장음표시 사용
391쪽
E E EM. Lib.II cap. 7. facta ista divisione , quotiens oritur x' lax la , erit x ax ' ii - o, aequatio secundi gradus , quae ducta in aequaticiis
nem simplicem x - a i ci , producit ae quationem propositam x3 -- a 3 - Ο.Quare inventis duabus radicibus huius aequationis x fax ' a o , quae Prodeunt imaginariae , quum quadratum ex quantitate cognita secundi termini dimi, diata minus sit ultimo termino , qui afficitur signo ' ; erunt eae aliae duae radices
Eadem ratione , quia in secunda soris mula habetur xῖ ' ρ- o , 2 aequatio simplex , quae continet radicem suam inia veniam , est x f ε 3 ρ - o , dividere
quidem ponatur , ut in antecedenti , qaeta a 3 . Quocirca, quia quotiens huius diis uisionis est x axia , erit x ax' a in o aequatio secundi gradus , quae multiplicata per aequationem . simplicem κ ' o M o, producit aequationem tertii gradus xῖ ' a 3-o . Unde inventis radicibus duabus hujus aequationis x ax f o' in o , quae similiter prodeunt Imaginariae, quia quadratum ex semisso quantitatis cognitae secundi termini miri
392쪽
a tό Α R AEnns est ultimo termino , qui reperItur aia sectus signo ' ; dabunt eae alias duas raia dices aequationis xa ' a 3 - o. AEquationes tertii gradus assectar mulistiplicis speciei esse possunt. In iis namque oriri potest affectio , vel quia secundus terminus habetur , 2 tertius deficit, ut in hac aequatione x 3 f ax - abc -o vel vicissim , quia tertius habetur , 2 s eundus deficit , ut in hac alia x3 - a -κ' abc - o 3 vel denique quia tam secun
dus , quam tertius terminus in iis reperitur , ut contingit in hac aequatione x 3 fax' - abae s ahc - o . omnes istos casus expendere , longius nos ducet , quam nostrum est animus. Itaque,quum regula habeatur satis expedita, per quam tolli possit ex omni aequatione secundus terriminus , satius erit eas tantum tertii gradus aequationes affectas considerare , quae
secundo termino carentes s tantum ter tium terminum habent. Hae autem at
quationes ad has quatuor sequentes sor mulas reducuntur.
393쪽
EBE M. Lib.ΙI. Cap.6. 3r . Unde non secus , ac iactum est in aequa tionibus seeundi gradus, qua ratione qua tuor istae formulae resolvi possint,sgiuatim ostendemus.
OIIoniam in hac prima sormula x3 f
ῖν --- o termini hinc indoexistentes a termino deficiente eodem si gno assciuntur, radices duae, quas ii cum illo constituunt, erunt imaginarimproindeque formula ipsa unicam tantum Continebit radicem realem , eamque positivam , quae eruitur ex duobus postremis terminis, quorum signa sunt contraria. Sed nihilominus radices duae imaginariae tales eta debent , ne summa ipsarum siequantitas realis negativa , eaque aequalis radici positivae. Deest enim in aequatione secundus terminus,ubi radicum omnium summa sub signo mutato continetur. Itaque pro resolutione huius sermulae sint a- - - s M. Hah- -- ci aequationes simplices , quae continent radices duas imaginarias. Quia
igitur summa harum radicum est quaotH
394쪽
A L o E a antas realis negativa , nimirum -. 2s s erit κ -- aa in o a quatio simplex is quae mu- einet radicem realem positivam. Multi plicentur inter se mutuli priores duas simplices a quationes xla - δι' Os
multiplicetur porro per alteram a qua tionem simplicem x- as m O . Produ-eetur ergo aequatio tertii gradus κῆ l 3b κω-- διδ κ . aa 3 - 6a,- - o , quae erit ejusdem formae cum aequatione, de qua
agitur , siquidem fuerit /b- maior, quὲm, hoc est β major, quam a.
Comparentur iam termini unius aequationis ordine cum terminis alterius,&habebuntur hoc pacto duae a quatione , nimirum rh -- qa- - 3ρ , A as λεώ,- - aq. Itaque , quia in prima istarum a quationum habetur 3b -ga gp, hoc est ι -- p; erit, attollendo utramque partem ad cubum , δέ - 3 a b f ra ιδ . a. 222p3 . Et similiter, quia in secunda aequatione habetur as 3 4 46ab radiast, hoc est a 3 ' gab- - ε , erit elevando utramque partem ad quadratum asi ' 6 a b ' sa 'b - ρ- . Quare per additionem utriusque aequationis fiet
395쪽
ER EM. Lib.IL Cap. 6. 3Isadeb extrahendo hinς inde quadratam radidem , erit b3 l et a b in ' ρ'. dabemus ergo duas istas aequationes
Ita quo , si eas in unum addamus , fiet a
que s per extractionem radicis cubicae, erit
ductis a se mutub itidem aequationibus, erit a 3 l ιοι --bi--- 3aη, - φ- ,π' ' ρ- . Quare, extrahendo rursus hinc inde radicem cubicηm s erit o
Est ergo quantitas ista radix rea lis aequa tionis κῖ l 3px --, aq-o , quaru Positivam esse nemo non videt. ' - . Potest eiusdem radicis .valor alio quo que modo designari. Habetur enim hy
396쪽
etiam liquere potest ἡ quia si pars secunda
Priori, expressionis, quae est quantitas tu tegra , multiplicetur per denominatorem fractionis , quae constituit secundam partem alterius hujus expressionis, id , quod Pioducitur, st-p , hoc est numerator eiusdem fractionis . . . Inventa radice reali a quationis x3 l .gpx - aq - o , aliae duae radices imaginariae determinari possunt , vel inveniendo Valorem quantitatis b, id quod nullo v negotio essici potest , vel etiam dividendo aequationem , de qua agitur s per aequationem imissicem , inventam radi-Cem continentem . Haec divisio Tyroni-hus nonnihil molestiae afferet , sed poterunt substitutione adiuvari. Si enim radicem inventam vocemus c , dividere 'portobit 3pκ -- ag - o Per κ - σώ- os
397쪽
tionem secundi gradus x- f cx f c' ' etp
m o, cuius radices duae sunt imaginariae, facile patebit, si consideremus, quod etsi divisione usque ad hunc terminum peracta, videatur superesse refiduum - ag , hoc tamen residuum idem sit, ac gero , sive nihil , quum subrogata lococ incognita x , cuius salorem repraesen tat , restituat nobis terminos aequationi S, de qua agitur , xῖ ' - ast , quorum summa est aequalis gero , live nihilo. Caeterum radix realis aequationis xa fgpx - ag - O potest etiam inveniri hoc
artificio. Ponatur κω I, et . Itaques elevando utramque . partem aequationis
Conserantur iam termini istius aequationis ordine cum terminis illius, de qua agitur, ἁ erit Uz-yp, A Zῖ -- 3 quarum aequationum ope facile erit determinare tum F , cum MQuum enim in prima habeatur Ua -
398쪽
A 1 a 2 3 R AE. p . hoc est Iz-ρ , usit Ole Vando utram. que partem ad cubum βεδδ α ρῖ . Et quoniam in secunda habetur 3 a , multiplicando terminos omnes tum Per Σὸ , cum per 33 , fiet zε -sit 3οραῖ , κ3ῖελ --γε τα avi : proindeque substituendo in duabus hisce aequationi-hus loco '' valorem suum pi , una fiet Σε--p3 - a 3 , hoc est ηβp3 αα: O . altera p3 - ἔ-aρον, hoc est' aqy3 --pῖ - o. unde,quia duae ista: equationes sunt derivativa: secundi gradus a facile erit eas resolvere , atque adeb alore. inςognitarum= ,& η determis are.
SI militer in hae secunda formula x ' δρη ' χρ - o , quia termini hinc
inde positi a termino deficiepte eodem siis sno sunt affecti, radices duae, quas ii cum
illo constituunt i imag nari erunt: qu circa formula ipsa unicRm tRntum continebit radicem realemi eamquζ nmati am , quae eruitur ex duobus postremi τ
399쪽
Lib. II. Cap. 7. δ quisthimam deest secundus terminusvcuius coefficiens in omni aequatione summa radi eum sub signo mutato, neces se est ut hic quoque radices imaginariae huiusmodi sine, ut summa ipsarum si quantitas rea lis positiva, eaque aequali
Itaque pro resolutione alterius hu)us formulae sint x --a - -- δὴ - π: Os MA . . a s - 3b- - o aequationes. sim plices, quae continent radices duas ima ginarias . Q sa igitur summa harum ra dicum est quantitas realis positiva , M. mirum as , erit x ' aa in o aequatio sm-Pleta, quae continet radicem realem negativam . Multiplicentur inter se mutub Priores duae simplices a cluationes x - a
U ῆ quae verb exinde oritur aequatio μ' ,- aux a' ' 3b--o, multip icetur POr d per aequationem alteram simplicem X l a a m o . Producetur ergo aequatio
, Eab- - O , quae erit ejusdem formae cum quatione , de qua agitur, siquidem lue Tit ῖθ- maior , quum ra- , hoc est . m ior , quam a. Comparentur iam termini unius a l viationia ordine cum terminis alteriuss
400쪽
Quia ergo in prima istarum arquationum habetur -- δώ- - Τρ , hoc est δ- a- - p ue erit, elevando utramque partem ad cubum , 3ι 'b' ' paηβ' a εp3 . Et smiliter , quia in secunda aequatione habetur asy ' 6aby aere aq, hoc est a 3 ' gab' αα ρ , erit, elevando utramisque partem ad quadratum , t 6aψὼλ . sa ιη - ρῆ . Quare , per additionem utriusque aequationis , fiet δέ ' fa δε i. sa ι inp3 ' θ' ι atque aded,extrahendo hinc inde quadratam radicem, erit δῖ 'ga b in opa ' ρ'. Et quoniam habentur duae istae aequationes a 3 l-- ρ , Ω δῖ ga θ -EMI3 4 ue erit per earum additionem a 3
re , extrahendo ex utraque parte radicem
cubicam , fiet o ' b in Z3 ρ 3 3 Jam verb , si ex aequatione a 3 gal auseratur haec alia δ3 ga δή op 3fρ ηorietur a 3 f gab- - δῖ - et a b - ρ - ψῆ l ρ' . Itaque, si ex utraque parte alterius huius aequationis extrahatur quoque radix cubica , fiet vicissim a - ε -