Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

351쪽

R E E M. Lib.IIcap. s. a rvalore quantitatis c, ita quidem deteris minari debet valor ipsius a, ut simul ininnotescat valor alterius h , quandoquidem aequatia in determinata xῖ f ax' ' uexς - o determinari nequit, nisi definitis valoribus singulatum quantitatum aib, Itaque,quia in prima illarum aequatio

aequatione , cognitis valoribus quantita tum a , 2 c , cognoscetur item valor alterius b. Sed ad determinandam quantitatem b, cognitis valoribus ipsaru a, A c, alia rur-S a sus

352쪽

, - - A E G E B R AElas aequatio potest inveniri r nimirumἰ quia in tertia illarum aequationum habetur r - c 'p'hdlas, multiplicando terminos omnes per c , erit cr - c' ' Q cbd ' cas. Est autem in ultima aequalione U a. Itaque ponendo in illa uloco in , erit cr - e ' u ' cbd ' cosdam uerb in secunda aequatione habetur q m. b

Ηabemus itaque duas aequationes pro determinanda quantitates, cognitis Val ribus ipsarum ii, 2 c.Sed aequatio pro determinanda quantitate a , cognito valor ipsius c, habebitur, si aequalitas institua-

353쪽

unius eiusdemq; quantitatis B . In hac ae quatioue quantitas a ad tres dimensiones ascedit;sed alia poterit inveniri, ubi iam: eadem quantitas si erit quatuor dimensio - num . Itaque assumpto loco c uno ex divisoribus ultimi termini propositae aequationis, qui debet esse trium dimensionum, si aequatio sit litteratis, Sc homogenea, determinanda est primum quantitas a , tum deinde quantitas θ : qua ratione determinabitur aequatio x3 f ax' ' bx ' c o, per quam dividi debet aequatio proposita.

Non dissimiliter determinandae sunt aeis quationes compo uentes, quum aequatio Composita plures , quam sex , dimensiones habet , , omnino superfluum existimo , super hac re ulterius labores nostros extendere. Illud hic nolim reticere, quod si in aequatione aliqua litterati loco cuius-1ibet ex litteris posito numero aliquo, ta- Iis prodeat aequatio numerica , ut reducλnon possit , nec ipsa aequatio litteratis siexeducibilis: cuius rei ratio haec est , quia litterae alphabeti possunt omnes quas. Cumque quantitates repraesentare. Quod si verb aeuuatio numerica , quae inde Ori

354쪽

ducibilem esse ; quia sortasse fieri potest, ut aequatio litteratis in ea tantum hypothesi sit reducibilis. ζ, s VII.

De redunione aquationum , in quibus duae , aut plures radices sunt aequales. 7ta Quationes , in quibus. duae ε aut Ita plures radices sunt aequales , in propria sua sede nequaquam existunt, sed semper ad gradum alterum in seriorem deprimi possunt. Id difficultatem nullam

In voluit , quotiescumque radices aequales sunt commensurabiles,ac rationales, nam

perspicuum est , ad constitutionein ipsara aequation d tot simplices aequationes conis currere, quotus est numerus radica aequa- ium . Quod si verb radices aequales sine n commensurabiles , ac radicales, tunc res fiet manifesta , si ex duabus , aut pluribus radicibus , quae sint aequales , 5 in Commensurabiles , aequatio constituatur nam liquidb patebit , aequationem ad altiorem qui lem gradum ascendere s quam incommensurabilitas cuiusque tadicia ostendit. . Jam

355쪽

x x M. Lib.ΙΙ. Cap. s. Jam reductio istarum aequationum, ita quibus duae , aut plures radices sunt a in quales, iisdem ferme regulis perfici potest.

quibus omnium aliarum aequationum re

ductio instituitur . Sed nihilominus placet nobis , huiusmodi aequationes specia tim considerare , quia nempe longe facilius alia ratione ad propriam suam sedem deprimi poeunt. Dabimus ergo pro reducendis huiusmodi aequationibus duinplicem methodum, quarum utraque in

eo consistit, ut una ex radicibus aequaliis bus inveniatur . Ea etenim inventa. vel solius divisionis ope aequationem depri mi posse s nenio non videt. Prior itaque methodii, haec ea . Assuis mantur in determinate tot radices aequa

1 es , quot aequatio proposita supponit uehabere. Tum ex iis constituatur aequatio , quae pauciores quidem diniensiones, quam proposita . habere potest . plures autem habere non potest . Jam si aequatio Ista non habeat tot dimensiones O quot proposita ι multiplicetur per aliam ae quattollem , totidem , quot ei desunt, di mensiones habentem. Sic enim habebitust aequatio sin qua tot erunt dimensiones, quot proposita complectitur. Comparen tur porrb termini unius aequationis cum

356쪽

ago A L G Ε B R AE terminis alterius , k istius comparatio. nis ope unaquaeque ex radicibus aequali-hus determinabitur. Proponatur , exempli gratia , aequatio duarum dimensionum x--6x' 9 - o, In qua radices duae sunt aequales . Designetur unaquaeque illarum radicum littera m . Itaque si fiat κ - m - o , χ

M o , habebitur aequatio similiter duarum dimensionum x annx ' m- - o. Comparentur termini istius cum terminis aequationis propositae, ὀο habebuntur aequationes duae , una uem - 6 , alteram- - 9 , ex quarum alterutra inferturna 3. Quare aequationes , ex quibus componitur aequatio proposita κῆ - εκ' 9 m o , struut X - ὁ o , 2 κι- δ

radices duas aequales definire . Designe tur rursus littera m unaquaeque illarum radicum. Itaque si multiplicetur x xuin o per habebit aequatio κ awx fm o duas radices aequales . Multiplicetur ista per aequationem

simplicem X o. o , ut alia oriatur

- trium

357쪽

ΕBEM. Lib. II. Cap. i. .a 3 citium dimensionum xῖ- ampe lax i- aamae ' myx f am' in o Conferan- 'tur termini istius cum terminis aequatio nis propositae, 2 habebitur 4,aam-m- - ὸ c & am' in i 8 . unde quum in prima illarum aequationum sitam a , ponendo tum in secunda,

cum in tertia loco a valorem illum , una fiet 3m - 2 in in g , altera ann 3 -- qm M I 8 , ex quarum alterutra infert uv

Esto nunc aequatio trium dimensio num x3 - 9x a X. 27 - o , ita qua omnes radices sunt aequales. De si gnet quoque littera m unamquamque illarum radicum . Itaque, si multiplice

' 3m'π-mῖ - o , quae erit eiusdem formae cum aequatione proposita , quum similiter omnes habeat radices aequales. Comparentur ergo termini unius cum, terminis alterius, 2 habebitur 7m 93m a' , 2 m3 - 27 . unde, quia ex unaquaque istarum eruitur m m 3 , erit 'in proposita aequatione numerus 3 Valor

cujusque radicis. Sed

358쪽

-- 27 m o multiplicetur per x l a me o, x oporteat aequationis inde ortae x 'Σ3 l 9x' i arx -- s o tres radices aequales determinare . Constituatur rurissus aequatio in determinata xῖ- nix lΦm x -mῖ vici, quae tres habeat radi inces aequales 3 tum quia aequatio ista est una dimensione minoi , qua in proposita, multiplicetur adhuc per aequationem simplicem x t a 2α o , ut alia oriatur quatuor dimensionum χη - δηnxa l ax3' 'm*x ranax--m3x l 3am x anna o. Conserantur ram termini unius turn terminis alterius , ot habebitur ama F qm- - gam M 9 ε 3 an 34 .m3 - 2 , M am 3 - 27 . unde , quia in prima ista tum aequationum fit 3m - zzz a , ponendo in aliis loco a valorem

Jam , quum aequatio tot habet radices aequales , quot sunt dimensiones eius , arquationes particulares , quarum ope determinanda est quantitas m , sunt semper purae, adeoque nullo negotio resolvi potaiunt. Sed quum nequaquam tot conti

359쪽

net radices aequales , tune aequationes illae particulares prodeunt affectae , adeo

que, quae dissicultas vitanda est pro reduincenda aequatione principali regulis superius traditis , eadem in resolvendis a quationibus illis particularibus occurrit. Interim , si consideremus in omnibus illis aequationibus quantitatem m unum eundemque valorem habere , facile apparebit, quod ad determinandam quantitatem m satis sit duarum ex illis aequationibus communem divisorem invenire snec proinde oporteat , singulas illas ae

quationes resolvere.

Λltera methodus , pro reducendis huiusmodi aequationibus , pendet ex hoc theoremate , quod si termini alicuius aequationis, duas, aut plures radices aequales habentis, multiplicentur ordine peeterminos alicuius progressionis arithmeticae, altera oriatur aequatio, in qua, una dempta, eaedem erunt radices aequales Hujus theorematis veritas abunde liquet s quum omnes aequationis radicessimi aequales. Etenim si termini aequatio nis x amae ' m in O , quae duas continet radices aequales , multiplicentur ordine per terminos istius progressionisa , a ' . , at ab , quae omnes quascum

360쪽

. A B G E B R AEque progressiones arithmeticas repraesen istare potest , prodibit aequatio ax aamx - abnnx ' ann abm- - o , quae dividi potest exacte per x - m . Et si ae quatio fuerit xῖ - rnux- ' νm κ mῖ- o, multiplicatis terminis ejus ordine

Per terminos progressionis a , a i , , a fab , a 'n', alia orietur, quae dividi poterit exacte per x ' m' ι atque

ita de aliis . Quum verb non omnes aequationis radices sunt aequales , ostendetur idem theorema , si sedulb consideretur , qua titatem, quae dividi potest per alteram datam quantitat.m , per eandem adhuc - dividi posse , tametsi per tertiam aliam quantitatem multiplicetur. ut si fuerit

quantitas ac f bc , quae dividi potest per a s b, multiplicando eam per mi n,producetur quantitas acms bomi acn f bcs, quae adhuc dividi poterit per a ' b . Ex

quo fit , ut si termini alicuius aequati nis , cuius omnes radices sunt aequales, multiplicentur , non modb singuli pensingulos terminos alicujus progress1onis arithmeticae , verum etiam Omnes P aliam quandam quantitatem , aequatio aquae producitur , easdem habeat radicexaequales , uua demPta. - 4