Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

451쪽

' νς A B a.E B R AE cumq*primum tantum,2 ultimum terminum habent , hoc est quum non assect e, sed purae deprehenduntur. Huiusmodi a quationes , Vel reducuntur ad hanc seriamam κ' - ρ - o , Vel etiam ad hanc aliam x' ' ρ - o . Prioris sorinae aequationes duas habent radices reales , 2 alias duas imaginarias, estque ex radicibus reaialibus una quidem politiva , altera negativa . aequationes veri, alterius forma: Omnes radices imaginarias habent. Sed in utriusque formae aequationibus inveniuntur radices istae , extrahendo bis radicem quadratam. Si enim habeatur xη - ρ - o, hoc estae' - q , Per unam quadratae radicis existractionem, Orientur duae istie aequationes secundi gradus κῆ - ' π- -- q. Quare extrahendo rursus cx utraque ista rum quadratam radicem , fiet x - Φ

452쪽

E L E M. Lib.II. Cap. 8. est κ' - - ρ ; per unam quadratae radi eis extractionem orientur duae istae mquationes secundi gradus x ' ga& κδ --. - ρ . unde si rursus ex utraque istarum quadrata radix extrahatur, habebuntur quatuor aequationes sim

proindeque radices quatuor aequationis ' ρ ααo erunt f in. ρ , -- ω', g , & - -- -- ρ s quas omnes liquet imaginarias esse. . Λb assectione cubica immunes quoque sunt semper aequationes quarti gradus, in quibus tum secundus , cum quartus ter minus deficit, quaeque nullω habita signorum ratione sub hac formula generali, μ' ' ap* ' ρ - o passu ne comprehendi. Sunt namque hujul modi aequationes de rivativae secundi gradus 3 adeoque valores ipsarum inveniuntur , extrahendo radi cem quadratam eta valoribus aequatio num secundi gradus , ex quibus derivan in

tura

Ex eo autem , quod aequationes quarti gradus, comprehensae sun hac formula x st Ux ' ρ - o,deri ventur ex aequationi

453쪽

rum natura , facile erit naturam quoque

illarum investigare . si enim radices duae aequationis F- ' an me o sint eales, x positivae ue erunt radices quatuor aequationis x' f 2px eae o similitet reales, sed duae positivat, 2 duae negativae. Quod si vero radices duae a quationis '' ' an f - o, sint quidem reales , sed una positiva , altera negativa , tunc ex radici-hus uuatuor aequationis x' f apx' ' ε- O duae erunt reales, R duae imaginariae, eritque ex realibus una positiva , altera negativa. Et denique si radices duae a qua tionis 3 ' an ' αα ci vel sint negativae, vel imaginariae ; eo casu radices quatuora quationis x l apx q o omnes

imaginariae erunt. itaque eae solae aequationes quarti gradus possunt cubicam affectionem continere, in quibus adest, vel secundus terminus, vel quartus , vel etiam uterque. Quando autem id contingat, ipsa huli1 modi aequationes resolvendi ratio nobis ostendet , quae etiam indicabit , num aequatio quarti gradus dividi posite in duas alias secundi gradus , necne. Et quoniam resolvuntur aequationes istae secundi tradu sy

454쪽

dus . vii Ias ex iis derivando s quae sint trium tantum dimensionum t phoinde id primum ostendendum nobis erit , qua ratione ex aequationibus quarti gradus possint aliae trium tantum dimensionum derivari: qua in re supponemus , sublatum esse ex aequationibus quarti gradus terminum secundum, quia id , reo ula satis expedit fieri semper posse , iam supe

Ea si aequationes quarti gradus , quas

hic examinandas nobis proponi. miis , in propria sua sede existant , nec proinde in alias simpliciores dividi pos- sine ue nihil tamen vetat s quominus eas quoque consideremus ι velut compositas ex multiplicatione mutua duarum secundi gradus aequationum k Omnis ete nim aequatio constituitur per multiplicationem mutuam . aequationum smpliscium ι uuae suas continent ladices a Itaque, quia aequatio quarti gradus quatuot habet radices,aequationes quatuor simplices, in quibus radices illae continenturs

455쪽

vhto . AB EBRAE multiplicatae simul dabunt aequationem quarti gradus , 2 propterea quum duae

ex iis aequationibus Componant aequatio

nem, ubi incognita est duarum dimensio- trium , poterit Je ipsa aequatio quarti gradus , velut orta lx duarum secundi gradus arquationum multiplicatione consi,

' , Neque verb considerando aequationem quarti gradus , quae sit in propria sua s de , Velut genitam ex multiplicatione mutua duarum secundi gradus , sequitur λ Ipsam revera in duas alias secundi gradus divisibilem esse. Sic enim dicendum esset, eandem aequationem quarti gradus dividi Posse in quatuor aequationes simplices ,

quum constituatur per multiplicatiorinem mutuam aequationum simplicium, quae suas continent radices . Itaque quemadmodum hoc postremum dici nequit , quia quatuor illae aequationes RP- Parenter tantum sunt simplices , revera autem illarum unaquaeq; ipsam aequati nem quarti gradus nobis restituit ue ita neque etiam primum recte insertur, quia quaelibet ex iis aequationibus secunda gradus apparenter tantum est duarum di mensionum , revera autem sedes eius in

quarto gradu sublistit. Et

456쪽

. Et sane non alia de causa in definiendis aequationibus , quae in propria sua s de existunt, discessimus a vulgo Algebriis starum , qui pro talibus solent habere a quationes illas , quae in alias simpliciore dividi nequeunt, quam quia non satis res definita nobis videbatur. Si enim hoc criterio uti velimus , iam nulla aequatios quae sit plurium dimensionum , existet in propria sua sede, quia dividi saltem potest in a quationes simplices , quae suaa

continent radices . Quod si reponas , a quationes istas apparenter tantum essu simplices, revera tamen esse aeque Cominpositas , ac a quationem ipsam , quam componunt. Iam ad id cognosceri dumno Vum cogeris criterium proferre . Dicamus itaque , eas tantum a quationes eXNstere in propria sua sede , quae non modb Per multiplicationem mutuam assuati num simplicium, in quibus earum radi res conti nentur, verum etiam per unicam tantum illarum aequationum constitu

possunt 3 st hac ratione res satis definietur , nec opus erit aliud quidpiam adji- .

, Jam considerando eas quoque a quatio n es quarti gradus, quae in propria sua sede existunt , veluti ortas ex multiplicas

457쪽

A g, o E B R AEtione mutua duarum secundi gradus rein quationum , haud dissicile erit ex iis ae quationes cubicas , quas optamus , deri vare . Λssumantur enim in determinate sequationes duae secundi gradus , quae Permutuam multiplicationem producunt a quationem quarti gradus , de qua agitur. Et iam,quum aequatio ex illarum multiplicatione orta debeat esse ejusdem natu

rae cum arquatione proposita , comparen tur termini unius ordine cum terminis

alterius : qua instituta comparatione, in sententur totidem aequationes , quot inaequationibus componentibus quantita tes in determinatae fuerunt assumptRNun de si ex iis aequationibus alia eruatur , in qua ea sola maneat quantitas indeterminata , quae est coeffciens secundi termini In utraque aequationum componentium, ascendet illa ad tres dimensiones , adeo que erit aequatio cubica quaesita.

Id ut ostendamus i sit κε f px' f

ex qua eruenda est alia cubica . Eam autem indeterminatam assumimus 1 ut Possit omnes quarti gradus. aequationes

xepraesentare.Sint porrb x' ' Ix ' o αα οπ& κ' - γα ' Α - o aequationes duae se- eundi gradus, quae multiplicationet mutua

458쪽

tua illam producunt. Atque has talitee etiam accipimus , ut secundus terminus sit idem in utraque , sed contrariis signis . affectus, qud aequatio,quam componunt, secundo termino deficiens oriatur . Et quoniam Kquatio quarti gradus,quae pr ducitur per mutuam multiplicationem arquationum x 'Fx ' a o , 2 x' --

naturae cum aequatione proposit x px' ' ρη Φ r m o . unde comparand

terminos unius Ordine cam terminis auterius , habebuntur comparatione ist tres aliae a quationes sit 5 -I p. Ο -- ο st , & ab M r. Nunc ex istis a quationibus alia est de ducenda, in qu non alia occurrat quan- .litas indeterminata , qOm', quae est coe Sciens secundi termini in utraque ae αquationum Componentium . id autem

obtineri potest in hunc modum . Quo niam in prima a quatione habet ut a ' Α--I mps erit transpnnendo a ' b in p γ', atque adest multiplicando termi nos omnes per I , erit v f Θ n lyti Jam verb habetur in secunda θ -ο αα g. Itaque erit per additionem ab in n

459쪽

I) - ε: proindeq; multiplicando simul

duas istas a quationes , fiet 4aΘ- - ρυφ' an 'γε-- φ . Est autem in tertia ae quatione ab in ν , hoc est ab φ - 4rγ'.

ρ' - o , in qua non alia occurrit quan titas indeterminata , quam ue . Et quam quam a quatio ista ad sex dimensiones ascendat, quia tamen numeri dimensio num squas in singulis terminis habet incognita, dividi possunt per binarium, PQ terit velut a quatio trium tantum dimen- sonum haberi. Haec igitur est aequatio cubica s quae deri Vatur ex a quatione proposita x NX'st 'rin o . Et quoniam ista generalis in ; omnesque quarti gradus a quatione s luκ secundo termino carent,potest reprae-entare, satis erit in inventa Huationee ubica loco p , ρ , & r correspondentes valores substituere , quum aliqua specia- i. aequatio proponitur. Ita si fuerit m quatio κ - 3x- ' ax ,-. 8 - o s quia hic p est a, est 'a,2ν idem Valet,ac - 8, a quatio cubica a quationi huic Correspon dens erit γε - Θ f ' -- 4M O . Et simi liter, si a quatio fuerit μ' 'i

460쪽

u bc , habebitur pro eius aequatione

IIa Resolutio aequationum quarti gradus per aquationes cubicas ex iis derivatas explicatur. O tenso , quo artificio ex aequationi bus quarti gradus aliae deriventur, quae sint trium tantum dimensionum, Ut deamus modb, qua ratione,istis medianti- tibus , possit illarum resolutio obtineri su aque simul earum natura cognita fieri. Et quidem , sicuti considerando aequatio nem quarti gradus κ' fpx Φρκ'ret O , veluti genitam ex multiplicatione dua-νum secundi gradux aequationum κ' 'dix

U' - ρρ - O , ita si ope hujus cubicae qRationis invento valore incognitae Fadeterminentur duae illae aequationes se-