Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

491쪽

s A. B p E B R AE x r aequatio quarti gradus natura

sua in duas alias secundi gradus divisi- sibilis. Apponatur ad utramque partem quantitas aliqua, ut utraque fiat quadratum perfectum 3 2 iam si fuerit x- fyradix quadrata partis prioris erit Ux- fy id quod utrique parti debet apponi .

Unde eo res redit , ut qua ratione deterin minari debeat quantitas ν , iuvestigemus. Nunc in finem consideremus hanet quadrati proprietatem , nulli non cognitam i nimirum , quod si fiat quadratum ex radice binomia , illud constabit ex tribus terminis , eritque id , quod producitur ex extremorum multiplicatione , quale quadrato , quod fit ex termino medio dimidiato . Ita quadratum ex o ' b

est a' ' a ab ' θ' , R id, quod producitur,

multiplicando a per b- , adaequat quadratum , ex ab , semisse termini mediiaab . Quocirca quia addendo a v 'di' ad utramque partem assumptae aequatio

esse quadratum ; erit in ista id , quod oritur , multiplicando apx' ' ux' per r l ' , aequato qu3dxato , quod sic eae agae.

492쪽

ELEM. Lib.II. CV. 8. y I unde irestituta aequillitate , eademque per traditas regu*as ordinata , erit ' ' ' ργ' f ἰ '-- o aequatio , Per quam determinari debet quantitas F. ' Jam , quuna aequatio quarti gradus x - fr nainra sua in duas alias secundi gradus est divisibilis, habeῶhit quantitus I in inventa caequatione

lem rationalem. , ut si secundum eum determinetur quanti eas a 3 ' γ', ad utramque partem aequationis addenda, poterid ista pedi intractionem quadratae adicis' sempes lita aliam secundi gradus deprimi si undo vicissim, si invento valori S incognitae sην contigerit aequationem propositam tradita methodo deprimi noni posse ; iudicio erit, eam in duas alias se Aoundi gradus non esse divisibilem'. Caete rum aequatio illa , ad quam deprimitur aequatio proposita una erit ex aequatiois fibus componentibus 3 2 si utique peteam dividatur eadem aequatio proposita, At divisio absque ullq residuo, & habe-hitur: in ' totiente aequatio componens

3b Propinatur aequatio quarti gradus κε - δη- oporteat iuxta hancinethodusis metuuete,num ea in uas alias

493쪽

r 3 A B ct E B R AE ' secundi gradus sit divisibilis . Compsistentur termini ejus ordine cum terminis aequationis generalia. x' αα: ' μα' r,eritquep - 4,ρ πα-- - Τ.substituantur vallares isti in aequationa

-. I m O . Unde,quia in ista aequatione F idem valet , ac - a , quantitas υκ f, ad utramque partem aequationis a

additionem istius quantitatis aequatio proposita evadat κ' ,-. 4πR,' Α - 4π- -- ηας ' ἔ , quae per eaetractionem quadratae radicis deprimitur ad han C aliam X . . . - ax , I , hoc est η - - ax - I αας O, erit aequatio proposita , in duas secundi gradus divisibilis, quarum una erit x ax - Ε - O , altera ' ax -- 3

Quod si in aequatione proposita deficiat

non modb secundus terminus . Verum etiam tertius, aut quartus , eadem methodus adhuc quoque sibi locum vindicabit . Sit enim x in Ian t s aequatio quarti gradus . Itaque, quia comparando terminos istius cum terminis aequationis

494쪽

EEν M. Lib. II. Cap. 8. I'. n' ' ref pr m o mutabitur riscasu in hanc aliam 'AE' Lν - Ι 8 - H. Unde, quia in illa aequatione F idem valet, ac a; quantitas ox' 'I' , ad utram que partem aequationis addenda , fiet 4x' η . 'dirca,quia per additionem illius quantitatis aequatio proposita fit x f x f - ηx' ' i ax 4 9,eademque per extra- Aionem quadratae radicis deprimitur ad hanc aliam x a-ax l g , hoc est x -- 2X'-- I in erit aequatio proposita in duas alias secundi gradus divisibilis,

Proponatur ulterius arquatio quarti gradus κ' - Iax - Ιε , quae secundd, x quarto termino daret . Et quonian coparatis terminis istius ordine cum temminis aequationis generalis κ' i apx' 'η κ f, , fit p ---o , 2 r - ω i 6 ue subrogatis hisce' valoribus , mu

pν--Σ O in hanc aliam 'ν' - 96 - O': proindeque, quia in ista aequatione di idem valet , ac - 4 6 quantitas adix ' γ' , aἀ utramque par, em aequationis addenda ι fiet -8x fa 6 . Unde, qdia per additionem illius quantitatis aequatio proposita evadit x Dd a i - 8xac

495쪽

dio A B U E B R I gx f 16 - 4κ- , atque haec per extractionem quadratae radicis deprimitur ad hanc aliam x- - 4 - ax , hoc est x- Σκ-- - - Ο, erit aequatio proposita in duas alias secundi gradus divisibilis , earumque una erit xy ax - Α - . , altera x fax - 4 m O. 7 Atque hac occasione notetur hoc loco velim, quod etsi, quum utraque aequatio num componentium secundo termino caret , aequatio composita non modb secundo, Verum etiam quarto termino careat; nota hinc tamen vicissim , quum aequR-tio composita caret secundo , 2 quarto termino, aequationes Componentes secundi termini expertes esse debeant. AEquatio enim x -- Iax I 6 - o secundo, quarto termino caret,& tamen ejus aequa tiones componentes sunt x- - aκ - δ' met O ,-x' ' Σx - η - Ο. . quae terminis omnibus sunt repletae. Sed fieri quoque potest , ut aequatio quarti gradus habeat

tantum primum 12 ultimu terminu,cominponaturque nihilominus ex duabus ae

quationibus secundi gradus, in quibus nullus desit terminorum . Sic duae istae arquationes secundi gradus x - ax t a, de x' ' ax ' a - o terminis omnibus sunt Repletae, de tamen multipli

496쪽

E L RM. Lib. II. Cap. 8. 4 a Ieatae simul componunt aequationem quarti gradus x' o, in qua de ne omnes termini intermedii. Neque.Verb methodus, quam prie manibus habemus,deficiet nobis in isto casu. Si enim aequatio X repraesentetur per assuationem generalem κ' m

ν - - η : proindeque subrogatis valoribus istis in aequatione cubicu Fan' ' O lpr - aqq- o prodibit loco ejus haec alia γῆ - ην - o , hoc est γ' 4 in o. unde, quum sit ν - a , quantitas adix' f)- , ad utramque partem aequationis addenda , fiet 4x - ' η ; adeoque per additionem istius quantitatis evadet aequatio proposita x' ' x '

x- , quae per extractionem quadratae radicis deprimitur ad hanc aliam κ' f a- ax , hoc est Xy -- ax f a - o , quae erit a quatio Componens una ; 2 si utique dividatur x ' - - o per x- ,-- ax ' χ o , habebitur in quotiente a quati componens altera κῆ l ax ' a m o. Itaque semper , ac a quatio quarti gradus est composita , sive in ea deficiat tantum secundus terminus , sivo cum lucundo deficiat quoque tertius, aut qualitus , sive . demum deficiant termini

497쪽

422 : A E 2 a re omnes intermedii semper inquam per hanc methodum poterunt aequatione componentes inveniri. Sed eadem methodus potest nobis usui esse,etiam quum aequatio quarti gradus terminis omnibus est repleta : nimirum si terminus secundus jungatur cu primo, k in invenienda quantitate , quae ad utramque partem quationis addi debet , ut utraque quadratum evadat, eius quoque ratio habeatur. Verum id sufficiat indicasse , Sequiplura cupit , adeat laudatam Auctori epistolam , qu e reperitur in calce sui tractatus de doctrina triangulorum, editi

Venetiis anno II a Q.

De resolutiora re quationum altioris gradus.

RE solutio aeqyation Vm ε quae plures

habent dimensiones,quam quatuor, inaudita est apud Vulgus Λlgebristarum, non quod earum n5 ita frequens sit usus in Algebr ἰ, quemadmodum ipsi iactitant; sed quia, si particulares quosdam casus excipias , nemo hactenus pro illarum resolutione methodum protulit generalem. '

498쪽

E E E, Lib.II. Cap. 9. a lNon is ego sum, qui ausu quodam gigante lapidem istum movere possim , nec a me talo quicquam jure debet expediari, utpote qui e proprio tyrocinio vix dum egressus , multum abest, ut cum aliis, qui huic rei operam navarunt, possim comis parari . Praestabo tamen , quod possum, Mnisi resolutionem tradam istarum aequationum , saltem principia , quibus ea possit obtineri, hoc capite breviter indicari

- Prim. Igitur accurate velim distinis

guantur aequationes , quarum dimensiones sunt numero impares , ab aequationi-hus , quae dimensiones habent numero pares. Quemadmodum enim eae tantum aequationes tertii gradus resolvi possunt, quae unam habent radicem realem , χalias duas' imaginarias ita generaliter semper ac resolvenda proponitur aequatio aliqua , cuius dimensiones sunt numero impares, tunc demu obtineri poterit ejus resolutio,quum una tantdm radix est rea lis, A reliquae omnes imaginariae sunt: proindeque aequationum , quae dimensio nes habent numero impares , frustra Instituitur resolutio, quotiescumque in iis plures, quam una a radices reales extite-

499쪽

mensiones habent, numero, pares , istae progrediuntur eadem omnino lege, qua incedunt aequationes , vae sunt quatuot dimensionum nimirum quemadmodum hujusmodi aequati es tunc demum resolvi possunt , quotiescumq; duas habendradices reales la alias duas imaginarias;ita generaliter semper , ac resoluenda proponitur aequatio aliqua , cuius dimensionea sunt numero pares , tunc tantum licebit resolutionem eius obtinere quum iduae ipsius radices sunt, reales, & aliae omnea imaginariae: quocirca aequatiouum a. quae dimensiones habent numero pares, frustra tentatur resolutio, ubi in ita plures amduae, radices feales occurrunt iVerum, quod hac, 2 alibi dictum est,

aequationes quarti ,gradus tume demum resolvi posse, quotiescumque duas habφne radices reales , & alias duas imaginarias id velim intelligatur de. aequationibus quarti gradus , quae assectionem cubicum continent . Si enim aequatiqnes. quarti gradus immunes fuerint a cubicat assectione, adeo ut dividi possint in alias

duas, in quibus cousscientes ter norum non alias radicales, quam quadratas Contineant i tunc poterit earum resolu-

500쪽

tio obtineri, etiamsi radices omnes ha-hrant leales . Et generaliter Omnis aequa. tioi, quae dimensiones habet numero pares, si di idi possit In alias duas beneficio radicalium quadratarum , resolvi quandoque potetit, tametsi plures contineat radices reales , quam duas. - Secundb circa radices a quationu omniffhoo velim theorema sciatur , nemine adhuc adnotatum : nempe , quod radix coeluscumque a quattonis, quae terminis omnibus sit repleta , generaliter tot terminos continere possit, quot sunt dime son lpsius a quationis , 2 non plures,

hoc est unum si aequatio fuerit primi gradus ue duos , si secundi , tres , si tertiipquatuor, si quarti , atque ita deinceps. Neque verb inficiamur , posse quandoquo

Pauciores terminos tincludere . . Nam

quemadmodum fieri potest , ut in ariu tione unus, aut plures ex terminis intermediis deficiant , ita contingere quoque potest,ut in radice ipsius a quati9nis unus, aut plures ex iis terminis desint.. - Iam ex terminis. quos i. coutinet radix cuiuscumque aequationis , uuiis debeti semper adaequare eam partem quantitatis icognitae secundi termini , quam ostendit gradus ipsius a quationis 3 nimirum se