장음표시 사용
431쪽
tares Geometriae in obsidium irresolati casus sicco utar. ET si casus , quum omnes aequationis
cubicae radices sunt reales, sit omni nd deploratus in Algebra , attamen si radices illae per longitudines linearum sint designa udae , nou deficiet nobis Geome tria . Si enim oporteat. datum aliquem arcum trifariam partiri , invenietur iure solutione huius problematis aequati cubica , Cuius omnes radices sunt istales. unde vicissi in , quotiescumque occurrit aequatio aliqua cubica , quae radices omnes reales habeat, poterunt radices illae per arcus cuiusdam triseimonem geometrice design ari. Id autem ut liquidb constet, detur Cir- Fis culus ADE , Cuius centrum sit punctum F , k assumpta in eius circumferentia portiona quavis AB, oporteat illum iatres partes aequales dividere . Quod quaeritur , ponatur iam factum, sintque ΛΒ, BC , CD partes quaesitae . Ducantur radii
AF , BF , CP, DF , x iunctis chordis AB , BC, CD , agatur per punctum B r
432쪽
cta BG , parallela ipsi CP , quae eonveniat cum chorda arcus dati AD in puniacto G ; ponaturque rad us dati circuli AF - a , chorda arcus similiter dati AD θ . Ω chorda arcus quaesiti ΑΒ - κ. Itaque , quia angulus BF D duplus est, tam anguli BAD, qu m anguli BFA, erit angulus B AD aequalis angulo BPA:proinis deque triangula duo BFΛ , ΒΗΛ a quianis gula erunt 3 eritque adeo, ut ΔΤ ad ΛΒ, ita AB ad ΒΗ . Et q uoniam propter paral-Ielas BG , CP angulus G BF aequalis est angulo BFC, sive BFA; erit idem anguinius G BF sequalis quoque angulo BΛDrquare triangula duo ABH, BGΗ aequiangula erunt, x consequenter erit, ut AB ad ΒΗ; ita ΒΗ ad ΗG. Sunt ergo continue Proportionales quatuor rectar lineae Λ F.
ΑΒ, ΒΗ , ΗG : proindeque quum sit ΛF
ulterius , quum trIangula duo BFΛ, ΒΛΗ ostensa sint aequiangula, & triang'Ii BFΛ aequalia sint latera AF , BF , erunt quoque trianguli BΛΗ aequalia latera AB , ΛΗ. unde quum eadem ratione in RuRI
433쪽
Ε h E V. Lib.IL eap. . et sequalia sint etiam latera CD, DC trianguli CDΚ ; erit AD una cum GH aequalis tribus ΛΒ , BC , CD simul sumptis:
Proindeque, quia tres ita inter se sunt quales,erit ΛD unὲ cum GH. tripla uni uaΛB . are instituta aequalitate inter v
iores istarum linearum, fiet abl.- . si ' :
Jam autem , quod in ista aequatione x3-. 3a x ' aba - o radices omnes sine reales, facile erit ostendere. Quum enim ΛD sit linea in circulo inscripta , ea dia metro Λ L aequalis quidem essa potest , major autem esse non potest . Itaque pra intermittendo casum aequalitatis , utpote specialem, AL maior est,quam ADt proin, deque quum sit ΛL - aa, Ω ΛD αα ab; erit a a maior , quam ab , adeoque a maior , quam ι . Est igitur in aequatione x in ra x ' aba O cubus ex triente quantitatis cognitae termini tertii malost quadrato , quod fit ex ultimo termino dimidiato , ω idcirco per ea . quae superius
434쪽
etiam recha ΛΙ , quae nec subtendie trientem arcus ARI 3 , nee trientem arcas
Λ D , id equidem non ita facile quisque
sibi in animum inducet, quia quam rem lationem habeat rem ΛI cum problema in te de tri sectione arcus Λn , sanὶ non apparet . Id itaque, ne ullus Tyronibu nostris scrupulus maneat, oportet ostena damus; eoque magis ι quod de hac re at tum apud alios silentium reperitur. Et si enim vir clarissimus Isaac semistonus in Artithmetica sua universali ι aliud agens , hanc reddae rationern , Cur quaerendo quintam partem a reus Λ Pa inveniatur aequatio quinque diutensio num , cusus quinque sunt radices t nimirum quia quamvis animum forte ad veriata, tantdm ad arcum APBs tamen aequaἀtio ι qua quaestio solvetur s determinabie
quintam partem arcuum olnnium s qui
terminantur ad puncta A , M B , nempoquintam partem arcuum Λs B, APBSAPH, ASAPASA , M APBSAPBSAPR , aeque aciquintam partem arcus AsB . Nihilominus facile videre est, rationem istam αprout a Viro Clarissimo assertur si rem ita propatulo non ponere ε quin etiam salsiis talis posse redargui; quia scilicet arcus,
qui terminantur ad puncta Λ , 2 s , veI
435쪽
-6O A L G R B R AE sunt duo tantum , vel etiam numero infiniti. Itaque,ut genuinam huius rei rationem intelligamus . methodum oportet consideremus, per quam procedimus in resolutione problematis , in quo arcus inter duo data puncta interceptus in certum aequalium partium numerum dividendus proponitur. Nimirum, quum
in resolutione praedicti problematis procedamus , inveniendo valorem chordae, quae unam ex iis partibus subtendit; perspicuum est , problema ipsum et, quidem redire , ut inveniatur valor reae lineae, quae incipiendo ab uno puncto,toties pos sit in circuli circumserentia applicarudo-Dec perveniatur ad punctum alterum , quot sunt partes , in quas dividere oportet arcum , qui inter duo illa puncta intercipitur. Atque hac ratione facile modb intelligimuS, cur aequatio κῖ - qa x ' aba - o tres habeat radices reales , designa- tas per rectas AB , AN , AI . Orta est' namque aequatio illa ex resolutione problematis , in quo arcus interceptus inter puncta Λ , & D in tres partes aequales proponitur dividendus. Itaque, ut illi mquationi satisfiat , rectam lineam oportet
436쪽
E A EM. Lib. II. Cap., lnvenire , quae a puncto A ter possit apta it in circumferentiai circuli , donec ad punctum alterum D perveniatur. Iam vect unaquaeque rectarum AB, ΛN, AIquaesiit conditiones adimplet 3 nam si quidem extendatur DF ad E, Si fuerie EQ tertia pars arcus ΛΕ , aequales erunt tectae lineae AI, I Q QD aeque, ae aequa quales sunt ι tam rectae ΛΒ, BC, CD, quam rectar AN , NM , MD . Quare valor incognitar x in aequatione xῖ - aba - - o erit unaquaeque rectarum
Porct, quod in eadem arquatione rectae ΛΒ, ΛN sint valores radicum positiva rum , ὀζ recta AI sit valor radicis negati vae 4 id equidem facile constabit, si osten damus tactam ΛI ipsis ΛΒ, ΛN simul
sumptis aequalem esse . Deest enim in a quatione secundus terminus 3 adeoquo radix negativa talis esse debet ,- ut sedae quet summam radicum positivarum . Id autem ostendemus, praemisso prius hoc lemmate : nempe quod si in circulo ali quo ABC describatur triangulum aequila Fio. 23..terum BCD , R ex uno trianguli angulos veluti C , ducatur recta linea CA , qua terminata ad circuli circumferentiam secet latus oppositum BD in puncto E,quod
437쪽
sumptis si aequalis. Huius lemmatis veritas ostendi poterit In hunc modum . Λngulus DAC, velut aequalis angulo DBC , aequalis est etiam angulo BD C. Itaque duo triangula CDE, CAD aequiangula erunt 3 adeoque erit, ut CD ad DE , ita CR ad AD. Eadem ratione angulus BAC , velut aequalis an gulo ADC,aequalis est etiam angulo DEC. Ita qua duo triangula CBE, CAS aequiangula erunt, adeoque etie,ut CB, ad BE, ita
CA ad Ag . Et quoniam CD est ad DE, CA ad AD ue 2 CB , sive CD est ad BE, ut CA ad ΛΒ erit ut CD ad summam ipsa rum DE , BE , ita CR ad summam l sarum ΛD , ΑΒ . unde quemadmodum CD ipsis DE, BE simul sumptis est a qualis , ita CA ipsas AD , ΔΒ simul acceptas
adaequabit. lemmate praemissio , facile nune RG. 16. erit ν ostendere rectam Al ipsis ΑΒ ,ΛNs mul sumptis aequalem esse. Quum enim arcus AB sit tertia pars aicus ABD, M. arcus AN sie tertia pars arcus AND ; erie arcus BAM tertia pars totius circumferentiae. Et quoniam arcus BD continet duas - tertias partes arcus ABD , Je arcus D I continet similiter duas tertias partes
438쪽
ΕE EI M. Lib.II. Cap. . arcus DIL ue continebit arcus BDI duas tertias partes semIcircumferentiae ADL, proindeque tertia pars erit totius circumin erentiae . aquales ergo sunt arcus B AN,
BDI , IMN . itaque si puncta B , I, Neribus redus lineis iungantur , trianguinium sub iis comphehensu in aequitaterum erit , Ic consequenter per ostensum lemma tecta ΛΙ ipsis AB,ΛN simul sumptis aequalis erit.
Jam igitur, quum in problemate detri sectione arcus Λ D inveniatur aequatio - go 'κ f aa 'b - o, cuius Omnes radices sunt reales , 2 valores illarum radicum designentur perreetis AB, Λ MAI , haud difficile modb erit intelligere,
qua ratione per tri sectionem alicuius arcus possint geometrice designari radices cuiuscumque aequationis cubicae , quotiescumque istae omnes sunt reales . Assumatur enim aequatio generalis -- 7px ast O . Et quia comparando termi nos istius ordine cum terminis illius , in venatur ἀπ-a , - - ab , perspi-
euum est , quod si describatur circulus ΛBL , cuius semidiameter sit op , Se in eo
439쪽
AN , quae subtendunt trientes arcuum ΛBD , AND , valor autem radicis nega livae sit recta linea ΛΙ , quae subtendit rientem arcus ABD NABD. Quod si autem aequatio fuerit x - . 3pX- ast in o , in qua duae sunt radices Degativae , 2 una positiva; tunc iisdem Peractis , designabunt rectae ΛΒ , ΛN valores radicum negativarum , 2 erit recta Al valor radicis positi vae . In omni enim aequatione , si terminorum locis paribu Wcillentium signa mutentur , radices pOsativae fient negativae , x vicissim negati vae evadent positivae. Itaque quia inaequa. tione xῖ -- δρx. ag - o mutatis si gnis terminorum locis paribus existentium , habetur loco eius haec alia κ3 . 3px f ag αα o , radices illarum arquatio num sibi ipsis ex contraria parte corre pondent, hoc est negativae unius erunt positi vae alterius , de vicissim . positiva unius erit alterius negativa . unde , quia aequationis xῖ - ὸνκ ' ag - o radices
duae positivae designantur per rectas ΛΒ , 4N , 2 radix negativa designatur per rectam
440쪽
alores radicum negativarum aequationis
x3 - 3px - aq in o , 2 recta AI valor radicis positivae eiusdein aequationis. VII. Metiodus vulgata resolvenda aquationes cubicas ostenditur. IN resolutione aequatIonum eubicarum aliam solet methodum vulgus Alge-hristarum adhibere , quam quidem visum est hoc loco subiungere , sita utque ejus artificium paulli clarius , quam ab aliis factum est , aperire , ne eam Lectores no-e magis, quod quum
sunt aggressi , nota aliam, quum istam methodum usurpaV rint. Ostendemus itaque primum , quo artificio in hanc methodum inciderint, Sequibus principiis insistentes eam excogitaverint . Quumque eius inventio synthesi potius , quam analysi debeatur, ostendemus quoque , qua ratione eadem methodus analytice possit inquiri. ut ergo ab ovo , ut dici solet , remordiamur , primi Algebrae promotore s