장음표시 사용
211쪽
Fingo jam progressionem quaesitam divisorum esse 2. I. a. -- F. eruntque differentiae primae F - a, a -I, - Ι - a , diil rentiae vero secundae a - a 3 -- a, &I - 2 4- I, quas po
nendo a. erit I - 4 4- I 3 , vel - I , unde Orium tur duae progressiones z. 3. 2. - I, & z. - r. - 2. Io, quae deorsum continuatae evadunt 2. 3. 2. - I. - 6. I 3., & 2. - I. - 2. - I. a. 7; cum igitur duo postremi numeri prioris progressionis - s, &- νδ j reperiantur respectivd inter numeros quintae, & sextae seriei divisorum, sulpicio est per hanc progressionem divisorem quaesituin inveniri posse; hujus progressionis dii Ferentiae primae sunt I - Ι - 3 - - 7, & singulae differentiae secundae per a divisae --- I. Ergo per Re
&c. succedit autem divisio per-xx - 2 x εa, quoto existente - x x ε 3 x- 3. Item divisor lignis mutatis xx ε χω - et inventus fuisset per similem divisorum seriem - a. - 3. - 2. I S. I 3. in qua itidem signa mutata sunt. Alter divisor - oc 3 x- 3 , sive x x - 3 x - 3 qui modo fuit quotus, per regulam etiam investigari potest. In hunc finem assumo tertium ex divisoribus primi numeri 26, nempe I 3, Cum hoc numero per Schol. a. adhiberi pollunt tantum sequentes divisores
212쪽
Fingo progressionem quaestam esse I 3. a. I. . eruntque din serentiae prima ,- 13. 4-I, I-n, differentiae secundae α - 2I I3 I-aa I dia, hinc, - 4 i I, vel I, primum valorem I II statim rejicio; quia hic numerus in secunda serie divisorum I. 3. 7. 2I. &c. non reperitur; posterior I dat a 3 , unde haec oritur progressio I 3. 7. 3. i. quae deorsum continuata evadit 13. 7. 3. I. I. 3,. cujus postremi termini r. 3. reperiuntur in duabus poliremis diviso rum seriebus ; polito igitur - u - - Σ , erit d' r 3 ,ἀ -- s, d r , undδ per Regulani divisor quaesitus 33 oc a. -- 6 dc a. ἐπ I. I-- 3 x ε 3. 3. Proponatur quantitas 3 oc - 6 x' x - 8 x x I x- I4, substitutis pro x;- I, O , I. 2, 3 , prodeunt numeri IO. I . - IO. - 38. IIo, quorum divisores sunt hi, in quibus cum nulla occurrat progressio Arithmetica , in qua disti
Ι7. 34 8 s. I7o. I. rentia est vel I , vel 3, qui sunt divisores coefficientis altissimi 3 or , concludendum est quantitatem propositam nullum admittere divisorem unius dimensionis. Quaerendum est ergo an- non reperiatur aliqua progresso, in qua terminorum differentiae secundae per a divisae sint, vel I Vel - I, vel 3 . Vel - 3. adenque
213쪽
a s c O M M E I c I U M E P I S T O L I C U M. ipsae differentiae secundae vel re et . vel II 6. In hunc finem alIunio primum ex divisoribus primi numeri IO. nempe I, cuiu
hoc per Schol. 2, adhiberi possunt sequentes reliquorum numerorum divisores. Fingamus progressionem quaesitam esse I. I. z. I. eruntque differentiae primae I - I, 4-I, I -d, differentiae secundae a- 23--i - 2 a i, hinc I a ; sed secunda series l. a. 7. 14. Rc, & tertia I. s. - I. - nullos habent divisores aequales praeter I., &-I; jam posito F Idissetentia secunda evadit o, quod non satisfacit; sed posito I: Σ - - i disserentia secunda evadit et, oriturque progressio
. - I. - I. I. quae deorsum continuatur per numerum s in ultima serie I. s. I7. 8 .. reperiundum. Spes igitur est per hanc progressonem I. - I. - I. I. s.. divi rena quaesitum obtineri polle; facto autem -N-- I, erit d' I, d ' - - a ,d' i. & divisor tentandus per regulam I. - - πε I. - 2 I. x. I xx - x- I, sed quia cum hoc divisoreres non succedit, fingo progrestionem quaesitam esse I. F. a. I9. Dc. , eruntque differentiT Primae I - I,4 γ, I9-δ,& differentiae secundae 4 - 2 I y- 2 a -- I9 , hinc a F - ς; jam in tertia serie I. s. - I. - . reperiuntur hi soli numeri s & - i , qui senario excedunt respective num ros - I. &- I. secundae seriei; verumtamen, s fiat 3 -a,& a s , differentia secunda erit 8. Sin autem , ponatur I - 7. & Σ - - I. differentia secunda evadet i . arum neutra satisfacit ; Fingo itaque progressionem quaesitamelle I. F. a. - 2. eruntque differentiae pri inae ' I , Q - , - 2 - a, secundae Δ - a I I - 2 4 - 2 , hua camma i. Eit autem tu secunda serie divisorum unicus numerus
214쪽
merus et qui unitate eXcedit numerum I tertiae seriei: factis igitur I a, Q I Oritur progressio I. 2. I. - 2. quae quidem pro differentia secunda habet - et , sed quae deorsum non continuatur; quia in quinta serie divisorum non reperitur numerus - 7: Pergo igitur , & fingo progressionem quaesitam esse I. 3. 4. - 3 8 , cujus dimerentiae primae lunt 3 - I, a - γ . -- 3 8 - 4, secundae G - a I y - 2 4 - 3 8 , hinc γ a I 3 , posito igitur I i qui numerus solus in secunda serie praecedenti aequationi applicari potest & a r. fit differentia secunda μα- es , quod non satisfacit. Quia igitur nullus numerus quartae seriei cum unitate, sive primo divisore primae seriei adhiberi potest , transeo ad secundum ex divisoribus primi numeri Io, nempe et, cum quo per Sch. a. eXaminari debent sequentes divisores : Fingo jam progressionem quaesitam esse a. I. a 2. eruntque dimerentiae primae I-Σ, Δ-F,a-4, secundae Σ - ΣΙ - a I--2 42, hinc I - 4
sed secunda , & tertia series nullos habent divisores aequales , praeter a & -- 2; factis igitur I et a dimerentia secunda est o , & si I Q - - 2 differentia secunda est 4 , quarum ruritis neutra satisfacit; hinc porro pro quaesita progressione a. v. d. 38; cujus disserentiae primae sunt I 2, a-I,3 8 - a; secundae d- 2 γε et a 4 ε 3 8, hinc a γε ra. adeoque ex secunda serie solum tentari debet--a & - I4, positis igitur F -- et, & 4 Io, fit differentia secunda I S.& positis I - - ΙΑ , z-- a fit eadem 28 . quae iterum non satisfaciunt ; pergo jam ad tertium numerum quartae seriei - i , & pono pro quaesita progressione a. F. z. - , , cujus differentiae primae γ -- a , z-I, I - z , secundae
215쪽
test; factis igitur I --i , et. - - 2 erit differentia secunda ααα 2, quae deorsum continuatur per numerum 2 quintae seriei; in ista igitur progressione divitorum 2. - I. - 2. I. a. posito - n - - I est d'. p , d' -- 3 , d I , adeoque divisor tentandus a - - x I. - 3 I. MI x x - 2 x - I, per quem Xero divisio non succedit; proinde assumo hanc progressionem 2. I. z. - I9 , cujus disterentiae primae I - Σ , z - γ, - I9 - 2 ; siccundae T -- 2
I a a Z - I9 , uno I Σ - - 7 ; sed nulli sunt numeri in secunda , & tertia serie qui huic aequationi satisfaciunt. Rejecto igitur etiam binario inanseo ad tertium ex divisoribus primi numeri I o, nempe s; cum quo per Scholion et
I. S. -- 37. 8s sequentes examinari debent: Fingo igitur primam hanc progressionem S. I. z. a, cujus differentiae primae I - s. Σ - Τ.2 - T , secundae vero z - 2 S F az I, unde Ita et in I, cui aequationi satisfacit a in secunda serie. positis igitur I - 2, da I Oritur progressio s. a. I. a. in qua differentia secunda a deorsum continuatur per numerum s quintae seriei; proindἡ per regulam posito -n - I , est d' S, d -- 3 , d i. & divisor tentandus V 4-x-HI. - 3 4-x. 3 et xx-2 x a , per quem vero iterum divisio non succedit; hinc fingo hanc progressionem S. I. z. 38. Cu- .jus differentiae primae Is , z - I, 38 - Σ , secundae 4
a I -- s az ε 38, unde et I -- II, cui aequationi nulli numeri in secunda , & tertia serie satisfaciunt; pergo itaque, M singo progressionem S , I, et , - I , in qua differentiae primae
216쪽
priniae I - s , T F, I - Z , secundae z - 2I -- s I -- 2 et I , unde T a , quae aequatio duobus numeris in secunda, & tertia serie conVenit, nenape F I, z-- I, Se I 7, z s ἔ per posteriorem valorem fit differentia secunda - 4, quae non satisfacit , per priorem fit differentia secunda et , quae deorsum continuatur per numerum I in quinta serie; excerpta igitur progressione S. I. - I. I. & posito -n - I habetur differentia s. d' - - 4 . cI I , & di-Visor tentandus f ε x -- I. - 4 -- x I. x I x x - 3 x s; sed hic quoque non succedit; quare fingo progressionem S. I Z. I 9. , in qua differentiae primae I S , T γ, I 9 - Σ ἰ secundae Z - a γ I - 2 Σ - I9 , hinc I et 8, cui aequationi satisfacit I 7, 2- - 1 , sed in hac progressione S. 7. - I. - 9 differentia secunda - Io noti quadrat. Rejecto igitur etiam numero s in prima serie divisorum, assumo sequentem Io cum quo per Scholion a. sequentes tenta
ri possunt; ex quibus primum formo hanc progressionem Io I. r. - I, in qua differentiae primae sunt I - Ο , Z-I, I T secundae Σ - a 3 IO γ- a Z -I, hinc T-- 3 , quae aequatio duobus numeris in secunda, & tertia serie convenit, nempe I, Σ --Σ, & γ -7 , T - -- Io post ri Or valor dat pro differentia secunda I4, quae non quadrat; at ptior dat pro differentia secunda 6 , quae deorsum continuatur Per numerum Io in quinta series in ista igitur progressione Io. I. 2. I IO. posito - n I, erit d'- Io, d -- 9, 3 , adeoque divitor tentandus Io H-x-DI. - 9 ε x I. x. 3 3 π π- 6 π -Fl , per quem res iterum non succedit; pe gQ
igitur, & fingo quoesitam progressionem esse ro. γ. z. I9 , ii ju
217쪽
differentiae primae sunt 3-Io. z-F, I9 - T, secundae τ-2I II F - Σz 9 , hinc T I 3 , cui aequationi satisfaciunt I 7, 2 IO, &F - I, T a. posterior Valor praebet pro differentia secunda i , quae est inutilis; prior autem dat pro differentia secunda s, quae deorsum continuatur per numerum 34 in quinta serie ; posito igitur-n--I, habeturd' Io , d ' - . . . 3 , d' - 3 , unde divisor tentandus Io εα I. - 3 I. x. 3. 3 xx -- 7 , per quem divisio in dem succedit, prodeunte in quoto x -2xx-- Σx-
Si in progressione aliqua, cuius di Terentiae secundae sunt a
quales, sumantur quatuor termini continui, erit semper differentia inter primum & quartum, tripla differentiae inter secundum &tertium. Sint enim illi 4 termini continui a, b, c, d, erunt differentiae primae δ- a, c-h, d - c, secundae c- a b a, d - ac - - δ; quae si ponantur aequales; & utrinque, a δ - 2 c subtrahatur , dabunt 3 c--3 b d - a. Q. E. D.
Hinc si dentur duo termini primus , ex. gr. , & quartus) ejusmodi progressionis; facile sciri potest, an in seriebus divisorum
reperiantur reliqui termini, ad eamdena progressionem pertinentes ita ut, non necessie sit fingere pro intermediis terminis γ, R et , ut supra fecimus. Sic in exemplo praecedenti si assumatur I o ex prima serie; & I , ex quarta serie divisorum , quorum numerorum differentia est 9 ; tales numeri in secunda, & tertia serie divisorum investigandi sunt, quorum differentia sit - 3; tales sunt i, &-2 ; item -τ, & - Io. Sic si ad numerum i O primae seriei assumatur numerus I9 ex quarta serie, quorum disterentia est y ; debent in secunda, & tertia serie tales inveniri quorum disserentia est 3 ; tales sunt & io; - I &a; sic etiam si ad numerum s primae seriei assumatur 2 ex quarta serie , quorum differentia est- I ἰ ad quam progrestionema. I. a ex quinta serie accedere debet numerus s , ut dist
218쪽
LqIB MI TII ET BER NOU LLII, Epis T. CLXXi L abarentia inter secundum , & quintum a - 3 , similiter pos-st eme tripla differentiae inter tertium, & quartum 2-I IEt sic porro in reliquis.
Scito LION IV. Si in progressione aliqua, cujus differentiae tertiae sint aequa Ies dato numero ι , sumantur quatuor termini continui : erit semper differentia inter primum & quartum, aequalis triplae differentiae inter secundum & tertium, una cum dato numero LSi enim illi quatuor termini continui vocentur a, b, c, in erit differentia tertia d- 3c-μ 3 b- a t; hinc d-a - 3 c sive etiam---- - c-b; quod praebet compendium pro investigandis divisoribus trium dimensionum. Proponatur dividenda quantitas a x7 4-2x' i 3 χ' - i x ε 2 a xx-32 α' - 4 Subititutis pro Oe su cessive-2, - I, O, I , a, 3 prodeunt numeri - 9. T. 9. - 3.7.2C9I qui sequentes habent divisores. In his
cum nulla occurrat progressio Arithmetica , cujus termini disserant vel unitate, vel banario, qui numeri sunt divisores Codri cientis altissimi termini a xy , quaerenda est aliqua progressio, in qua vel differentiae secundae per a divisae, Vel harum differentiae per 3 divise sint ρ. I , vel f a; ut divisor obtineatur vel dua rum , vel trium dimensionum i quaerendae sunt igitur progressiones, in quibus ipsae differentiae secundae sint Φ a , vel - - ,4 , C c a aut
219쪽
M cOMMERCIUM EPISTOLICUM. aut ipse differentis tertiae L S , vel aer . Incipiendo igitur a primo divisore primi numeri nempe I. invenio per Scholion a. cum illo combinari posse sequentes divisores. Jam quia in qua ta serie reperitur unicus divisor I. erit semper disterentia inter
primum. & quartum terminum progressionis quaerendae o adeoque per Scholion 3. si disterentiae secundae deberent esse aequales, ex secunda , & tertia serie assumi dehent illi numeri quotum disterentia etiam aequat nihilum ; tales sunt dumtaxat i& - i ; si ex utraque serie secunda, ct tertia assithiatur r dif-- ferentia secunda hujus progri sionis I. I. I. I. eVadit - Ο quod non satisfacit; sed si assumatur-i , progressio haec I. I. - I. r. pro differentia secunda quidem habet a; sed non deorsum continuatur, quia in quinta serie non reperitur num rus I , qui deberet adessE , ut disterentia inter secundum - I ,& quintum s per Schol. 3. esset tripla disterentiae inter tertiuin-- I, & quartum l. Tento igitur an differentia tertia possit esse vel f ia.; in hunc finem assumo ex Scholio 4. hanc aequationem c -- θ --, in qua pono d- ι . r 6 , vel - - i 2 : quae substitutis praebet c- b- -- ' , vel in q, quod ostendit ex secunda, & tertia Ierie seligendos este solummodo eos numeros, qui inter se disterunt vel binario , vel quaternario; unde sequentes habebuntur progressio tars
220쪽
& lj- . - 3. I., in quinta quidem serie per numerum ; non autem in sexta continuantur. Rejecta igitur unitate transeo ad secundum ex divisoribus primi numeri, nempe 3 , cum quo per Schol. a. sequentes combinari debent : Si in quarta serie
assumatur numerus 3'. & differentiae secundae ponantur aequales per Schol. 3. ex secunda, & tertia serie it um seligi debent numeri aequales I &- I ; unde duae nascuntur progressiones 3. II. 3 , ' 3. I. I. 3. , qVarum Prior tantum in quinta serie per numerum 7; non autem alterius in sexta serie per numerum I 3. continuatur; sin autem disserentia tertia ponatur s, vel Ψ ia, iterum sequetur per Schol. q. fore e-δ M a, vel ψέ quare tentandae erunt hae progressiones 3. I. I. 3., 3. I. r. j, 3. r. r 3. 3. ., 3. 7. 3. 3- , i. 7. 9, 3 ἱ 3. I. I. 3. 3. I. 3. 3; 3. I , - 3. 3; 3 -7. - 3. 3. . 3. 7. - 9. 3 it ex quibus ista lata 3. - I. I. 3. in quinta, & sexta rie per numeros -I , - 17 continuatur , disterentia tertia existente - 6; posito- n - a haec progressio praebet d' 3 , d ' -- , d ' - 3 , d Ii unde per regulam divi-χr tentandus - Α εα-2. - I. 3-Hoz- - 2.aγ I. O. -Ρ- Ι - - α' ε 3 xε x ; per quem divisio non succedit. Hinc rejecto numero 3 quartae seriei assumo sequentem - 3 ;cuni differentia inter hunc, & primum 3 sit - ε; si differentiae secundae ponantur aequales per Sch. 3. ex secunda, & tertia se-ridi seligi debent numeri quorum differentia est- a ; hinc oriuntur progressiones tentandae 3. I. - I. - 3 3. - I 3. - 3 ς 3. - 7. - 9. 3.; quarum sola media congruam ha bet differentiam secundam a , quae in quinta. & sexta serie con-