장음표시 사용
81쪽
4. COMMERCIUM EPISTOLICUM.17Oz- DE MONsT RATIO. April. Multi Hionis mIularis in ratione, sis serra. sive nim rica , data, inferta. Act. Erud. Lips. I OI. m. April. Auctore Joh BE
Vide Opp. Tom. I. N'. LXIX. pag. 3 86. LEMMA I. Rectangulum. sub diagonalibus trape ii rejuscunque cire oinwipti, est aequale sumnae rectangulorum sub lateribus oppostis. Demonstratio hujus satis nota eli, & passim habetur in Trig
DA, EA: dico rectani sub DB , CB minus rectani sus AC , AD, fore aequale rectangulo sub A B , Ε B.
82쪽
Conjungantur puncta C, D , per rectam C D, quae parallela erit ipsi AE, & ducatur DG parallela ipsi AC, quae etiam ipsi AC vel D E erit aequalis , adeoque, ducto radio O D , erit Triang. OBD simile Triangulo GDE, ob angulos OBD & DEG etidem arcui insistentes aequales. Hinc O B : D B D G: G E , Ω OB in GE DB in DG , & sumendo utrimque duplum, AB in G E D B in AC H- D B in AC; addendo utrinque
Trem e Sectionis angularis. Hisce praemissis , res ita peragitur. Esto di imeter AB I.
Ponantur primo arcus AC, DE contigui i evanescente intem medio C D, ita ut arcus Λ Ε sit duplus ipsius A C; quo casu re tae AD ,ΑC. ut & BD, BC coincidunt: adeoque, per Lem. 2; erit II - xx b. & per Lem. 3. axI a. Ponatur nunc arcus intermedius CD aequalis ipsi AC vel DΕ , ita ut arcus A E sit triplus arcus AC : ergo , per praeced: Cas erit γ' - ae BD. & aci I A D. Hinc, per Lem. 2; '-3 xxI b, & per Lem. 3 , 3 I - α a. Si nunc Ponatur arcus intermedius CD aequalis duobus arcubus AC, ita ut arcus A E fiat quadruplus ipsius A C; ergo, per a '. Cas , erit γ -3 ara I BD, & 3 F - x' A D. Hinc , per Lem. a. 3'-s x' I -x' eth, & per Lem. 3 4 - α' F a a. Porro , si arcus intermedius C D aequalis statuatur tri-
83쪽
-- A D. Ilinc. per Lem. 2'. y -3ox' γ 4-sx' ν- b, &. per Lena. 3. xI' Io x' II 4- Τροπα et , & ita quousque libet facile continuabitur: Ubi haec elegans Progressio. Dis generatio conspicitur; scit lamia potestate ipsius 34- x , cujus exponens sit nu nerus quo arcus A E continet arcum AC. erit illius potettitis terminus primus , minus tertio , plus quin O , minus septimo. plus nono, &C. b, & terminus secundus , miniis quarto, plus sexto, minus Octavo. plus decimo, Quandoquidem igitur sumto numero potestatis indefinito n, sive fracto, sive integro . sive surdo, sive rationali, erit, ut olim OL tendimus & nunc satis notum . I -- x yy γ' ε'. γ m
3 'x' - - A C. Ergo patet. si A E sit ad A C ut n ad r , ha- heri . pro indefinita sectione angulari hanc progressionem uni
x I. a. 3 H I. a. 3. 4. y ae &c. quae duae progressiones omnes aequationes finitas possibiles complectuntur pro quOVis numero νδ integro, sive pari. sve impari ; hisce enim in casibus abrumpuntur semper progres
sones; in reliquis autem abeunt in infinitum. Hinc patent quae in Actis diximus de hac materia.
84쪽
De sua emn BAI Q o oontrθversia. De GRONINGII rremisionibus litterariis
Vir Celeberrimet Fautor Honoratissime lOUAE nuper ad Te, pariter & eximium virum VOLDERUM
nostium scripsi, reddita Tibi esse non dubito. ITO Accepi novissime Dictionarii mo ni alteram editionem . in Μδ 'q a a i est replica o quaedam ad ea quae prioribus respondi, sed p ena ossicii ' humanitatis. In eo sum ut vicissim aliquid re- κponam 3 nam & ipse Author ad haec invitat. Id Tibi, & per Te VOLDERO mittam . ut per vos ad Cl. B A Y L I U ri perveniat. Renovat etiam sin v. ZENO Jqine Gouvus Iesulta in Treυ ri si i lario Domino Maarchioni Hos p ITALIo objecie Nam Acilior Dictionarii inclinat, ut scis, ad Pyrrhonismum. facile- qtie arripit argumenta dubitandi. l. Cl GRON IN Gius, quem nosti, novas quasdam recensiones litterarias dare aggressus est, partemque speciminis mihi inscripsi. Respondi. & hortatus sum ut ne superficiem tantum lambat striptorum, sed in corpus ipsum penetret. Memini Te mihi aliquando scribere esse aliqua supplenda in Historia Cycioidis. quam dederat : ea si scribas, qualia esse veistis, mittam ad ipsum; commode enim inserere poterit suo illyhsciculo, qui per intervalla prodire debeti Vale & me amae Dabam mvisera 29. Maii I7O2.
Deditissimus. Responso deest. G. c. LE BNITIUS.
85쪽
De ROLLII refutatiove V iuventu Τchirnhausianis. De Buromeres portatili. De qi ibusdam Problem. Bernoullianis. De integrandis distim reuitalibus rationisi, bus Methodiis Leibnitiana. De reducendis quadrat ris Amationalibus ad rationales. Varia.
Vir Celeberrime , Fautor Honoratissime
R A T i A s ago , quod litteras L 'ari nonianas mecum comis niunicasti, quas statim remitto. Vellem & ipse refutati nem RoLLi I latine inseri Actis L sensotis. Etsi Dominus T sc HIRNΗ A Us Ius nullas demonstrationes communicaverit Academiae scientiarum Regiae; vellcm tamen saltem discere possemus Propositiones quas se invenisse dixit. Unam invenies in Mosis Reipublicie Litterariae ci) a BERNARDo editis D ubi de vitro ejus caustico in Gallia vendito mentio est, I quae mihi ad id quod nuper scripsi redire videbatur. Baro metri portatilis causa sollem clausum potius . quam embolum ideo adhibui, quia frictione continua mox corium, vel quod ejus loco est, atteritur ; ita ut variet resistentiae motusque iacilitas; donec tandem aer plane interlabatur ; & cum reparetur clausuras quam reparationem in Anthliis artifices vocant Dir λ ωg Iinitio semper major est dis licuitas. quae diminuitur temporis tra tu. Follem autem vellem adhiberi metallicum, in quo plicae achalybeis laminis suppeditentur. Ita cessiabunt quae metuis. Int rea tentamenta fieri possunt in follibus coriaceis vel membranaceis.
86쪽
Gratum est quod Domino VARI GNO Nio communicata etiam cad me pervenire jam p iter is. I An unquam, ut innuis, si-Jun. gnificavi mihi molestas este has communicationes. Si veniam aliquando petivi, quod , vel otio , vel pristina animi alacritate desti. tutus, Tibi commode satisfacere aut vacare pro dignitate novis meditationibus non potui ; an ideo sequitur eas a me sperni , aut non libenter cognosci. Interim etsi in novis sim tardior, tamen puto me ex Olim mihi repertis posse satisfacere plerisque Tuis sane egregiis Problematibus & aliis non paulo adhuc generalioribus. Pri- r Haec habes in adjunisto P. S. Epistolae ad Ccl. UARI GNONDI' datae a d. s. Maii. IIcia. hic latine verso. P. S. Ne vicua sit haec pagina, Problem.ita quaedam digua ad qi a tendas , subsevigam. I. Invenire cur ni algebraseam, quae cum dato arcu circuli sit reos
2. Invenire curum algebruscam, citjus arcis Init segmentis Oretili proportiou iles 3. Curvas parabolicas V Dperbolicas cuiuscunque gradus tros sum re in alias cumas alebraicas, A tu inarum arcis illarum arculus mi
q. Dati pol ovili ad datam pote utein eleυati, v. g. remoniti ad viges 'niam potestatem elevati a b .e 'maximum terminum invenire. S. Data progressionis numerorum naturalium ad poteutiam quamlibet elevatorum , v. gr. I 'H-27 ε 3 'ia in I ooy , Itoninam facili culcit - '
s. Data quantitatis disserentia D pdκ rq ubi p U q Aut quantitates rationales quomodo unque data per x es constantes J integralem exhibere, concessis saltem Circuli Uy H uerbisti eiι idni turis: id enim δε per poten fieri: Nisi eo consistit madium vorserit in quadraturarum, reelificatio umi 0' redu riouum ad spatia circuluria Mnrbolica ; quod semper fuit is desideratis Imrum omnium solutiones habeo , sed istud, leve ut videtur, me etiam-
87쪽
37O2. Primum, secundum, tertium in potestate habeo. Quarium JWH non latis intelligo; quid scilicet voces maximum terminum. Puto in ipso R in quinto compendia quaedam pulchra succurrisse tibi. qualia magni- facere soleo, etiam cum aliter sed prolixiusu res haberi potest. Itaque pergrata erit solutio. Sextum Problema non tantum habeo, sed etiam ita habeo. ut jam a primis meae Geometriae altioris annis mihi fuerit cons. titutum, tanquam Scientiae is niti meae, analyseosque adeo fuit maioriae pars non parva. Et sperabam prole qui satis, inque id tempus editionem distuleram, ut aliquid meae Sci nil ibini. iservarem. Sed cum videam quam multa alia mihi supersint agenda , & quam non debeam a me sperare, in quibus prolixiusculi calculi desiderantur; non ita pridem decreveram publicare hoc
quoque artificium, inque id expedieram breve schediasma i aliis
excitandis. Unde haec accipe, cum nemo melius uti possit. Nempe dudum inveni Analysin Omnium Quadraturarum rati natium, uti appellare soleo, quae, ut verbo dicam, nititur divisoribus formulae cujusque rationalis unicam in determinatam conistinentis. Qua ratione fractio omnis denominatoris compositi potest resolvi in aliquot stactiones xationales nominatorum si in pliaciorum. Eito fractio I : xx-H. x --. ), vel I: x -H. x ux . . , vel I : ' x - -.. x ' a' - &c. talis denomin toris radices vel divisores sunto l, m ἰ Vel l, m , n ἰ ves l,m, 'p, & ita porro, positoi x- - ό, m x- - , n x ε d. p x o, &c. ubi nihil resert. determinatae seu constantes b, c, d, e, Scc. sintne rationales an irrationales, Analysis enim nostra superior inferiorem, nempe resolutionem formularum in diavisores, quae eadem eii cum resolutione aequationum in radices
88쪽
Fractiones autem, quarum numerator Ion est unitas vel conia
&c. Sed quia interdum radices formularum sunt imaginariae; hinc pro divisore astumi potest factum ex ipsis reale. Verbi gratia, si inter divisores simplices sunt duo I : o H-ύ- I .
hujus formulae xx I radices lunt imaginariae. res tamen reduisci potest ad aliam simplicem quadraturam. Nam, ut olim inveni primus cum meam quadraturam Arithmeticam darem, T : xx - I summatur per quadraturam Circuli, & vice versa. Sed latet in his arcanum adhuc majus. Quoniam, ut Olim etiam inveni in aequationibus & calculo singulari comprobavi, possunt imaginariae non minus quam reales in Analysi aequationum
recte & utiliter adhiberi; ideo idem feci etiam in Analysi Tetragonistica, & quadraturas rationales reduxi ad Logarithmos, vel
89쪽
veros, vel imaginarios, ipsamque adeo Circuli quadraturam, non una ratione. Eaque ratione expressiones transcendentes summat rias, seu quadratorias. transsero ad exponentiales, quae maxima est persectio Analyseos Transcendentis. Nam quae in calculo summatorio vel differentiali incognitae exhibentur non possunt ex eo tolli. Licet enim incognitam quaesitam determinet curvarum duarum Τranscendentium, vel Transcendentis & ordinariae inter, sectio, non tamen ideo analytice descendi potest ad valores specialium incognitarum. Exempli gratia, sitfU a a H- x x dx
I ab ε ad da a x ; patet nullam incognitarum posse tolli. Licet enim x aδ- - 44 da: a postet substitui in V ιτιτ ε xx , & in ax; tamen non potest substitui in dx.
Id enim succedit tantum, cum loca se tangunt, non vero cum se secant. At Analysis exponentialis, cum nos liberet ab ipsis dx, rem eo reducit, ut possimus tollere incognitas, ut in Augebra; & licet logarithmi vel exponentiales fiant imaginarii, id tamen pro Analysi non nocet. Et imaginariae valorem realium ingredientes virtualiter destruuntur compensatione, atque inde etiam duci possunt constructiones imaginariis calculis. Superest ergo ad perficiendam Analysin quadratoriam , ut quadraturae irrationales reducantur ad rationales. Quod sane jam desiderari animadverti, ex quo meam inveni uadraturam Arithmeticam. Et hinc primo aspectu statim. vidi quid Tibi velis, quum quaeris xx talem ut am- - xx. & an - - xx sint quadrati, seaeum quaeris quadratum , quod datis duobus numeris additum, cum unoquoque faciat quadratum. Ita enim habetur reductio curvae Ellipseos & Hyperbolae, similiumque Problematum Tetrago nisticorum ad quadraturam Circule aut Hyperbolae. Et sane cuni mihi olim videretur reductionem ad rationales, saltem quoad ipsas indeterminatas nam constantium irrationalitas non curatur Job hoc ipsum semper posse praestari, nec rem ipsam suillam aggressus: spondebam dimensionem curvae Hyperbolae aequilaterae ,
idque scripseram in ujstola antiqua, quam edidit WALLI-
90쪽
LEIBNITII Er BERNO ULLII, Eris T. CXX XL 33sivs, i quod in ea nescio quae facilitas peculiaris tunc Oc- 1 o scurrere visa esset. Pollea in Actis Eruditorum, et cum qua- draturam cujusdam curvae, qualis est' a ' --x ' ni fallor, qu
reret Dominus Frater Tuus, innuebam me eam habere in potestate. Sed cum tandem rem essem aggressus, dissicultatem opini D ne majorem deprehendi. Itaque cum jam idem tentes, convocandae sunt copiae nostrae in unum, ut quantum licet progrediamur. Sane hoc problema , ut a m -- x x Se a n- - xx sint quadrati, habeo cur credam non posse indefinite solvi: multisque aliis tentatis , reductio dimensionum curvae ellipticae aut Hyperbolicae ad quadraturas rationales hactenus non successit, ne inter Ventu quidem imaginariarum. 'Itaque nondum constat an hoc semper sit possibile. Quod si rem ex voto promoveris, aliquid insigne praestabis. Aliquam ego promotionem dedi, dum adhibui summandas ordinatas, quarum partes sunt ad rationales summandas revocabiles; ita enim erit & totum, verbi gratia, B: a cx - - xx -- a l- - mx H- xx); sublata enim irrationalitate habetur aequatio, in qua II x x, I x, x x, I
IF. Unde habetur summatio ipsarum x seu Ixo J. quia habetur summatio ipsarum 3 seu 9 dxJ, quae γ sunt dupliciter e
primi biles, tum per partes duas irrationales, ut factum, tum etiam per radicem universalem, quae cum summando si intractabilis ,reducitur hoc modo ad duas partes in summando tractabiles. Unde utile nobis considerare diversos modos exprimendi eandem radicem. Reperi etiam etsi x 'ς ρ xx - ab) .' ec α --ιrc nondum possit reduci ad rationales quadraturas seu summandas.
sito e esse imparem. Nam verbi gratia, ponendo xx aI , Mi ij a dyd I - b )Mθx taliaque multa inveni sed nondum mihi generaliter satisfeci. Plurimum autem mihi spondeo ab ingenio tKo, praesertim cum ipse rem sponte aggressus sis; nam si mea L a tantum