장음표시 사용
381쪽
uationis x' ' apx ' ρ - o ille sit , qui
unam partem aequationis quadratum reddit persectum , addendo ad utramque par tem quadratum , quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata. Itaq; quum habeatur x' ' apx ' ρ io,erit x ' apx αε- q, adeoque addito ad utram inque partem quadrato , quod fit ex p , semisse quantitatis cognitae secundi termIni , erit x' ' apx f p - - p , ρ . Undo per extractionem quadratae radicis fiet,
o' - ρ , ex quibus eruitur , ut antea , 2 X p l op - - ρ , 2 x - - p -o p ' - . Tertius modus investigandi radices eiusdem arquationis sit ille , qui eas assumit indeterminate Itaque si a sit radix una , Ω b radix altera , multiplicando x l a o per x l θ - o , produ cetur arquatio κῆ ' ax ' hx ' ab αἰ o , quae erit ejusdem formae cum aequatione,
de qua agitur , xy f 2D ' ρ - o. Quare
conserendo terminos unius ordine cum
terminis alterius , erit o l b in ap , κab q. Quia ergo habetur a ' θ-a p, erit a R ' a ab 'b - 4p- , si utraque parvaequationis ad quadratum elevetur . Est
382쪽
assumendo in determinate radicum illa. rum tum summam , cum differentiam. Si enim . aa sit summa radicum a & - ali earundem differentia. erit -- ώ -- h radix una , Se -- a ' b radix altera. Quare muta
et Q a producetur aequatio κ' f rax t a b - o, quae erit ejusdem formae cum
aequatione proposita x' t apae ' ρ - ο;
383쪽
E M. Lib. II. Cap.6. gortialeis erit , - θ' - ρ , eritque adeo
formularum in refoisendis aequatἰonibus fecundi gradus. Νunc qui debeat esse usus formulaiarum , quum aliqua secundi gradus aequatio resolvenda proponitur , oportet breviter explicemus . Itaque postquam quatuor illae formulae sunt resolutae, M singularum radiem inventae , haud qui dem necesse est , eadem arte aequationes speciales resolvere, sed poterit earum resolutio solius substitutionis ope obtineri. Inquiratur enim , ad quam ex iis formulis proposita aequatio reducatur ,eaqu cognita , siquidem in radicibus inventis
illius substituantur valores litterarum ps& q, determinati ab aequatione propositas istius iam radices habebuntur. Proponatur . exmpli gratia, resolvenda aequatio secundi gradus x- ὸx ε α o . Haec propter sSna , quibus termini afficiuntur, reducitur ad primam sormulam κ- - apκ- ρ - Ω , Itaque D.
384쪽
cta terminorum mutua collatione, erIeap - 4 , atque adeo p in a, eritque etiam ς - 6 . unde , quum radices primae seria
fient radices propositae ii quationis a foro , χ a - Io , quarum liquet unam esse positivam , alteram negativam. Proponatur secundb resolvenda aequa istio κῆ l 6κ - Io O . Haec , si signa considerentur, quibus termini ipsius assiciuntur , reducitur ad secundam formulam κ' i apπ - ρ O . Quare, conferendo terminos unius ordine cum terminis alterius , erit ap αα 6, sive p m g , Sest Io. Jam verxi radices secundae for
ρ' ' ρ . Itaque substituendo in radicibugillis loco ρ, & ρ valores suos , fient radices propositae a quationi. - 3 ' I9 , ω
- Τ - I9, eri quibus una quidem est positiva, altera negati Va. Proponatur ulterius resolvenda aequa- tio κ' - 6x o , quae reducitur ad tertiana sormulam πη - px ' ρ - o squum in utraque secundus terminus assiciatur signo - , 2 tertius , sive postremus signo t . Itaque si termini unius om
385쪽
E B E M. Lib.II.Cap.ε. gos dine comparentur cum terminis alterius, invenietur ρ - δ , & ρ - 4 . Quare, quum radices tertiae formulae sint p i op --.q, 2 p - , - - ρ , substituendo in radicibus illis locop, 2 ρ valores suos, fient radices propositae aequationis 3 l s,& 3 -- s, quarum utramque liquet P
Denique oporteat, resolvere aequatio
nem x' ' iox ' Is m o, quae continetur sub quarta , 2 ultima formula x 'apx f θ - o , quum in utraque termini omnes assiciantur signo l . Iam radices huius formulae sunt ,- p ' , ' - ρ , δο- p xv - - ρ . Itaque quia Conserendo terminos unius aequationis ordine cum terminis alterius, fit p α ς , & ρ- Is , substituantur in radicibus illis loco p , valores isti, la erunt radices Propositae aequationio ς - - IO s quarum utraque est negativa. Caeterum nolim hὶ reticere , quod hoc artifieio resolvi quoque possint aequatio nes secundi gradus , quarum radices suntrahionales , quaeque ideo in proprii sua sede non existunt. Si enim multiplicetve
386쪽
q Io A B G E B R AEquae reducitur ad tertiam formulam x .apx . unde quum radices istius
correspondentes , fient radices compositae sequationis δ I ,& 3 - I, hoc est η,& a, omninb , ut assumptae sunt in aequa tionibus componentibus κ-Σ - Ο , SEResolatio aequationum derisativarum secundi gradus. AD hunc locum pertinet quoque reis
solutio arquationum derivativarum secundi gradus. Voco autem aequationes derivativas secundi gradus,quae talis sunt naturae , ut tametsi dici nequeant secundi gradus, possunt nihilominus in alias secundi gradus transformari r si scilicet loco quadrati, cubi, aut alterius potestatis incognitae, in aequatione Contentae, tu cognita alia substituatur. Hac ratione aequatio κ' - 6x , ino, tametsi ad quatuor dimensiones ascendat, dicenda est tamen derivativa seis
eundi gradus, quia nempe, si fiat x F, in ipsa aequatione scribatur ν ioco M ,
387쪽
di - 6ν - 4 Σα o. quae, ut vides,est uuarum dimensionum , adeoque secundi gradus similiter,si habeatur aequatio ηxa 9 tm o, in ea quidem incognita ad sex dimensiones assurgit. verumtamen, quia si fiat xὸ -' , 2 scribatur in ipsa aequa tione' loco xa , RF loco xo , mutabit illa in hanc aliari, ν - . 9 αα O , iaqua incognita est duarum dimensionum; dicenda ea aeqυallo proposita derivativa seeundi gradus. Generaliter Rutem omnis aequatio, quae
eontinetur sub hac formuli x'm ' ρα 'ς me o, ubi nar signiscat numerum quem eumque ι χ in qua nulla habetur ratio signorum, quibus termini assiciuntur,diis itenda est derivativa secundi gradus , quia nempe si ponatur x -s, x scribatur di loco, di ' loeo , habebitur aequari
unde patet, aequationes derivativas serieundi gradus tres tantilin terminos conti nere ι x potestatem o ad quam ascendie in coenita in primo termino 3 esse quadra tum illius , ad quam attollitur in termino intermedio . Ex quo licet etiam in se te, in iisdem aequationibus derivativis
388쪽
1 Α Ε Ο Ε B R AE primum terminum tantundein distare ab intermedis , quantum hic distat ab ultimo , vel quod eodem recidit , tot terminos deficere inter primum , 2 intermedium , quot inter hunc, & ultimum deis
Harum ergo aequationum resolutio iliadem poterit regulis exerceri, quibus per-Ecitur resolutio aequationum secundi gradus. Si enim habeatur aequatio κε - - O , ponendo κ' αγ , reducetur illa ad aequationem secundi gradus - - Ο -- m O , cuius radices fune I 3 s & 3 I 7 . Itaque, quum siere in ἄν , si capiantur radices quadratae quantitatum 3 - Ig, habebuntur radices Propositae aequationis. Eadem ratione , si fuerit aequatio αε
facta substitutione habeatur arquatio secundi gradus)--Μ - 9 - . Et quoniam radices huius arquationis sunt a f-UI-2 2 - I g , siquidem eae his quanistitatibus extrahantur radices cubicae,prO. Pter X - 3 γ , erunt cubicae illae radices, valores propositae aequationis κε - 4xῖ
Itaque generaliter methodus resolvenia di aequationes derivativas secundi gradus
389쪽
haec est. Transformetur primb aequatio proposita in aliam secundi gradus,ponendo loco quadrati , cubi , aut alterius p
testatis incognitae, in aeq uatione contentae incognitam aliam; deinde aequationis hujus radices invenian inr . Et siqvi idem ex his radicibus ea rursus radix eliciatur squam designat potestas incognitae principalis , in cuius locum substituta est incoingnita altera , iam ipsius propositae aequa,tionis radices habebuntur.
CAP. VII. De resolutione aquationum tertii gradus. Ostensa resolutione aequationum sercundi gradus , ad earum nunc σέ- quationum resolutionem gradum iacimus , quarum sedes in tertio gradu subsistit. Istae similiter , si sint purae , vel redum cuntur ad hanc formulam πῖ -- g Os vel etiam ad hanc aliam κλ θ - Ο . Utriusque formulae radix una facili negotio invenitur per solam radicis cubicae extractionem. Qudum enim in prima haheatur Xῖ - ρ - o , hoc est Xy - q, eris extrahendo hinc inde radicem cubicam,
X e . Et similiter , quum habeat ia
390쪽
in secunda x q ΣΣ o,hoc est x3Σα-- εν extrahendo quoque ex utraque parte cuinhleam radicem , set . q, vel quod idem est x a ρ . unde paleis prioris sermutat radicem esse positivam, posterioris verb negativam. Qdoniam autem omnis aequatio tot taαdiees habere potest, quot in ea maxima incognitae potestas habet dirnensiones , aeton plures , habebit utraque illarum foris mularum, praeter inventam radicem, duas alias , quum in iis incognita ae ad tres illis
mensiones ascendat: unae qua ratione ex
iisdem Demulis aliae duae illae radices erui possint. non abs re erit ostendere . Id itaque sit ope divisionis a nempe si unaquae inque formula dividatue per aequationem smplicem . inventam suam radicem conintinentem . Sic enim deprimetue ad aliam. quae duas tantdm dimensiones habebit, aeeuius adeb radices dabunt radices opta
Hac ratione ι quum in prima formul habeatur πῖ--- aequatio siminplex , quae conti net radieem suam invenatam, se κώ- , di videre oporte hie x3 - ρ - o per x ρ - o s vet