Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

411쪽

tunc methodus eas eruendi procedere deinberet in hunc modum . int κν- a -

3, o , x x - of tiones simplices , quae continent radices illas , fingendo , quod a maior sit , quὲ sa et by . Ergo , si aequatio, quae ex illarum multiplicatione oritur,x aaκ Φ ι - - O , multiplicetur per hanc aliam aequationem simp ieem x =-- o, qua

Se quoniam in prima istarum aequationum habetur ga' ' ab' αα 3ν, hoc esta' ' by - ρ , erit elevando utramqu. partem' ad cubum asi ' et a b -

δε- p . Et rursus . quia in secunda habetur-- 6oh- αα aq. hoc est a 33M - ρ , erit elevando utramqust Partem ad quadratum αε--6a b - ' sa δεπα ρ' . Jam verb duae istae aequationes nec additione . nec subductione mutua pose sunt nobis usui esse a nam primo additi -

412쪽

est , quum neutra pars eius sit potestas Perfecta ; ae secundi subductione unius ex altera producitur aequatio 9a b - . . εaφι ' ho in pῖ - ρ- , quae per extra ctionem quadratae radicis fit quidemgs , -- h3 - p3-ρ- , sed combinarim ulla ratione potest cum altera a 3 -- ρ ad inveniendam tum summam, cum differentiam quantitatum a ,2 h. Deficit ergo in hoc casu methodus, quam In resolutione aliarum aequationum adhibuimus , 2 radices aequationeS - ἔμ' qmo ε quum omnes sunt rea Ies , di inaequales , ope ejus erui nou DOLiunt. V rIU.

tio quartae , I ultimae formulae κλ - 3pX - ast m O. Et quoniam in iiἐa aequatione duo termini , qui hinc inde existunt a termino deficiente , similiter agna hahεnt contraria radices , quas ipsi

cum illo cynstituunt , poterunt hic quoque

413쪽

E L E M. Lib. II. Cap. . que esse reales , quales equidem si fuerint, una erit positiva, altera negativa. Quumque eadem aequatio , propter postremos duos serminos , qui eodem signo assiciuntur , aliam habeat radicem negativam. poterit aequatio ista tres radices reales habere , duas quidem negativas, unam positivam. Et denique , quia deest in a in quatione secundus terminus , ubi radiis cum omnium summa sub signo mutato debet reperiri I perspicuum est , radices duas negativas tales esse debere , ut summa ipsarum adaequet radicem positivam. Sed hic quoque monitum Lectorem velim , radices duas negativas aequatio nis hujus xῖ 'p- non semper

esse reales,sed quandoque posse imaginarias

evadere . Si enim contingat, cubum ex triente quantitatis cognitae tertii termini

minorem esse quadrato , quod fit ex semisse quantitatis Cognitae , quae ulti mum terminum constituit , hoc est pyminorem , quam θ' , tunc equidem radices duae negativae non erunt reales , sed imaginariae. Itaque tunc demum a ua tio , de qua agitur , omnes radices reales

habebit , quotiescumque non fuerit pyminor , quam ρ' , sed vel maior , vel a qualis . Nec silent io PraeteIeundum a

414쪽

et et 8 A Ε Ο Ε a R AEquod quum pῖ est aequalis ρ' , tunc radiis.ces duae negativae sint quidem reales , sed aequales , atque adeo commensurabile si ita , ut in hoc casu a quationis resolutio possit per regulas superius traditas obli

neri.

quationes simplices, quae continent ra. dices duas negativas, ponendo , quod a minor sit , quam . U- . Itaque, quia summa istarum radicum est .-- ra, erit κ-aa m O a quatio simplex , quae continet radicem positivam : proindeque , si tres istae a quationes simplices multipli centur inter se , aequatio , quae inde ori tur . X33a-x- b A-- aa 3 f 6 ab o erit ejusdem sermae cum a quationeade qua agitur , πῖ-3pκ -- O. Conserantur ergo termini unius ordine cum terminis alterius , 2 habebuntur ope huius comparationis aliae duae muδ-

415쪽

sus , quia in secunda aequatione habeturaa 3 - 6ab aρ, erit a 3 - 3 ah - ρε quare elevando utramque partern alte rius huius aequationis ad quadratum,haisbebitur a 4 -6Mb ' sa hq - ρ . undes porrb partes huius aequationis ordine subducantur ex partibus illius , orietur haec altera sa b - - 6a 'b' ' δέ - pῖ

ρ- , cuius quidem aes uationis ope facile erit ostendere , radices duas negativas a quationis, de qua agitur κῖ - 3pπ - aq- ci , esse reales, M inaequales , quum pῖ

maior est , quam q- , esse reales , x aequain Ies , quum p 3 est aequalis ρ' 3 2 esse deismum imaginarias , si fuerit p3 minor squam ρῆ.

Itaque , quum radices istae sunt reales , Μ inaequales , erit 3b- quantitas positiva , Seminor quidem , quam a : quod prosectb quam contingit, positiva est etiam quaatitas faueb- .- 6a δε δέ ue 2 consequenter existente quoque positiva quantitate pῖ- ρ-- , quae illam adaequat, erit pῖ major , quam q- . At verb , quum radi ces illae sunt reales , α aequales , nullR

416쪽

accidit , nulla etiam erit quantitas sa b sa δε l θε 3 atque adeo evaneshentequo'ue quantitate p3-ρ' , fiet pῖ- Et denique , quum radices illae sunt imaginariae, eadem quantitas g δ' erit negativa r unde , quum fiat negativa similiter quantitas sa δ' 6a δ' ' δε , erit illudem negativa quantitas illi aequalis pa- ρη , A consequenter p3 minor erit, quam P . Sed videamus modb, qua ratione inveniri possint radices aequationis x3-7pno : qua in re , non secus, pc sa.ctum in terti, sormula , singulos oportet casus prosequamur. Itaque,quum radiceqduae negativae sunt imaginariae , sint ait . - 3ι- - o , k x ' a -- sh τα O aequationes simplices , quae Copti ement r*dices illas . Ergo si duae istae a quationes multiplicentur inter se , & quae

multiplicetur per hanc aliam a quatio nem simplicem κ . t aa - .s quae convtinet radicem realem positivam , ori et ux quatio x3-4 3a x ε 3b x-- Σa 3 --εον' - o , quae erit ejusdem formae cum ipsa a quatione x 3 3px - 2ρπα in

Quocirca si termini unius ordine comPa

417쪽

hentur cum terminis alterius, habebuntue . aliae duae istae sequationes la --. 3hη -

δε , a 3 fal - - 2 P. Quia igitur in prima ista ruiti a quatio. num habetur qu*-Φθ' - ast , hoc esta b- α2 ρ , erit elevando utramque partem ad cubum asi ,-- f ga b bsi in p3 . Et rursus , quia in secunda aequatione habetur aa 3 f 6ab φ in aq, hoe est a 3 f aab' - erit elevando utramaque partem ad quadratum a si s 6a b/ lsa b i φ . unde si ex partibus istius ordine subducantur partes illius , eries a b f Sa-δ'' δε α ρη -- ρῖ , quae pestextractionem quadratae racicis fiet ε ώ3 22, , - - pa . sed habetur quoquo

418쪽

. Atque h1c quoque nolim silentio praeterire, posse eandem radicem alia item ratione designari, nimirum si inventa aris

partes istius dividamus ordine partes alterius huius aequationis a - δὴ Σα p. Caeterum si inventa radice reali, de litterentur radices duae imaginariae, poterunt eae inveniri , non modb determinando quantitatem θ , verum etiam dividendo aequationem ipsam in aq Per aequationem simplicem , inventam radicem continentem . Et siquidem radix ista vocetur , , ita ut aequatio , quae subit munus divisoris , sit x - c M o, erit

quotiens praediche divisionis κὴ ' ex ' c

--m o nam tametsi producta usque ad hunc terminum divisione, videatur superesse cῖ - 3pc -- χρ , attamen residuum istud gero , sive nihilum adaequa- . re , exinde liquere potest , quia si in eo loco c substituatur valor eius X,prodeunc termini a quationis x3 - 3pX- aDquo rum summa est aequalis gero , sive nihilo. Quod si radices duae negativae aequatio Tis πῖ - 3pκ - aρ - o fuerint quidem reales , sed a quales inter se , tunc mutho

419쪽

E r. EM. Lib. II. Cap. . q43x xf a m o aequationes simplices , qute continent radices illas . Itaque si aequatio , ex harum multiplicatione orta , κη' a axio dimo multiplicetur per hanc

aliam aequationem simplizem κ .- 2omet o , quae continet radicem possitivam sproducetur a quatio κῖ --. 3a κ - 2 a 3τα O , quae erit eiusdem sormae cum aequa

tione, de qua agitur, x3- 3pπ - aqM: O . Quare facta mutu terminorum comparatione , erit ra gp , 2 aa 3 2ρ , hoc est a' - p , Ω-- ρ : proindeque per mutuam istarum aequationum divisionem invenietur a - --:ex quo paleis

quantitatem radicis negativae inveniri, si quantitas cognita ultimi termini dimidiata dividatur per trientem quantita tis cognitae termini tertii. Denique, si radices duae negativae sue rint reales, Se inaequales, tunc ad eas ininveniendas sic methodus procedere deberet. Sint x l a s , 3b' meo, Sexta in o aequationes simplices , quae continent radices illas , ponendo nempesquod ab' minor sit, quam a . Ergo a duae istae aequationes multiplicentur intell

420쪽

aequationem simplicem x-- 2a - o, qua continet radicem positivam , producetur aequatio κῖ - 3a x - h x i atra fab* - o , quae erit eiusdem sormae cum Ipsa aequatione X3 - 3pX - ast m Q. Unde comparando terminos unius orcline 'cum terminis alterius, habebuntur duae

tem ad quadratum asi .- 6 aueh- lem ρ' . Jam verb duae istae aequationes ne additione , nec sub luctione mutua usui nobis esse possut , na primi, additione oritur aequatio aa - wb ' i aa b ' - p),ex qua nihil colligi potest, quum Neutra pars ipsius sit potestas perfecta ἡ Ω secundi, subductione unius ex alterst,pro ducitur aequatio sci μό- - 6 a b f h6 --ρ , quae per extractionem quadra te radicis evadit quidem ra b-b3 - οῖ - ρη , sed nulla ratione combinari

a potest