장음표시 사용
461쪽
tinere ipsius aequationis x px' ' ρα να- O , elusque adeo radices quatuor determinare , quum eb res redeat , ut duae illae aequationes secundi gradus resolvantur. Hunc in finem ostendendum est nobis primo loco , qua ratione cognito valore incogni aedi ope cubicae aequationis , deis terminentur aequatione, duae secundi gra
m o, eae quarum multiplicatione oritur
rum , quum duae illae aequationes multi. plicatae simul producant aequationem κε
Rae: o , comparando , ut supra , terminos istius ordine cum terminis ipsius aequa
462쪽
- - - - O, quae utique de teirmi v anatae e Vadunt , cognito valore incognitae Jam valor incognitar ' inveniendus est
Ope cubicae aequationis γε ' an ' ' ρῆν '
- 4rv -qρ - o, inquirendo primum opst divisorum , num aequatio ista aliquem habeat valorem rationalem , 2 deinde eam iuxta regulas superius eradi eas resolvendo , si utique in propria sua sede constiterit sed quemadmodum quum aequatio est litteratis , 2 homog nea , ii tantum divisores sunt tentandi, qui sunt duarum dimensionum , quia iuinquatione cubica inventa dimensione incognica I sunt duplicatae , adeoque V IOres eius non ad I , sed ad y reseruntur , ita si aequatio cubica extiterit in pro pria sua sede , necesse est ex ea secundum terminum tollere , qud possit resolutio ejus obtineri . Interim si aequatio quarti
gradus fuerit κε ' qx f ν - o , hoc est
talis, ut careat secundo ,2 tertio termi no a tunc aequatio cubica erit 34- Ο φ
463쪽
488 A o E B R AE termino, absque ulla praeparatione statim resolvi poterit. Sed in resolutione cubicae aequationis notare etiam oportet, quod valor , qui invenitur , non ad inc gnitam ' , sed ad qu3dratum eius reseraiatur . Unde , ut habeatur valor incognitat , necesse est ex Valore illo quadratam raodicem extrahere. Invento valore in Cognitae 3 ope orbicae aequationis , substituatur va
- acum in aequatione κη - ν η l-αx o,ut ambae evadanea' determinatae. Et quoniam hae duae aequa-eiones multiplicatae simul producunt a quationem quarti gradus , de qua agitur, κε ' pu' ' ρκ'rm o, continebunt ea dem aequationes radices quatuor istiust Proindeque eas resolvendo secundum reinsulas superius traditas , habebuntur ra
dices quatuor aequationis x' ' ρπ' ' γ
ν - . Nec refert , quod in aequationi-Dus illis secundi gradus coeffcieutes ter minorum quantitates Contineant radica
es. Id enim iesul utioni illarum aequatio
464쪽
ttonum nequaquam esse potest Impedi amento, quum regulae superius traditae aeque procedant f quum coessicientes ter minorum sunt radicales, quam quum sunt Commensurabiles , ac rationales; sed tantum essiciet , ut radices ipsarum radi- cales radicalium contineant , quod mirum esse non debet , quum radices illae adaequationem quarti gradus proprie rese
Quoniam autem Equotiones quarti gradus , in propria sua sede existentes, i α duas classes distribuimus . 2 alias dixi mus tales esse , ut contineant affectionem cubicam , alias vetb eiuscemodi , ut iminmunes sint a cubicst affectione 3 videamus modδ , qua ratione unae ab aliis distingui possint , etiam non cornitis earum radivicibus . Itaque si contingae , aequationes cubicas derivatas in propria sua seda. existere . ita ut radices ipsarum radicali hus cubicis exprimi debeant; tunc aequa tiones quarti gradus continebunt affectionem cubicam , earumque radices radicales quoque cubicas comprehendent. Quod si ver3 aequationes illae cubicae non existant in propria sua sede , sed valorem habeant rationalem , eo casu aequationes quarti gradus immunes erunt ab assie
465쪽
ctione cubica , earundemque radices nonα nisi radicales quadratas Continebunt. Innotescit ergo nobis natura aequatio
nun3 quarti gradus , in propria sua sede
existentium , beneficio aequationum cuishicarum, quae ex iis derivantur . Sed meis
diantibus iisdem arquationibus cubicis, cognosci quoque potest , num aequationes quarti gradus existant in propria sua se de , an verb in duas secundi gradus sint divisibiles: ad mi , ut si casum excipias,
quum arquationes quarti gradus unam Conxinent radicem rationalem, poterit earum natura perspecta fieri, ac explorata , per solas aequationes Cubicas , quae derivantur eX iis. Quotiescumqua enim aequationes illae cubicae existunt in propria sua sede , tunc etiam in propria sua sede erunt aequationes quarti gradus , quibus hoc
amplius accedet, quod assectionem cubicam contineant. Sed si aequationes cubicae non sint in propria sua sede , verum valorem habeant rationalem ue tunc rursus vel valor iste talis est, ut elici exinde ne queat quadrata radix , Je isto casu aequationes quarti gradus existent quidem in propria sua sede , sed immunes erunt ab affectione cubica , vel est ejus-
466쪽
cemodi , ut exinde quadrata radix eliespoisit , 2 quum hoc contingit aequatio. nes quarti gradus non erunt in propria sua sede , sed in duas alias secundi gra- .dus dividi poterunt. - Neque verb dissicile erit horum omnium veritatem ostendere , si considere. mus , quod omnis aequatio quarti gradus, repraesentata per aequationem generalem
Hinc enim clare liquet , aequationem quarti gradus esse semper divisibilem in duas alias , quarum sedes est in gradu se-Cundo , quotiescumque valor incognitae I est rationalis , esse verb in propria sua sede, quum idem ille valor est radicatis. Patetque etiam , eandem a quationem quarti gradus continere assectionem cubicam , quum valor incognita: F conti net radicales cubicas 3 esse veth a cubiis ca affectione Prorsus immunem a quum
467쪽
qsa A n O E B R. AE idem ille valor per tadicalem quadratam designatur. unde obiter notetur hὶc Velim , quam bene analysis omnes rei, de qua agitur, casus nobis ostendat, & qua ratione; unieademque viis , singulis satisfaciat. Quoiatiescumque enim aequatio quarti gradus
dieem rationalem stria contingere possunt; vel nempe, ut sit divisibilis in duas secundi gradus, vel, ut existat in propria sua sede, sed immunis sit ab affectio ecubica, vel denique,ut affectionem cubicam contineat. Pro unoquoqὲ casu suppeditat nobis analysis hanc cubicam aequa
aα o . in qua quum duplicatae sine dimensiones incognitae F , perspicuum est, circa eius valorem tria quoque continge re posse, primb ut sit rationalis , secundo ut sit expressus per radicalem quadratam, de denique, ut radicales cubicas com prehendat.
468쪽
ΕBEM. Lib.II. Cap.L 393 III. 'uae aequationes quartἰ gradus resuοι possint , demousiratur. Ouemadmodum non omnes aequatio
nes cubicae resolvi possunt , sed eae dumtaxat, quae unicam habent radioem realem 3 lta nec omnium aequationum quarti gradus resolutio potest obtineia . et , sed earum tantummodb , ex quiabus tales derivantur aequationes cuinhicie , ut & ipsae etiam resolvi possint . obtinetur namque resolutio aequationum quarti gradus , resolvendo aequationes cubicas, quae derivantur ex i is. Quocirca si contingat, cubicas istas aequationes re solvi non posse, quia sorte omnes habeant radices reales , tunc nec ipsa aequatici num quarti gradus resolutio poterit obtineri.
Hinc illud nobis ostendendum est, quae
nimirum inter aequationes quarti gradus tales sint, ut cubicae aequationes s quae ex iis derivantur , omnes habeant radices reales , nec ideo resolvi possunt. ina lare notare prius oportet , quod quum radices imagi uariae in aequationibus occurrant
469쪽
A h o E R It a semper in numero pari, a quationes quatisti gradus pro qualitate radicum trium tantum specierum esse possint ; vel enim
omnes habent radices realesi vel duas rea Ies , 2 duas imaginarias , Vel dentque omnes radices imaginarias habent. Ita que, ut cognoscamus, quae sint a quationes illae quarti gradus , quarum cubicae radices omnes reales habent, singulos hos casus oportet piosequamur.
Et primd quidem si a quatio quarti
gradus omnes habeat radices reales , sinex 'nt O , X --a i , in o , x ' acino, &X fascetaero aequationes quatuor simplices , quae continent radices illas. Itaque quia productum ex duabus primis est x aax la . . b o,n productum ex duabus reliquis est x 48 aam ' a -c- - o , erit x aa κη-bRxa - c x aab x t aac-x ' a' . a δὴ a c- ' h-c' - o a quatio quarti gradus , quae ex illarum omnium multiplicatione producitur: proindeque comparando terminos ipsius cum termi
ribus istis in aequatione cubica γε ' *n
470쪽
c- . unde quotiescumque aequatio quar ti gradus omnes habet radices realeS , ae quatio cubica , quae ex ea derivatur , Omnes item radices reales habebit : proindein quesiouti ista resolvi non potest, ita nec illius resolutio poterit obtineri. Nec ad rem facit , quod aequatio cubica reperta secundum terminum habeat, 2 quum e est resolvenda, oporteat terminum illum tollere . Nam tollendo secundum terminum cX aequatione aliqua , radices ejus augentur quidem, vel minuuntur s ne quaquam verb ex realibus evadunt imaginariae.