Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

401쪽

ci propterea radix realis aequationis x3 Φῖpκ f-τα o , repraeseu tata per - ass

quam negativam esse nemo non videt. Potest eadem radix alia quoque ratiQ- ne designari, nimirum, si utamur aequa tione superius inventa b - et απ. Quum

aequales per alias aequales dividuntur, fiet quotiens unius divisionis aequalis quotiendi, qui ex divisione altera deducitur,

ligi potest, quia si pars altera prἱoris era

ta a prese

402쪽

- R La N pressionis multiplicet ut per denominatovem fractionis , quat coustituit partem a teram secundar huius expressionis , pro durucat ut quantitas p , hoc est numerator ejusdem fractionis. Inveni I addise reali aequationis x3 fgpx l aceta: q , radicis rure Imagina rite determinaxi possunt , vel inveniendo Paulitatemiti , id quod . nullo negotio e fici potest , vel. etiam dividendo ariuatio-

guationem simplicem , inventa in radicem 'continentem . Sed hic quoque, ad divisionis taedium evitandum ,. vocari poterit radix inventa - c, atque adeo ei videre

quamquam ex hac divisione , invento quotiente κ' -- cx ' c' ' 3ρ ι videatur superesse resduurri gpc f rq attamen residuum illud nullius esse vulsis ris exindeμε luet, quia si loco - c subiastituatur valor eius x, prodibunt termini

ipsius aequationis xa f 3px ' χρ - o. Est itaque x' - cx f ς' f δρ quotiens exactus illius divisionis ; ih propterea aequβ-tio, quae continet radices duas imaginarias aequationis Principalis, erit x -- cx

403쪽

rueti ficto . Ponaturae Σα ν -- κ . Itaqueae levando utramque partem huius aequaritioni, ad cubum, fiet Σαθῖ - ἔρον liverδ termini duo a fige I continent id, quod producitur,mul tiplicando '--Z,hoc est x per- Ny.Quare erit -- val 32 ' lux,&propterea fiet x3 -33 - avx -- aa , hoe est i 3 κ--I3 ea , ci . Comparentur iam termini istius aequationis cum terminis

aequationis a de qua agitur , xa ' )px last Eo, u habebuntur hoc pacto duae

aliae aequationes , nimirum Φαν Σα Φριx e 3 . 3 3 me ag , quatum aequationum ope facile erie determinare uitamque

quantitatum θ ι 2 a. Quum enim in prima habeatur avaeae 3p ι hoc est α' ω p ι erit elevando utramque partem huiu aequati his ad cubum E 3I3-p3 . Est autem in secunda Σῖ - 33-αρ ε hoc est 23 ν 'ε aedi av3 ι vel etiam ΣοE333 me M a 3. itaque, si in duabus histoaequationibus loco a F3 ponatur valoe

a 23 , hoc est a si p3 . unde quum duae istae aequationes sine derivati

404쪽

gag Α Ε Ο Ε B R AE . . vae secundi gradus , facile erit eas re Iotavere , 2 Consequenter invenire valores quantitatum P, I a, quarum differentius i- z est aequalis incognita: κ . . III.

positi a termino deficiente contrariis signis afficiantur 3 radices , quas ipsi cum illo constituunt, poterunt quidem es rea i es , quale, utique si fuerint, una eri e positiva , altera negativa . Unde , quum eadem aequatio propter postremos duos terminos, contrariis item signis assinos, aliam habeat radicem realem positi vam; poterit aequatio ipsa tribus radicibus realibus explicari, duabus quidem positivis , & una negativa . Quumque. deficiat in aequatione secundus terminus , cuius coefficiens est summa radicum sub signo mutato; perspicuum est, radices positivas tales esse debere , ut summa ipsarum ae qualis sit radici negati Vadi. 'ω . Interim non negamus,radices duas po-

405쪽

fitivas illius aequationis x3ω o posse quandoque imaginarias evade re,nimirum qu una suerit cubus ex trien te quantitatis cognitae tertii termini mi nor quadrato , quod fit ex semisse quantistatis cognitae, quae ultimum terminum constituit, hoc est p3 minor, quam θ'. Quocirca tunc demum omnes hujus a quationis radices reales erunta quum p

non est minor , quam q- , sed vel major, vel aequalis . Nec silentio praeteribimus. quod quum fuerit pῖ aequalis ρη , tunc radices duae positivae sint aequales inter se. atque adeo aequatio ipsa per regulas superius traditas semper deprimi possit.

Haec omnia ut ostendamus , sint κ - a U- - O , Se x - a m O a quationes simplices , quae continent radices positivas, ponendo nempe a maioremsquam 3b . Itaque,quia summa istarum radicum est aa, atque huic propter secundum terminum deficientem aequalis esse debet radix negativa , erit m l ao Moaequatio simplox , quae continet radicem negativam . Multiplicentur grgo inter so, mutuli priores duae simplices aequationes α - a - σ3b ΣΣ: o , & x ,- Ο Mimet o , ea Verb aquae exinde producitur

406쪽

eur per tertiam aequationem simplicetnae ε ro in o i qua ratione orietur a quatio tertii gradus 'a x - et Mael a a 3-. 6MR AEt s quae erit eiusdem Armat cum a quatione, de qua agitur, χῖ - 3px' aq eae o , quum ex hypothesi a a 3 major sit, qui, rn 6as t proindeque facta muta a terminorum collatione, habebitue 3ορ ερι- 2--ι M as3 ι fas adit a se . Ergo quia in prima istarem a qualida nulli hab'ins, etit a f- Quare,attollendo uitamque patrem esus ad eubum . sive tertiam potest

Et quoniam in secunda a quatione habetur a 33-- 6as aq, erit a 3--αα ρ; atque ad eb,elevando utramque eius

partem ad quadraeum ι sive secundum potestatem , fiet a 4 μ. 6a b sa/b' Subducantur iam partes huius a quationis ordine ex partibus illius ιk habebitur haec altera su b- μ. 6a , ' l. - p3 -- ρ', cuius ope facile patebit, eadices duas positivas a quationis x3-δρα ' χρ - σreales esse , ge in uales, quum fuerit ps maior , quam ue esse verό reales, 2 ae quales , quum habetur p3 me ac deinnique imaginarias esseriuolinicumque ps

407쪽

R EM. Lib. In Cap. .: Radices nam ire duae positivae aequa

nor quidem , quam a/ 1 quod prose quum contingit , positiva erit quantitas 6a s ' ιβ , x consequenterpositiva quoque quantitas ρῖ ρ' , cuillla est aequalis:proindeque pῖ maior erit. quam q*. At verb quum radices illae sunt reales , ae aequales s necesse est, ut quantitas 3δ evanescat: quod utique quum accidit , evanescit quantita, faueb εα ι- ε h. , atque adeo evanescente pa. q- , eeit pῖ - ρ' . Et denique. quum radices illae sunt imaginariae , erit ρι' quantitas negativa r quo casu erit etiam Begativa quantitas sa θλ . . 6a ιη l b iux consequenter quum sit quoque nugati va quantitas p3 - ω .si erit p3 minors

Nunc videamus o qua ratione radices illae erui possint: qua id re singulos oportet casus prosequamur . Et primδ quidem , quum radices duae positivae sunt

m - af-- o aequationes simpli cos. ν tuae cominent radicesi illas . Itaque

408쪽

plicetur per hanc aliam aequationem smplicem xl aaino, quae continet ra dicem realem negativam , erit x3 . la 'x .

409쪽

proindeque radix realis nςgativa aequationis erit haec eadem quantitas contra riis signis affecta. Nec silentio praeteribimus , posse hanc eandem radicem , non secus, ac in su perioribus formulis factum , alia quoque ratione designari , nimirum si reperta ae

partes istius dividamus ordine partes alterius hujus aequationis a b p superius inventae . Caeterum inventa radice areali neeati va,radices duae imaginariae determinari possunt, vel inveniendo valore quantitatis b,vel etiam ope divisionis.Sed quotiens, qui ex divisione oritur , erit x

πς 1 ast , attamen residuum istud idem

410쪽

tr A I, ct E B RAE valet, ac raro, sue nihil , quia si loeoo-- c subrogetur valor eius x , prodibunt ipsi termini a quationis dividendar x3

3pη f rq, quorum summa nihilum adaeis

quat. Quod si radices duae positivae aequatiamnis fuerint re les, M aequales s tunc ea rum inventio facilis erit. Sint etenim

simplices, quae continent radices illas. Itaque si a quatio ex illarum multiplicatione orta x - a arx ' a o multiplicetur per hanc aliam aequationem simplicem x t aa - o , quae continet radicem negativam , fiet aequatio κῆ - ὁ ο κ ao 3 - o, quae erit eiusdem sormae cum sequatione, de qua agitur . xΦ-πxta ρ - o. unde, facta mutua terminorum Collatione ε erit pa- - 3p , α γοῖ - aqs

hoc est a p . 2 a 3 - ρ . unde dividendo partes istius ordine per partes illius,