장음표시 사용
361쪽
Iam aequatio, cuius non omnes radi ees sunt aequales , considerari potest ἡ ve Iut producta , multiplicando aequati nem , Omnes radices aequales habentem,
per aliam, cuius radices ab iis sunt dive sae . ut si aequatio fuerit tertii gradus, χIn ea duae tantum radices sint aequales,' considerari ea poterit, veluti orta ex multiplicatione aequationis x- - amx 'm o , duas radices aequales habentis , pellaeqationem simplicem κ f n - o, cuius radix sit ab iis diversa . unde,quia ex hac multiplicatione duo oriuntur producta Partialia , unum ex κῆ - 2 mx 'In x, alterum ex x amx ' m' iao I perspicuum est , unumquodque isto rum productorum non aliud esse , quam
aequationem , omnes radices aequales h bentem , per aliam quandam quantitam tem multiplicatam , atque adeo verum
esse theorema , si cum singulis hisce proinductis nobis solummodo res esset. - Et quidem tametsi duo illa producta in aequatione proposita tertii gradus integis conjuncta reperiantur , perinde tamentes est , ac si cum iis seorsim ageretur. Ue enim duo illa producta constituant simul aequationem tertii gradus , debent ita.
quidem disponi quemadmodu hic vides.
362쪽
x3 - amκ m x '' πx' -- amna: f m l . Quare multiplicando terminos istiuga quationis ordine per terminos progres sonis arithmeticae o , a ' b, a ' ab , a faue 3 iam termini prioris producti x amae' ' m x multiplicantur per termi nos progressionis ιν, a ' b , a ' ab di, xtermini alterius producti amnx 'm n multiplicantur per terminos as b,
ut ab , o f 3b, qui similiter progrelsi
nem arithmeticam Constituunt. Perinde Itaque res est , ac si cum productis illis seorsim ageretur. tInde, quia facta multi inplicatione , unumquodque illorum pro ἀductorum debet unam continere radicem aequalem , continebit etiam radicem unam aequalem aequatio , quae ex iisdem productis constituitur. Eadem autem est demonstratio, quum aequatio est plurium , quam trium , di mensionum , 2 plures item, quam duas, continet radices aequales . Sed videamus modb, qua ratione ope huius theorematis inveniri possint radices aequales aequationis proposita: ,2 ipsa aequatio ad pro
briam suam sedem deprimit nimirumsquia
363쪽
E 3, 3 M. Lib. II. Cap. s, quia omnis aequatio, quae plures habe eradices aequales, in aliam converti potest, in qua contineantur eaedem radices aequa les, una dempta , si utique omnes eju3. termini multiplicentur ordineε per temminos alicujus progressionis arithmeticae, per diversas huiusmodi multiplicationes talis sispei ha ri poterit aequatio, ut una tantum contineat radicum aequaliu . uade si istius , 2 aequ4tionis propositae commmunis divisor capiatur , ille dabit radiiscem aequ*lem optatam. Itaque,quum in aliqu4 aequatione tr aerint radices aequales , ad inveniendam aequationem alteram, quae unicam t tum contineat illarum radicum , necesse e
terminos illius his quidem multiplicare per terminos alicujus progressionis arithmeticM , atque itη quoque multiplicandi: sunt ter , si radices aequales fuerint qua tuor i quater, si quinque , atque ita dein Ceps; nam per singulas hujusmodi multiplicationes una tantum radicum aequalium tollitur . Caeterum, si in aequatio nodesit aliquis terminus , is designandus est stellula, quo suum quoque habeat terminum progressionis correspondentem. Nec abs re erit hic adnotare , quod si ea semper progressio arithmetica eligatur .
364쪽
quae vel incipit 2 etero, vel in zero desinit, aequationes , quae inveniuntur , sint se per uno saltem gradu inferiores iis, quarum terishos per terminos progressionis arithmeticae oportet multiplicare. Λ P. VI.
De resolutione aequationum fecundi
ΡRoximum iam est , ut aequationum,
in propria sua sede existentium , resolutionem ostendamus : quae quidem re solutio est totius artificii analytici coro nis , ac complementum . Neque enim satis est in resolutione alicuius problematis aequationem invenire , quae unicam incognitam comprehendens , singulas probi malis conditiones includat , 2 aequatio nem illam , si fuerit composita , in suas componentes resolvere , eandemque ad propriam suam sedem revocare: nisi deinde regulae habeantur , quibus instructus possit Analysta aequationem , in propria. sua sede existentem, subinde resolvere , ut ope eius rosolutionis singulos incognatae valores valeat eruere . Nam problema squod proponitur , tunc dicitur resolutum, quum
365쪽
EZR M. Lib.II. Cap. 6. 289 quum singuli valores magnitudinis , quae principaliter quaeritur in illo problemate, non ignorantur. Itaque resolutio aequationum , quam
modb explicadam aggredimur, in hoe di
fert a resolutione, tradita superiori capite, quod per eam aequationes compositae. st in propria sua sede non existentes, in suas componentes resolvuntur , atque ita ad propriam suam sedem revocantur 3 per istam aequationes , iam existentes in Pr pria sua sede , resolvuntur ea quidem xatione . ut qui sint valores, quos in iis habet incognita, nobis innotescat. Ordi mur autem a resolutione aequationum se cundi gradus, hoc est earum, quarum propria sedes in secundo gradu reperitur. Hujusmodi aequationes possunt esse duplicis generis , vel enim sunt purae, Cuiusmodi sunt illae , quas secundo terminis Carent , vel affectae , quales sunt ear, qu secundum terminum habent. Purae nonnisi duplicis formae esse possunt , nam Vel induunt hanc formam -o , et
etiam hanc aliam x ' ρ - o. Sed aequR-tiones asse, ad sequeutes quatuor sermulas reducuntur.
366쪽
Quantum ad aequationes puras, earum resolutio sola radicis quadratae extractione potest obtineri . Si enim habeatur x- - qm o,erit κ inpatq;adeo extrahendo hinc inde quadratam radicem , erit vel x ', vel κα- ρ . proindeque radices duae illius aequationis erunt f . Pqua rum liquet unam esse politivam , alteram
negativam. Et similiter si habeatur x' ' qm os erit x- - ---atque adeo, extracta ex utraque parte aequationis quadrata radice , fiet vel x - ' ω - θ ν vel x ' -- ρ:tInde radices duae alterius hujus a quationis x ' ρ - o erunt ' ἄ-- ρ , α- Dquarum utramque liquet amaginariam esse. Quantum ad aequationes affectas , pro Pter ipsam affectionem , non est ita sacilis illarum resolutio , sed necesse est , vel delere ex iis affectionem , tollendo methodusuperius tradita secundum terminum . quum hac ratione evadant purae, vel aclutramque partem aequa tionis addere qua-ὰxa-
367쪽
ELE M. Lib. II. Cap. τ. asTdratum , quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata , ut una pars evadat quadratum persectum. utraq; huiusmodi aequationes resolvendi ratio iam superius obiter a nobis fuit exposita . Sed utramque nunc rursus asseremus, nec alias Praeteribimus rationes , quibus earundem quationum resolutio potest obtineri.
M Quationes secundi gradus , quae I ita continentur sub prima formula
dices , unam positivam , alteram negati Vam. Est enim in iis una signorum uarie tas , 2 una item signor uin similitudo. Sed in iisdem aequationibus radix positiva maior est semper radice negativa. Nam quantitas cognita secundi termini in om-Di aequatione , ut superius vidimus, est summa radicum sub signo mutato . Itaque quia in hisce aequationibus secundus terminus afficitur signo - , erit vicissiman iis summa radicum positiva : quod e
quidem fieri non potest , nisi radix poli-T a tiva
368쪽
'a' a Α Ε Ο Ε B R AEtiva maior sit radice negativa. Jam radices istius aequationis x apX - qnm o possunt primo loco inveniri , si ex ea deleatur affectio, tollendo secundum terminum methodo superius tradita . Hunc in finem ponatur X -- p Issive κ - . Et siquidem scribatur
tur a quatio I - - p - ρ s quae, ut i vides , secundo termino caret . Itaque ,
quum habeatur γ' - p ' ρ, extrahendo hinc inde radicem quadratam , Orit tum
m uatione loco incognitae x facit ara Uationis terminos omnes' evanescere. Ill R-xum primam positivam esse , nemo no videt; sed st alteram negativam este s ει- silo PeIcipiet , quicumque advertet ris discem
369쪽
E B E M. Lib. II. Cap.6. 93cem quadratam ex p- f ρ , maiorem esse. quamp. Ipsis in porrb radicem positivam
ratione quantitatis masorem esse radice
negativa , ultro etiam liquet, quum illa exprimatur per summam quantitatum p,& ' ' ρ , haec per differentiam earundem quantitatum . Inventae sunt ergo radices propositae aequationis , 2 tales quidem , quales exigit ipsa aequationis natura: nempe, ut una si positiva , altera negativa , Sc insuper , ut radix positiva major sit radice negativa. Eaedem aequationis radices possunt se cundo loco inveniri, addendo ad utramisque partem aequationis quadratum , quot fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata , ut una pars quadratum fiat perfectum . Itaque , quum sit x apx- q ue erit κῆ - 2pπ α ρ , adeo uoaddendo ad utramque partem quadratumsquod fit ex p , semisse quantitatis cognitae secundi termini , erit κῆ - 1px f p p qt quare e ctra Ia ex utraque parte aequationisi radice quadrata , fiet tum
' ' q, ex quibus rursus insertur, κ
Possunt ulterius radices eaedem in Veni
370쪽
αρη A L G F. B R AEti hac alia methodo. Ponatur illarum radicum una esse ' a , M altera - δ . Itaque si multiplicetur x - a - o per x l b- Ο , erit aequatio x-- ax' hx - ab - esusdem formae cum aequatione Psoposita κλ -- apx - ρ - o . Conserantur iam termini unius cum terminis alterius , Ω erit a - , - ap , 2 ab q. Quia ergo habetur a - θ - ap, quadrando utramque partem huius aequatio Dis,
erit a --a ah f h- - G . Est autem ob in q, hoc est 4 ab , ηρ . Quare addendo simul duas hasce aequationes , erit a laab' b- - ηρ ' ηρ , atque adeo per extractionem quadratae radicis fiet a ' b in a, ' ' ρ . Unde quum habeatur a - θ
Denique radices eaedem determinari quoque possunt in hunc modum. Estolla summa ipsarum , Ω ab earundem dinserentia . Itaque radix una erit a ' b, vradix altera erit a- β:proindeque si multiplicetur x , a - , - O per κ - H- Ο , erit aequatio x --. Iax ' a --δ in o eiusdem formae Cum aequatione proposita x -- apx - ρ - . ouare Conferendo terminos unius cum terminis al-