Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

421쪽

potest cum altera a 3 --- ρ ad inis veniendam tum summam , cum differen tiam quantitatum a , 2 δ . Deficit ergosmiliter in hac formula , quum radices omnes sunt reales , methodus in resoluiatione aliarum aequationum adhibita , Rradices illae ope ejus erui non possunt. V.

Casus irresolutus aquat;onum eubicarum plenus expenditur. EX iis, quae hactenus dicta sunt de rein

solutione aequationum tertii gradus , abunde liquet , in hisce aequationi bus duos casus seduld distinguendos esse Primum , quum in iis una tantum radix est realis,& aliae duae imaginariae , alte xum , quum omnes radices sunt reales. Nam quum una tantum radice reali gaudet aequati sid,quod contingit, vel quum in aequatione una cum secundo termino deficit tertius , vel quum terminus tertius reperitur affectus signo ' , vel denique quum assicitur signo , sed cuishus ex triente sui coem cientis minor est quadrato, quod fit ex ultimo termino

dimidiato, tunc radix illa potest semper

422쪽

tam . Sed quum in aequatione Omnes radices, sunt reales: sid quod accidit, quum

aequationis terminus tertius afl citur si gno - , cubus ex triente sui coefficientis major est quadrato ultimi termi ni dimidiato; ) eo casu eadem illa methodus deficiens deprehenditur , nec ope eius radices illae possunt inveniri. Qui resolutionem istarum aequatio num tradiderunt, fingendo x - γ -Z, arbitrati sunt etiam in hoc secundo casu posse unam ex tribus radicibus perinde designari , ac designatur radix realis in casu primo: in quantum hac altera meis thodo inveniatur valor incognitae x ge neraliter , ac indefinita , hoc est absque eo , quod aliqua supponatur relatio inteecubum , qui fit ex triente quantitatis Corignitae tertii termini, 2 quadratum, quod fit ex ultimo termino dimidiato. Elevan do etenim utramque partem huius aequationis x - F - Σ ad cubum , fit x3

ολα f ava' idem valet, ac - oax , ud Patet si utraque pars ejusdem sequationis X -' - 2 multiplicetur Per - 3ve. Itaque laeta debita substitutione , erit x3

423쪽

--,F3 'Σ3mo ΑΩ propterea Comparanis do terminos huius aequationis ordine cum terminis aequationis xῖ - 3px agmo, habebuntur duae aliae aequati nes Lya ---, 2 νῖ - 23 - 2ρ.

Et quoniam in prima istarum aequa tionum habetur Da - - 3p , hoc est zz - - p, erit elevando utramque par tem ad cubum 33Σῖ --p3 . Et rursus quia in secunda habetur '3 - Σῖ ast , erit tum γε --γῖaῖ - χροῖ , cum P 3Z3 --Zε - χροῖ . Quare si in utraque istarum aequationum loco F3a 3 ponatur

- o . Quumque duae istae aequationes sint derivativae secundi gradus , iacito erit eas resolvere per regulas superius tra ditas . unde quia illas resolvendo, in Vs-

424쪽

Non dissimiliter rem ostenderunt Inaequatione x3 - ῆpx f aq M o . Sed multum abest, ut quantitas illa possit

esse una ex radicibus aequationis x3 ι 3px --aρ Σα s quotiescuinque radices

omnes sunt reales. Quum enim hoc casis

p 3 maior esse debeat , qtiam ρ' , erit g

-- p 3 quantitas negRtiva i atque adeo. p 3 erit quantitas imaginaria i una de radix , quae sua natura lealis esse debet, quantitatibus imaginariis exprimitur 3 proindeque non est vera ejus expressio. palsum est Igitur , quod resol vendo aequaationes cubicas , fingendo ω - ν -- mea thodus sit generalis , nec ullum Casum excludat ham etiam per hanc metho adum ea tum tantum aequationum cubica, tu in resolditio obtinetur , in quibus dum ex radicibus sunt imaginariae. Qua autem ratione fiat s ut quum omanes aequationis cubicae radices sunt realesseae erui non possint , fingendo 2 - γ E , exinde colligit Λuctor Arithmeticae universalis j Londini aeditae anno IIo νqui creditur vir summus Isaac Nemtoanus , quod quum radices illae eodem modo se habeant ad terminos aequationis , Scindifferenter per incognitam designentur. debereui uῆique omnes eadem lege eruis

425쪽

E E s M. Lib.II. Capis. st exprimi, qua una aliqua eruitua . Seexprimitur . unde quia tres omnes lege Praefata exprimere , impossibile est, quum quantitas ν-a , qua χ designa tur, multiplex esse nequeat ue salsa erit

hypothesis , quod κ in casu , ubi triplex esse debet , sit aequalis γ-Z, A ex hy Ipothesi impossibili conclusionem impos sibilem colligi mirum esse non debet. Quum primum in hanc Viri clarisi1-nai rationem inciderim , illam ut alia Iusdem Λuctoris inventa expansis ulnis excepi, & rem acu , ut dici solet , attiagisse , mihi suasi . Sed quamquam eius in hisce rebus auctoritas multδ magis apud me valeat , quam aliorum omnium

smul , nunc tamen dicere non Vereor shic nihil docuisse , quin potius a Vero

aberrasse . Nonne enim in reductione ae quδtionum quarti gradus , alia metho' do instituta , quam primδ docuimus, no vimus , quantitatem determinandam pedaequationem simplicem , quum multi,

Plex esse debet, sic per analysina deunM

xi , ut prodeat adhuc in determinata P Ita- quo quum hὶc quoque quantitasIt -- ea qua κ delignatur , multiplex esse debeat, eam non impossibilem , sed in determinatam exhibere deberet ana lusis,

426쪽

Sed praeterea , si conclusio idcirco heimpossibilis, quia colligitur ex hy athesi impossibili , erit vicissim possibiliseonclusio illa, quie eruitur ex hypothesi possibili. Hunc in finem ad inveniendas

radices aequationis x3 ciubi omne, sunt reales , formetur Turius aequatio eiusdem naturae x3 a ga πα-aaῖ ' 6se io, ponendo scilicet, quod .- a b sit radix una negativa, & quod a - sit radix altera si is militer negativa , χ ' an radix tertia

positiva . Itaque , facta mutua termino rum collatione , invenietur, ut antea,

atque adeo per mutuam istarum aequationum subductionem , habebitur sa 'b- ' 6 a bue . ho vi q--p3. Jam ex partibus illius aequationis , navitura sua negativis , eliciatur Ope quantiis tutum imaginariarum radix quadrata . Itaque erit ga-h--bῖ I mi/q ε-ιp3. Unde , quum habeatur a 3 - qab- - ρ, habebitur per additionem a 3 -

ritque per subtractionem si3 --

427쪽

QVuumque,per extractionem cubicae radicis a istarum aequationum una fiat o

thesi possibini , Ω naturae aequationis consormi, quia tamen est illa eadem, quae invenitur , fingendo x -' - a , adhuc iisdem dissicultati hus subjacet. Ex aliis ergo principiis impossibilitas hujus rei est deducenda , quae quidem nec quisque investigavit adhuc , nec a nemine unquam investigari posse , facile mihi persuadeo. Non me latet , nonnullos non adeo deploratum casum existimasse , quia etsi radix illa realis sit expressa per latera cuborum , qui quantitatem continene imagia ariam , fieri tamen potest , ut ex prestio realis evadat, nimirum , si latera illa extrahantur ι quum sic quantitas imaginaria , velut contrariis signis in cum bis illis affecta , evanescat, nec amplius occurrRt: quem in finem ed vires omne

428쪽

riis , ostenderent. Sane non irritum laborem istorum existimo, quin magnum eorum conatum

summopere suspicio . Sed id consequuti sunt, quod alia via potest obtineri , nam

optatum finem sunt adepti tunc tantum , quum una ex radicibus aequationis est realis simul , Sc rationalis. Nec equidem aliter res esse poterat. Quum enim binomia , ex quibus radices cubicae sunt

eStrahendae, unam contineant partem rationalem , alteram radica Iem , tales quoque erunt radices cubicar illorum binomiorum . Unde , quum in summa Istarum radicum se mutub destruant partes radicales , in quibus latet quantitas imaginaria, remanebunt tantum Pa te rationales, atque adeo summa tota commensurabilis erit. Sed exemplo hoc ostendamus, simulque methodum indicemus,qua procedendum est analytice in extractione radicum ex binomiis . Itaque, si aequatio fuerit xyI sx - 4 α o, erunt a ' - ω,& a - I. Ia I binomia,ex quibus radices cubicae sunt extrahendae. Λssumat ut

429쪽

E B E M. Lib. II. Cap. I. ὁ cubica repraesentetur per af b. Quia ergo cubus illius est a 3 - a- --θυ- Λ, erit pars eius rationalis a 3. 3M αα a ,2 pars radicalis-- b c --bm L -- I 2I . Eleventur ad quadratum partes utriusque aequationis , Ω una fiet

ctionem indicis cubicae a ' 'bra: s , ex qua eruitur , - a. Jam in a quatione ,-- gab - a natur loco b valor ejus f - a . . Fiet igitur Aa 3 -- I sa - a , quae reducetur ad hanc aliam cῖ - I , siquidem divisis terminis omnibus per Α , multipli-Cent ur,ad tot Iendas fractiones, radices eius Per a. Et quoniam termini huius a qua tionis cῖ -- Isc- - - o evanescunt , si Ioco c ponatur 4 , erit Proinde c atque adeo , quum sit aa - c , erit s in a,& consequenter b, cuius valor in s - a'. fiet a qualis unitati. unde radix binomii a ' Ia I , repraesentata per af

430쪽

Haec itaque est methodus, qua radices ex bi ponatis extrahuntur and lytice , 2 cuius ope expressio imagin ria mutatue in realem . Sed qui eam attente perpen det , facile percipiet mutationem istam tunc demum fieri posse , quum r3dix per quantitates imaginaria. M pressa est rea. lis simul , 2 rationalis , quandoquidem aequatio s per quam .dςterminanda est quantitas si unη ex partibus radicis e trahendat , non modδ est ejusdem formae cum aequatio no principali , verum etiam rotationcm quandam habet ad illam. unis de qui per extractionem radicis cubicae φx binomiis crςdunt difficultatem omisnem superari , quae deprehenditur iaresolutione aequatis num cubicarum, linon satis rem perpendisse videntur.Quem in finem concludere licet i casum , quum omnes aequationis cubicae radices sunt reales, esse Omninb deploratum , nec intra cancellos calculi algebraici posse contine