Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

481쪽

- o , qtrie quia valorem rationalem non admittit, consequens est , propositam aequationem x' - δπ- ' 8κ -- g - o an sectionem cubicam continere. Resolvenda est ergo methodo superius tradita aequatio cubica γε-- Φy' ' ΣΟ - - 6 o; sed quum in ea reperiatur secundus terminus, a quo utique immunis semper esse debet aequatio cubica resolvenda , illum primδ oportet auferamus. Hunc in finem ponamus ν . - 2 m

' 8 loco I si , orietur aequatio Σε f 9 38 mo , quae ut vides secundo termino caret. Et quoniam aequatio ista resoluta per regulas traditas dat a . ais / 61

f V3 19-σg6I, adeoque per extractionem quadratae radicis fiet incognita I - . a se 3 19 76I V 3 I9-1 36 I. Unde si loco I scribamus valorem istum in

482쪽

E L E M. Lib. II. Cap. off

multiplicatione oriri ponitur aequat logeneralis x' ' px' ' ρω ' r in o , simul . que loco ρ, α ρ sui cogemus valores suo ς'

sam utraque illarum a quationum determinabitur : proindeque earundem radiinces dabunt valores quatuor propositae ae

Redusio aequationum quarti gradus per

aequationes cubicas ex iis derivatas exemplis demonstratur. Diximus beneficio aequationum cuin

bicarum , quae derivantur ex se

quationibus quarti gradus , non modbistas resolvi posse, quum constiterint in propria sua sede , verurn etiam posse amplius inquiri, num eaedem aequationesquκrti gradus deprimi queant, dividendo eas in alias duas,quae sint duarum tantum dimensionum . Si enim aequationes illae cubicae nullum habeant valorem ra-

483쪽

ὸog A B o E s R AEtionalem tunc aequationes quarti pradus , ex quibus sunt derivatae , exi iastunt in propria sua sede , 2 insuper affectionem cubicam continent . Qus d si ve- tb habeant quidem valorem rationalem, sed talem , ut ex eo elici non possit quadrata radix λ eo casu aequationes quarti 'gradus existunt quidem in propria sua sede , sed immunes sunt a cubica affectione . Et denique si eaedem aequationes cuin hic ae non modo habeant valorem ratio

natem , sed etiam valor ille hujusmodis i , ut elici exinde possit quadrata radix,

tunc aequationes quarti gradus non existunt in propria sua sede , sed semper iuduas alias, quae sint duarum tantum dimensionum , deprimi possunt. Jam ex iis tribus, quae contingere possunt in aequationibus cubicis, deri eatis ex aequationibus quarti gradus, priora duo fatis , superque exemplis e Splicuimus . Sed ut eorum omnium , quae a no bis dicta sunt, veritas innotescat, non abs re erit, tertium quoque , sive postr mum aliquibus exemplis ostendere . Pro Ponatur itaque aequatio quarti gradus κ'

- I x ' I ax ' Ia - o , 2 mediante aequatione cubica , quae ex illa derivatur, vorteat inquirere , num deprimi queat, divi-

484쪽

Ε Ε Ε M. Lib. ΙΙ. Cap. 8. os dividendo eas in alias duas , quae sint duarum tantum dimensionum. Reprae sentetur aequatio illa per formulam ge

Substituantur valores isti in aequatione

o , derivata ex aequatione illa generali ; 2 habebitur loco ejus haec alia 36 3 τ' l a 4 y- - ΙΑ O , in qua γλperinde valet, aC 9. Quum igitur aequatio cubica , deriva ta eX aequatione proposita κ' - I x lxa χ' Ia o, non modii habeat valoremtionalem , verum etiam talem , ut elici exinde possit quadrata radix , consequens est , propositam 2quationem non existere in propria sua sede , sed in duas alias secundi gradus divisibilem esse. Neque verb difficile erit, duas istas aequationes exhibere . Posuimus enim aequationem

ex multiplicatione mutua illarum aequa

sit γῆ m 9 ,erito α 3 , adeoque si in iis

aequa

485쪽

valores correspondentes , una fiet αδ φ3x . . 6 zzet O , altera x -- 7X- 2 Tm os

patetque duas istas aequationes per se mu tub multiplicatas producere aequationem propositam x - I x tax t Iam o. Proponatur secun db aequatio quarti Dradus x' - I ox--ηx 8 - o , I inquirendum sit etiam , num aequatio ista in duas alias secundi gradus sit divisibilis , nec ne . Comparentur termini hu-3us aequationis cum terminis aequationis

derivata ex generali illa arauatione, χprodibit loco estis haec alia 3 si , . ΣΟ f68 I 6 αα o . tinde, quum in ista arquatione γ' tantundem valeat, ac ψ , erit valor eius non modb rationalis , verum etiam quadratus : proindeque concludendum erit,propositam nequationem in duas

alias secundi gradus dividi posse , quae

Sed ostendamus id etiam in aequationibus litteralibus t quem in finem proponatur ulterius aequatio quarti gradus lit

486쪽

EBEM. Lib. II. Cap. 8. riterat is x a x --c x b x fue x ' ab λα - θὴρ - 22: O , ge oporteat inquirere , num ea existat in propria sua sede, an verb in duas alias secundi gradus sit divisibilis. Conserantur termini ipsius cum terminis aequationis generalis

nalem, 2 quadratum: sest enim γλ eα ιδῆ, jConsequens est , aequationem propositam non existere in propria sua sede, sed in duas alias secundi gradus dividi posse. Quae vero sint duae istae aequationes secundi gradus , in quas est divisibilis arquatio proposita x- --a-x- c*x- fh x ac x lab*x b c - - o , sic quidem invenietur. Quoniam habetur m a , erit I - a . unde , si in duabus a

487쪽

ηra A BOEBRAE tiplicatione mutua ponitur oriri aequatio

ρ subrogemus volores suos , signis proinbe observatis ; fiet illarum aequatio- Num una κῆ l ax , c-- o , 2 altera. cx ' ἰὴ - ci . Quocirca , quia duae istae aequationes multiplicatae simul Producunt et equationem propositam , enerunt, in quas aequatio proposita vicissim dividi poterit , 2 non aliae. Ex adductis igitur exemplis abunde liquet, quod beneficio aequationum cu-hicarum , quae derivantur ex a quatio Nibus quarti gradus , non modb istarum resolutio , quum fuerint in propria sulsede , possit obtineri, verum etiam hoc amplius cognosci queat, num eaedem sequationes quarti gradus existant in sede sua propria, an verb in duas alias secundi gradus sint divisibiles t adeo , ut me diantibus cubicis illis aequationibus natura a quationum quarti gradus fiat nobis omninb cognita , ac explorata. Excipiendus est autem casus, quum a quatio quarti gradus unum habet valorem rationa Iem . Tunc enim illa non existit in sede

sua propria, quum ad aliam tertii gradus, invento valore illo rationali , deprimi Pos.

488쪽

possit ; 2 tamen aequatio tu hica exinde derivata , quia nullum valorem rationa- Iem admittit , indicabit nobis existere illam in propria sua sede , itemque cubi cam affectionem continere. Quod equidem , ut exemplo aliquo ostendamus, assumatur aequatio cubicael 3X- - 9x- a 3 - o , quae existiein propria sua se de , eaque multiplicetux per aequationem simplicem x - ῖ - o, ut oriatur aeqnatio quarti gradu s secundo termino carens κη - 18κ-l ψx ' 69- o , quae unum habeat valorem ratio natem . Jam conserendo terminos hujus aequationis cum terminis aequationis ge

substitutis valoribus istis in aequatione

-- o, deducta ex generali illa aequatione, prodibit loco ejus haec alia I si δυ'. - - - I 6 - o, quae prosectd, siquidem rei periculum fiat , nullum Valorem rationalem habere invenietur. Et sane fieri nulla ratione potest, ut illo casu aequatici cubica valorem ad mitistat rationalem . Id enim si contingeret, aequatio quarti gradus , vel esset in pro

pria sua sede , sed immunis ab assectione

489쪽

4r Α Β o E B R AE cubica, vel etiam in duas secundi gradus esset divisibilis; quord utrumq; repugnat, quum ex hypothesi componatur ex aequatione simplici, I alia cubica in propria

sua sede existente. Et quam qua ex eo,quod sequatio cubica exinde derivata nullum habeat valorem rationalem, non recte deducatur existere illam in propria sua sede, optime tamen infertur affectionem Cubicum continere , quia tres ex ejus radicibus per latera cuborum debent designari. Unde crediderim, saltem ex hoc capite defendi posse , cur aequatio cubicas quae derivatur ex aequatione quarti gradus, in qua unus tantum valor est ratio natis, nullum valorem rationalem admittat.

VI. Reduino aequationum quarti gradus per

aquationes cubicas ex iis derivataralia methodo insituretur . Quem dinodum aequationum cubicarum resolutionem Italis omnes accepram serunt , ita ab iisdem Italis excogitatam fuisse regulam derivandi aequationes cubicas ex aequationibus

quarti gradus, nemo est , qui illud in

490쪽

dubium revocabit. Sed hanc regulam pro reducendis aequationibus quarti gradus, quae natural sua in alias duas secundi gradus sunt divisibiles, nemo melius explicR-vit , Sc ad umbilicum perduxit,quam Vieclarissimus Hyacinthus ChristophoruS, in signe Italiae decus,cui, si quid Ego in hisce studiis profecerim , id omne libenter acinceptum resero . Et quamquam ipsemet methodum suam in lucem ediderit in epistolai directis ad doctissimum Virum

Nicolaum Galitia, in Lycaeo nostro Neapolitano summum Canonum Professo rem , gratissima memoria non uno nomine mihi semper recolendum , ne tame ualiquid prie termissum videatur, quod sciis tu sit dignum , esus artificium hic brevi ter, ac perspicue aperire non gravabimur. Nimirum si utraque pars aequationi. qu Rrti gradu quadratum esset perfectum, liceret per extractionem quadratae radicis aequationem illam ad aliam secundi gradus deprimere. Itaque, quum aequati aliqua quarti gradus naturὰ sua deprimi Potest , nec tamen ejus utraque par. quam dratum persectum deprehenditur ; in id incumbendum , ut aliquid ad utramque Partem addatur ἡ qub utraque persectum. quadratum evadat. Sit ergo xl m