장음표시 사용
171쪽
1go coMMERCIUM EPISTOLICUM. dinis. Significat mihi . HAMEL iuri Secretarium in Academia Scientiarum Regia diem suum obiisse; eique successisse aliquem
nomine D'ALE ME, Mechanicum; atque hunc receptum esse in . ter veteranos, qui novam constituunt Academicorum supernum, rariorum classem, & qui non ita stricte tenentur interesse congregationibus Vale & Fave. Da ta 7bris. I7o6.
Vir Celeberrime, Fautor Honoratissme lR A T I A s ago , quod labore me sublevasti inquirendi in meae conitructionis limites, per quam datae curvae quot ibet aequales exhibere doceo. Cum alia peragenda magis magisque umgeant, fit ut talia vix possim tractare , qua vellem attentione. Nuper cum Epistola Tua excitatus considerarem motum repentem . contentus fui primariam eruilla proprietatem dimensionis. Tua autem tunc ad manum non erant. Quod si in Schediasin te ad Acta olim mista, hinc clare duxisti Tuam constructionem arcus dato aequalis, bene habet. Sin minus cogar eam a Te s
172쪽
Quem Integralem Calculum appellas, ego Suminatorium dicere Solitus sunt, & Integralem appellabam eum , qui docet Pr blemata Arithmetica in integris 1Olvere, quando id fieri potest. Semper autem opposui differentias & summas , d & s , ita ut s dx sit x, & dsxux sit x dx. Ita s Se d conjuncta se mutuo tollunti Imo summae me disserentialis Calculi admonuere . eaque Methodi meae clavis fuit; cum in seriebus numericis hanc re iprocationem deprehendissem , eaque arte summassem multas series antea non summatas. Re igitur ad lineas seu series inastignabiliter differentes traducta ; animadverti tangentes respondere differentiis, quadraturas summis, & quod in numericis feceram. multo magis in Geometricis faciebam , ut de variis regrediendi seu summandi artihus cogitarem ; Non sine multiplici jam tum successu , ut specimina etiain comprobarunti Et quod de rationalibus 4iadraturis nuper edidi, jam tum habui; reductione enim
fractionum compositarum ad simplices pro seriebus numericis inventa, pronum fuit idem adhibere figurarum quadraturis. Eaque omnia jam triginta annorum aetatem habenti Si qua in luminando vel integrando artificia detexisti . ouae me sugerint, gratus agnoscam pro eo candore quem semper Ostendi. Apollonianum Fragmentum ab I IALLEIO Editum nondum ata
uidam nuper ad me scripsit, nostram Methodum maximae& niaimae non pertinere ad casum talem. Sit Fig Io 8. , Io 9. TA. XIX, Curva ABCD, quae a C rellictatur, sitque C E portionum tannens communis. Hinc ille non putabat hic locum habere , ut L F exilientes I, quaeratur G C , ubi Ο o. Respondi etiam hoc locum habiturum, si concipias curvam, quasi saccum regressu faciat, qui in hoc casu evanescat in punctum. Vale.
173쪽
D. Ita valetudine in ina. De Ellipsi in cium m multigibbam transformam da per motum reptor n. De Elliptica peripheria ad Circularem redimeenda per approximitionem celer rimam. De curvarum apicibus. De
Vir Amplissime atque Celeberrime, Fautor Hon ratissime l. Nori est quod gratias agas pro tenui labore, quo Te sublevavi, inquirendi in Tuae constructionis limites, per quam datae curvae quotlibet aequales exhibere doces : certe enim fuit Iabor tenuis; mihi tamen, qui dubia semper valetudine utor, satis molestus, ut nesciam an aliena Tua negotia Te magis quam corporis mei infirmitas me excuset , quominus talia pertractem debita attentione. Id saltem rogare Te ausin, ut ne imponas mihi in posterum aliquid oneris, ad quod ubi responsionem dedero , quantum per vires licuit, eam tamen postea attente perlegere R examinare vix Tibi vacet. Cui enim bono ut impleam litteras longis calculis f hoc praesertim valetudinis meae statu Jquas si Tu non legis , nemo mortalium unquam leget. Possiim subinde colligere, ignosces candide loquenti , ex iis quae a me petis, quod litteras naeas olim ad Te datas, vel plane non, vel admodum perfunctorie legeris , vel saltem lectarum facile nimis obliviscaris: nam quandoque petis quae jam . dudum dedi. Petis. Exempli gratia , constructionem meam arcus dato aequalis , ex Schediasmate meo ad Acta olim misso ductam ; quam tamen , ex iis omnibus quae Tecum, per aliquot annos, circa hanc materiam communicavi , jam perspectissimam esse nullus dubitavi. Sed Diuitigod by Cooste
176쪽
L EIs NITII E T B E GV O ULLII, EPIs T. CLXVI. Ic3 Sed quomodo eam nunc clarius exhiberem quam in Actis habe-1 o . tur 3 Impende , quaeso , semiquadrantena horae, ubi vacaverit , Ja . lectioni attentae illius Schediasmatis: extat in Asense Aug. I os .
forte nec temporis, nec operae poenitebit. HERMANNUs noster legit & examinavit illud serio , lectumque impense probavit& laudaviti Ut tamen Tibi morem geram petenti, exemplum pro Curva Elliptica in aliam aequalem transmutanda dabo. Sit Fig. IXO- T,. xix Ellipsis data ABDE, cujus axes conjugati AD & BE: Fac igitur aliam Ellipsin datae aequalem N PMQ; tangantque primo duae illae Ellipses se mutuo in verticibus conjugatis A & P; ita nempe, ut in directum cadat axis major AD cum minore P Q. Hoc in positu repere facias PM N, hoc est, moveas eam motu parallelo super immobili ABDE, servato interim sempercontactu mutuo Ellipsium , quo fiet ut Ellipsis PM N transferatur post primum circumlationis quadrantem in situm Ρ 1 M i
I Nr, post secundum in Pa Μ a a Na, post tertium P 3 M 3 Q 3 Νῖ. & post quartum redeat in primum P ΛΙ N;
atque interim vertices quatuor A , B. D. Ε , successive excupiant suos respective conjtigatos P, N, Q, M. Hoc motu, Pula tum quodvis in plano curvae repentis , exempli gratia, centrumo describit curvam OGO, HOa JO3 Κ O, quae , sc cun dum ea quae demonstravi in Actis, et it dupla curvae Ellipticae ABDE. adeoque illius dimidia OGO 1 II O a erit aequalis propositae curvae Ellipticae. Quod si magis desideres, ut integra descripta Ellipsi datae sit aequalis; oportet prius assumere loco Ellipsis datae aliam Ellipsin similem , habentem axes conjugatos datorum dimidios: Ita enim ambae Ellipses ABDE & PM N simul sumtae aequantpropositam, huicque adeo aequalis erit integra curva descripta C III K. Habes ergo ut desiderasti constructionem per motum
continuum certe non minus geometricam quam ea est, qua permotum circini describitur circulus. Forte tamen ei non acquieuces, sed petes aequationem algebraicam pro determinanda natura Curvae, ejusque punctis inveniendis ; Talem exhibere aequati O-X et nem, Disitigod by Cooste
177쪽
I COMMERCIUM EPISTOLICUM. 3 . I7 nem, si intelligis per eonfructionem dare, etiam in hoc me obse-JM . quentem habebis. Sit igitur semiaxis maior AC a, senalaxis B A scissa in determinata in Ellipsi CR x, adeoque applicata in eadem RS -- .s ιι- xx brevitatis gratia by: ιι; ex
terminatam fore quaesitam, nempe illam ipsam quae per motum repentem puncti O fuit delineata. Notes hic obiter puncta F ct S ita sibi respondere, ut ubi O processit in F mutuus Ellipsi uiri contactus tunc temper celebretur in S ; quae omnia demonstratu sunt facilia. Sed ad aliud nunc progredior , quod moneri alicujus operae
pretium duco Manquam alias , ut videtur, haud adeo magni meum inventum aestimaveris. Idque hoc est , quod haec mea Methodus transformandi curvas simul doceat lineas Ellipticas , caeterasque Ellipticarum formam habentes , imo omnes curvas comprehendere intra limites pro arbitrio coarctandos duorum ci
culorum , quorum unus majorem , alter minorem circumferentiam habeat , quam data curva Elliptica ; quod quantum usum habere possit in praxi ipse perpendas; licet tale quid nemo hucusque praestiterit; nemo enim huc. usque, sine serie , in terminis finitis & geometrice reduxit, exempli gratia, Ellipsin ordinariam
intra duas circumferentias circulares, quae vel tantum centesima, nedum millesima , vel minori adhuc sui parte , altera alteram excedat; hoc tamen est quod mea Methodus feliciter exequitur, en qua ratione.
Vides curvam rependo descriptam, quae Ellipsi aequalla, habere quatuor sua puncta Cardinalia o, O i . O a . O 3 . aequaliter diltantia a centro . C; sed & demonstrare possium inter illa puncta, dari 4 alia exacte intermedia G, H, I, Κ, itidem aequaliter distantia a centro C; sed hoc discrimine, quod illorum in. et valla a centro C sint minima, horum vero maxima ; id quod
178쪽
curvae nostrae peculiarem hanc sormam conciliat , ut nempe habeat quatuor gibbos valde quidem obtusos in G, II, I, Κ, al-- - Τ' ternatini protuberantes inter quatuor puncta Cardiu alia O, O i , O a, O 3, ubi curva quatuor veluti compressiones patitur; unde elarum est circulos duos ex centro C, & radiis C O, C G, descriptos , tangere curvam in quatuor punctis, & unum quidem
interne in o , O, Oa,O3, & alterum externe in G , H , I, K;
adeoque illum tanquam circunscriptum eadem esse majorem.
Est autem radius inlcripti CO CA ε CB ari , & radium circumscripti CG invenio AB da V et aa - ah, . Hinc ergo concludo curvam nostram OGO r, ΗΟ a JO 3KO. hoc est, Ellipsin, cujus axes conjugati sunt 4 a & 4 b, nena peduplo majores quam AD & B E, esse majorem quam ambitus
Circuli cujus radius a--δ, sed minorem quam alium , cujus radius si χ a a - - 2 ι δ, Sumamus exemplum hujtis adjeche figurae , ubi tali Ellipsi sum usus, in qua semiaxes conjugasti AC RBC, sunt ut s & ε, unde radius circuli minoris erit 9 vel V 8 i , & radius circuli majoris erit V 8a ; assero igitur longitudinem Ellipsis, cujus semiames conjugati habent partes Io & 8,
esse inter duas circumferentias circulares radiorum 8r &. 8a,
qui numeri sibi propius accedunt quam hi rationales 9 & 9 τῖ- . hoc est, quam Isa & Is 3 , ideoque minor a majori minus disia fert quam centesima sexagesima secunda sui parte. Hac occasio. ne memini me legere apud nonnullos Practicos, quod pro comparandis perimetris Ellipsium cum circularibus, jnbeant describere circulum radio aequali medio Arithmetico inter semiaxes conjugatos Ellipsis propositae, cui assierunt aequalem fore circuitum circuli ita descripti. Revera hic circulus, cujus circuitum haud dubie ex sola sensuum aestimatione aequalem judicant lineae Ellipticae, est ipsissimus minor ex limitibus a me hic assignatis; sed cum illi eum non- nisi circiter aequalem aestiment, incerti tamen utrum, rem accurate sumen M, sit justo major aut minor; ego veritatem scientifice assiecutus , ostendi nonnihil justo minorem
esse; sed haec de limitibus primis. Nunc limites secundos, mul' in quam primi propinquiores , S: postea tertios propinquiores. X 3 adhuc, Diqitigod by Cooste
179쪽
Τ' ΟΠ adhuc, & ita porro invenio hac ratione : Finge scilicet curvam. aros rana prima operatione inventam GHI K se ipsam ob repere,& ita quidem ut ab initio vertex gibbositatis G tangat verticem comprestitatis O , hoc eit, ut recta longis lima G C in curva m bili cadat in directum cum recta brevissima OC in curva immobili, plane ut factum est in ipsa Ellipsi , ubi ab initio vertices conjugati A & P qui sane nihil aliud sunt quam id quod ibi v
co Vertices gibbolitatis & compressitatis J se tangunt, & maxima minimaque distantia AC PO, in directum ponuntur. Hoc intellecto, levi, attentione actibita percipies . secundo hoc motu re titio, centrum C .curvae mobilis, vel quodvis aliud ejus plani describere curvam novam Otigiatam, hoc est quae habebit octo
gibbos tantillulum prominentes alternatim, inter totidem compressuras, & quorum vertices octo aequabiliter a centro distabunt; curvamque ipsam Ocrigibbam longitudine duplam esse curvae generantis quadrigibbae, uti haec ipsa dupla est Ellipticae, ex qua Dit generata. Attendas igitur ad mirabilem generationem harum eurvarum. Ellipsis, quae reapse est curva blibla , generat sui
duplam quadrigibbaan ; quadrigibba producit sui duplam octigi ἷam; & haec, simili motu & conditione, gignet etiam sui duplam sederigibb. , & ita porro in infinitum. Sed quemadmodum Cutis va quadrigibba propius ad rotunditatem Circuli accedit , quam bugibba, seu Ellipsis; ita quoque octigibba propius accedit ad eam quam quadrigibba, sedecigibba propius quam Octigibba, &c. ω-
instar polygonorum , quae quo plures habent angulos, eo magis circulo assimilantur : magno tamen discrimine appropinquationis Mam per multiplicationem angulorum in polygonis diu multu que procedendum est, antequam perveniatur ad limites a Ludo pho V AN COLI, EN constitutos, sed Curvae nostiae multi gibbae incredibili adeo celeritate ad circulum convergunt, ut, quemad modum ex indiciis quibusdam milii patet, institutis quinque Operationibus jam perveniatur, ad limites Ludolphims arctiores; r perta nempe curva tantum 6 gibborum; loco quod ARcHι Eoi opus fuerit Polyzono 96 angulorum ad rationem suam aeti et a diametri ad circumserentiam inveniendam , quae tamen T
180쪽
vera multum adeo adhuc abludit. Veritatem hujus aliquo niodo i-o percipies ex limitibus nunc tradendis , quos mihi suppeditavit J in. curva octigibba. Hos ut inveniam, facile colligere est ex dictis, necesse esse ut quaeram illius Curvae distantias a centro maximam & minimam: circulus enim, radio maximi intervalli descriptus, tanget curvam exterius in octo planctis, & erit per consequens longitudine major quam curva; sed circulus, descriptus radio minimi intervalli, tanget curvam interius in octo punctis, adeoque longitudine
minor erit quam curva. Quantum ad distantiam minimam, invenitur facile ; eit enim aequalis summae distantiarum minimae amaximae curvae quadrigibbae genitricis, quod per se patet; sed quod spectat ad distantiam maximam, demonstrare pollum quod sit illa aequalis perpendiculari CZ bis sumtae, quae demittitur ex centro C in rectam V X tangentem curvam quadrigibbatia generatricem in V , quae tangetis supponitur facere cum CO A CG
prolongatis, balbi Trianguli isoscetis VCX; Et quidem pari
modo distantiae minimae & maximae in sequentibus curvis multi gibbis inveniuntur : Semper enim distantia minima aequatur dis tantiis duabus, minimae & maximae simul sumptis in praecedente multigibba generatrice& distantia maxima aequalis est altitudini bis sumtae trianguli Isoscelis formati per prolongationem di L tantiarum praecedentium maximae & minimae, usque ad tange tem tanquam basin ejus trianguli. Ex hoc generali fundamento, si nunc lubeat eruere limites secundos , quos nempe suppeditat curva octigibba, advertendum' primo est, cum octigibba sit dupla quadrigibbae, & quadrigibba dupla bigibbae, seu Ellipsis; sore
curbam octigibbam, longitudine quadruplam Ellipseos; adeoque ut illa fiat aequalis Ellipsi propositae , assuniendam esse pro prima genitrice aliam Ellipsin similem, cujus axes conjugati sint subquadrupli conjugatorum propositae. Sint igitur iterum, ut ante aves conjugati Ellipseos propositae 4 a & b , adeoque nunc AI) a, ABC - δ : Inveni pro limitibus secundis, nempe radium circuli curvae octigibbae inscripti aΗ-δ- et aa--abb θ : a & radium circuli eidem circumscripti i, a na