -ῖ a Proponatur aequatio x ' 3κ- I. - Ο , k inveniendae sint radices esus rationales , si quas habet . In veniantur divisores omnes numeri xo , qui est quantitas cognita ultimi termini , iique erunt I , a , s , & Io . Et quoniam aequatio proposita unam habet radicem positivam , alteram negativam , substituendi
sunt divisores illi, tum signo ' , cum signo - . Itaque quia nec I , nec - Ladimplet conditiones incognitae , tento divisorem alterum a , 2 quoniam quum hic substituitur signo ' , aequationis termini omnes evanescunt, erit a radix positiva aequationis. Quumque hoc idem praestet divisor tertius 1 , substitutus signo
- s erit - s radix altera . Quare radices duae aequationis erunt a , Ω - ς 3 2 pro 'pterea aequatio ipsa componetur ex multiplicatione aequationum simplicium x-a m O , Sc x f s - o. Proponatur ulterius aequatio χῖ f 16X --. 8 - o, 2 oporteat radiceS, si quas habet,rationales invenire.Capian
tur divisores numeri S , qui'quantitR
310쪽
A L G R a st recognita ultimi termini, iique erunt 1, 1 η, & 8 . Et quoniam aequatio habet alternatim signa ' , k- , substituendi erunt divisores illi tantum signo f . Itaque quia substituendo divisore ni primum 1 loco incognitae x , sunt termini aequationis r -- 8 f r6 -- 8, qui nequaquam evanescunt, substituo divisorem alia terum 2 ; 2 quia per husus sui,stitutionem adimplentur conditiones incognitar, erit a radix una aequationis. Quoumque nee 4, nec 3 essiciat aequationis terminos Omnes evanescere , concludendum est , aequationem propositam unam tantum habere radicem rationalem ε nimirum a , atque adeo ad esu compositionem unam dumtaxat aequationem simplicem conin
Neque aliter operabitur , si aequatici fuerit litteratis. Proponatur aequatio x Rax - hx ' ab - O , curus ambae ta- dices sunt positivat. Capiantur divisores quantitatis cognitar ab , quae existit ita . ultimo termino , iique erunt Iab . Et quoniam radices aquationis sunt positi ute, substituendi sun e divisores illi dumtaxat signo f. Itaque quia conditiones incognitae x adimplentur tam per quantitatem a , quam per quantitatem Θ, quum