Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

471쪽

dices duas imaginarias . Itaque quia pso, ὸuctum ex duabus primis est x----a axis . h - o , χ productum ex duabus se

x4 aa x- -. b x ' c x- - Iab --αac x ' a' - a δὴ '' c h ea vi osequatio quarti gradus, quae producitur ex illarum omnium multiplicatione . Quare comparando terminos istius ordine- cum terminis aequationis x' f px

e b3 - 4a θ' - Ο.Haec autem :equatio cubica duas habet eadices imaginarias, de unam Lealem is Evanescit etenim aequatio, non modi, si Itizo ponatur quantitas realis Aa , v rum etiam si ponItur quantitates imaginart c b c - , Ω h--c - b c - . Itaque quotiescumque aequatio quarti gradus duas habet radices reales , R alias duas imaginarias 3 aequatio cubica , quae ex illa derivatur , unam

472쪽

Ε E M. Lib. II. cap. g. tantum continebit radicem realem , aeduae aliae ipsius radices imaginariae erunt. Quocirca sicuti aequatio ista cubica resolvi potest , ita R iplius aequationiS quatinti gradus resolutio poterit obtineri. Denique si aequatio quarti gradus ominnes habeat radices imaginarias , sint X-ίν. b , dira o , Ω κι-. a ' o --, mr ο aequationes simplices , quae continent duas illarum radicum x ' a -

Itaque quia productum ex duabus primis est x -aax ' a 'b mo,2 productum ex duabus reliquis est x l aox' a

δ c- - o aequatio quarti gradu S , quae ex illarum omnium multiplicatione producitur . Quare comparando terminos istius ordine cum torminis aequationis 'pκη

473쪽

Α x o E B R AEga c δὴ - 4a δε - Ο.Huius autem cubicae aequationis radiisces omnes sunt reales , nam evanescunt contrarietate signorum termini aequationis , sive loco γῆ ponatur a' , sive

BR abc - c- , sive --b- ' abc - c . Quocirca quotiescumque aequatio quarti gradus omnes habet radices imaginarias, aequatio cubica , quae ex ea derivatur, ra

dices omnes reales habebit: proindeque sicuti aequatio ista cubica resolvi nequit, ita nec ipsius quarti gradus sequationis resolutio poterit obtineri.

Patet itaque , eas tantum aequationes

quarti gradus resolvi posse , auae duas hahent radices reales, M alias duas imaginarias . Nam quotiescumque vel omnes radices sunt reales, vel omnes imaginariae , derivantur ex iis tales aequatIOnes cubicae, ut omnes ipsarum radices sint

reales et proindeque sicuti istae resolvi non possunt, ita nec illarum resolutio poterit haberi. Sed videamus modb, qua ratione aequationes quarti gradus , in quibus radices omnes sunt reales , distingui pose sunt ab iis, quae omnes habent radices imaginarias , nam tam illae, quam istae suppetunt nobis aequationes Cubicas squarum radices omnes sunt realeS.

474쪽

E REM. Lib. IL Cap. 8. δ' Et quidem semper ac in aequatione

quarti gradus , quae secundo termino caviret, tertius torminus afficitur signo '; peeea , quae superius ostensa sunt, certum est , aequationem illam radices duas ima ginarias habere . Unde si contingerit hoo Casu , aequ3tionem cubicam , quae exinde derivatur , talem esse, ut omnes eius ra dices sint reales 3 tunc eadem illa aequa tio quarti gradus non duas tantum , sed radices omnes habebit imaginarias . Verumtamen , quia a quationes, quae se Cundo termino carent, possunt radices imaginarias continere , etiamsi in iis tertius terminus afficiatur signo proin

de quod quaerimus criterium non ex ipsi aequationibus quarti gradus, sed ex aequationibus cubicis , quae ex iis derivantur , repeti debet et quod equidem haud dissicile erit invenire , si ad constitutionem a quationum cubicatum sedulli

attendatur.

Ad eam en Im attendentes, Invenie mus , quod quum aequatio quarti gradus omnes habet radices reales, tunc aequa tio eius Cubica secundum terminum habeat affectum signo - , tertium Ve

ab signo ' , sed quotiescumque aequa tionis quarti gradus radicea omnes sunt

475쪽

oo A B o E B R AEImaginarIae , & aequationis Cubicae exisInde derivatae secundus teminus astavitur signo -- , eo Casu tertiti S terminus Itidem signo ,- assici debeat. Itaque ha-hebit aequatio quarti gradus radices omnes reales, si utique ejus aequatio cubica, non modb radices omnes reales habeat, verum etiam secundum terminum affectum signo - , 2 tertium signo ' , at si

aequatio cubica habeat quidem radices omnes reales , sed secundum terminum, .vel habeat affectum signo ', vel etiam affectum signo , , , sed tali quoque signo sit affectus terminus tertius stunc aequa tio quarti gradus radices omnes habebit imaginarias. IV.

Ressistio aequationum quarti gradus exemplis illustratur. IV Quationum quarti gradus resolu4 adta tio adeo quidem generaliter a na-

his est ostensa, ut quae sint earum radices, neq; etiam in tormulis,sub quibus aequa tiones omnes solent exhiberi, nobis innotuerit . Dabimus ergo in Tyronum gratiam exempla nonnulla hujus resolutio-yis a ut noscan t , qua ratione ad Praxim

476쪽

ELgM. Lib. II.Cap. 8. go Isint revocanda , quaecumque omnia circa rem istam generaliter a nobis sunt enunciata . Et quoniam aequationes quarti 'radus , quae existunt in propria sua sede, duplicis sunt speciei , quum aliae conti neant affectionem cubicam , aliae ab illa sint immunes ; proinde exempla asseremus pro utraque specie aequationum , qua in re ordiemur ab iis , quae immunes sunt a cubica affectione, utpote quae semper, Se longe iacillus resolvuntur , cusus modi sunt illae, quarum aequationes cubi cae valorem habent rationalem. Proponatur itaque primum resolvenda aequatio quarti gradus x ' - Iax' fIΣX- o , quae si utique repraesentetur per aequationem generalem x't px

a , α ν - - r . Quoniam aequatio cu-hica , derivata ex aequatione generati α'.

477쪽

tio quarti gradus κ' - 8x' t 16x - 8M O . Quoniam in ista aequatione p est. 8 , ιν est ' 16 ,2 r idem valet, ac p, hoc eit - 8 ; aequatio cubica disi ' an '

23 6 M o . Et quoniam in hac aequatione γῆ idem valeti ac g ; erit Tm aina, adeo

que aequationes duae x 'γx -

478쪽

E A x M. Lib. II. Cap. 8. ηοη

a . at o 8, radices vero alterius aria

, erunt quatuor istae radices valorus propositae aequationis X' , 8xat i 6x - 8 O. Proponatur ulterius resolvenda aequa iatio litteratis quarti gradas x' - qiιθα- Ψ qabcx -- abc- - o . Repraesentetur ea

479쪽

Α Ε o E B R AE O4Ω -- ab Uab l coab radices verbalterius aequationis sunt hae duae oab f Zab --- eoab, I ab --. Mab.-- coah, erunt quatuor istae radices valores propositae aequationis x auex f Aabcx abc m C. Atque haec sufficiant exempla , quum aequationes ouarti gradus immunes sunta cubica affectione. Demus modb unum, aut alterum exemplum , quum eaedem aequationes quarti gradus affectionem cubicam continent, id quod contingit, quum aequationes cubicae, quae ex iis derivantur, valorem rationalem non habent. Proponatur itaque aequatio α' 6x ' r- o, in qua non modb secundus, rum etiam tertius terminus deficit. Ηaee continetur sub formula generali x' ' qxr m o , cujus aequatio cunica est y ηυ ' -- ρq o . Et quoniam, facta teria minorum comparatione, habetur V m 6 , 2 r - ue proinde substitutis valoribus istis , fiet aequatio illa cubica P. Iv- - 76 - Ο, quae quum nullum habeat valorem rationalem , indicio nobis esse potest, aequationem propositam affectionem cubicam continere.

Jam si cubicam istam aequationem

480쪽

E g E M. Lib. II. Cap.8. x εο ς quae secundo termino caret, resolvamus methodo superius tradita inveniemus v - , 3 18 soa6o f a I 8 a6o ueatque adeo erit ipsa incognita di in

in os quarum multiplicatione fingitur oriri aequatio κ' f qκ f r me o , loco I ponamus valorem inventum , simulque loco ρ subrogemus valorem suu ,iam utrarique illarum aequationum determinabitur . unde non aliud restat, quam ut ii Iarum aequationum sic determinatarum radices capiantur , quum eae dent valores propositae aequationi S . Sed nec aequatio

nes ea ratione determinatas , nec earun

dem radices hic exhibemus , quia prolixae earu na explessiones Typographo nostro molestiam non exiguam afferunt. Proponatur deinde resolvenda aequatio quarti gradus κ' -- gπ' ' 8x- 3 Os quae secundo tantum termino caret. Iam si haec repraesentetur per formula genera lo

ΗΣ - δ . unde quum a