장음표시 사용
371쪽
stiva , altera negativa . Nam in iis quo que una reperatur signorum similitudo,Vuna item signorum varietas . Sed in his-Ce aequationibus radix positiva ratione quantitatis minor est semper radice negati v κ . Est enim in omni aequatione quantitas cognita secundi termini summa radicum sub signo mutato . Ouare , quia in his aequationibus secundus terminus assiiscitur signo ' , erit vicissim in iis summa radicum negativa: quod sane fieri non potest, nisi radix positiva minor sit radiceri gativa. Σ
372쪽
p ' ρ , extrahendo hinc inde radicem quadratam . erit tum P - ' , 'AEq,cum ν - ' ' ρ. Erat autem x MI . p. Quare erit , tam x - - p ' op - 'q, qu m x - -- p - - ' ρ : proindeque radices duae propositae aequationis erunt
Harum radicum secundam negativam esse , nemo non Videt. Sed χ primam positivam esse , facile apparebit, si consideremus radicem quadratam ex p- ' ρ maiorem esse, quum p . Quod verb radix positiva ratione quantitati, minor sit radice negativa , liquidd etiam patet; nam radix positiva exprimitur per differentiam quantitatum , p Ω , ' fg , radix verbnegati a designatur per summam earun-
373쪽
E B E M. Lib. II.Cap.8. a9ν dem quaotitatum, dicet sub signo mutato . Inventae sunt igitur radices propositae aequationis tales quidem , quales invenire oportebat: nempe, ut una sit positiva, altera negativa 3 2 insuper, ut radix positi va minor sit radice negativst. Easdem radices inveniemus secundδ, addendo ad utramque partem aequationia quadratum , quod fit ex quantitate coisgnita secundi terinini dimidiata , ut una pars evadat quadratum persectum . Itaque quum sit x' ' apx - ρ - o , erit κ' iapx - ρ , atque aded addendo ad utramque partem quadratum , quod fit exp,se misse quantitatis cognitae secundi termi
per extractionem quadratae radicis erit,
p' ' ρ , ex quibus eruitur , ut antea, Se
Sed ad determinandas easdem radices utemur etiam hac methodo. Fingamus illarum radicum unam esse ' a , alteram. θ . Itaque si multiplicetur X -- a m QPer x l b o , erit aequatio ex harum multiplicatione orta x--. ax l bx - ob
374쪽
as 3 - A r, o E B num o eiusdem sermae cum aequatisne pro posita κ' i apx -q in o . Conserantur ergo termini unius cum terminis alterans , Ω erit h. a ap , 2 ab - q. Quia itaque habetur b-- a - ap , qua drando utramque partem , erit θὴ -
' a - Η . Est autem ab - ρ , hoc est , - q. Quare additis simul duabus hisce a quationibus , erit δ' ' a abs a m ς' ' 4 iri atque adeo per eae tractionem quadratae radicis fiet a Maop- ' q.
ι- δ - - p - sep fDenique ejusdem a quationis radices determinabimus etiam hoc artificio. Esto , - aa summa ipsarum , 2 l ab earundem differentia. Itaque radix una erit - af b, 2 radix altera erit - ἄ- θ: proindeque
s multiplicetur x ' a - b in o per x ' o
f b M o , erit a quatio ex his genita κη aax f a --b- io eiusdem formae Cum aequatione proposita κ' ' apx - e- o . Quare facta mutua terminorum Collatione, erit aa - 2p, 2 δ -a- - q. Ergo,quum sit a I ap , erit a - p,oc a R
375쪽
S Zqvitur , ut resolutionem tertIae laris
mulae x - 2px ' ρ Σα o ostendamus. Et quidem, quia in hac formula duae sunt signoruin variationes , nec ulla Oc
currit signorum similitudo , palam est,
radices aequationum, Iuce ad hanc sermulam reducuntur , ambas esse posissivas. Sed hae interim radices non semper erunt reales . Quum enim ultimus tarminus anficiatur signo ' , si contingat quadratum
ex quantitate cognita secundi termini dimidiata minus esse ultimo termino , tunc radices illis fient imaginariae, quum radicem contineant quadrati negativi. ut autem inveniamus radices huius
376쪽
loco αδ , orietur haec altera θ' - p- f q o , quae, ut vides , secundo termino Cainret . Itaque, quum sit 'μ m p - ρ , Mit
se , nemo non videt I ambae enim esus par
tes asticiuntur signo ' . Sed 2 alteram itidem positivam esse , liquidb patebit, si
consideremus radicem quadratam ex p - ρ minorem esse , qu m p . Has easdem radices imaginarias e. adere , quum quadratum ex quantitate cognita secundi termini dimidiata p* minus est ultimo termino ρ , ultro etiam liquet. Est enim hoc casu p- - ρ quantitas negativa adeo que p- - ρ quantitas erit imaginaria. Sed si fuerit p- - ρ , tunc quia evanescet quantitas p- - ρ, erunt ambae aequationis radices aequales semissi quantitatis
377쪽
Ε Ε R M. Lib.II. Cap.6. cognitae secundi termini, atque adeo ae quales inter se. Possunt eaedem radices inveniri 'quoiaque, addendo ad utramque partem aequa intionis quadratum , quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata , ueuna pars quadratum evadat perfectu minimirum,quum aequatio sit x'-- Ux ' g
addito ad utramque partem quadrato. quod fit ex p , semisse quantitatis C gnitae secundi termini , erit x apae' p- - p- -- ρ . Unde per extractionem quadratae radicis fiet, tum κ .- p - --q , cum x - p - - xv - - ρῆ eae
quibab infertur , ut supra , k x M p t
v - ρ, Ω x p - v- - q. Ulterius ad inveniendas easdem Tadices adhiberi etiam potest ea methodus , pecquam radices illae Assumuntur indeterminast . Si enim a sit una radix ,2 b radix celtera , multiplicando κώ--ώ -O Pςn
-bxl ab H o,quae erit eiusdem sermae euaequatione, de qua agitur, κ- - apx ' g o . inare conferendo terminos unius uesine cu terminis alterius,habebitur a ' b
378쪽
A E s E B R AE- 2p,quadrando utramq; partem erit a diab f b- - p R. Est autem ab q, hoc est 4ab- ηρ. Itaque subducendo aequatio. nem istam ex illa , erit a aab fm: G' -- Αρ , atque adeo per extractionem quadratae radicis fiet a b ac p' - . unde,quum sit o f b in ap, dic b - a Ο - q,erit a m p QR - , - p - p -- q. Denique determinari quoque possunt eaedem radices,Inedia ute hoc artificio. Estoaa summa radicum, Se ab earundem di iaserentia . Itaque radix una erit a ' h , radix verb altera erit a - θ: proindeque si
multiplicetur x - a - θ - per X- a' θ - O,orietur aequatio κῆ - aax ' a R. h- - o, quae erit eiusdem formae cum aequatione proposita κ' - apx ' ρ - o. Conferantur ergo termini unius ordine cum terminis alterius , eritque Ia - 2p,
379쪽
REliquum est , ut ostendamus resoIutionem quartae , x ultimae formulae' apx 'ρ - o. Et quidem, quia iaista formula nulla est signorum varietasssed termini omnes assiciuntur signo f,radices aequationum , quae ad eam reducuntur , erunt ambae negativae . Sed hic quomque I adices istae non semper sunt reales. Nam si contingat , quadratum , quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata minus esse ultimo termino, tunc utraque radicum fiet imaginaria,quum in utraque radix occurrat quadrati negati
Huius sermulae radices quatuor quomque modis investigabimus. Prior autemst ille, qui procedit delendo ex ea affeώctionem , hoc est secundum terminum, iuxta methodum is peritis traditam . Ita que,si ponatur xlp-',&in sequatio
380쪽
p - q. Harum radicum secundam negatiVam esse nemo non videt, quum utraque pars
eius sit quantitas negativa ; sed primam quoque negativam esse , facile apparebitis consideretur , quod radix quadrata quantitatis p - minor sit, quam p. Utramque porrb radicem imaginariam fieri,quotiescumque quadratum ex semisse quantitatis cognitae secundi termini p' minus est ultimo termino ρ , liquidbetiam patet. Fit enim hoc casu pR , gquantitas negativa, adeoque ' - q V Iut radix quadrati negativi quantitas erit imaginaria . Sed si fuerit p*-q , tunc
evanescente quantitate p- ,- ρ , eruΠt ambae aequationis radices aequales semissi quantitatis cognitae secundi termini , at-Rue adeo aequales inter se.