장음표시 사용
101쪽
Apollonij Pergati PROPOSITIO LX.
DEinde perpendicularis egrediens ex C cadat ad centrum D sectioni; A Bhyperboles, de ponamus C E ad E D, ut proportio figurae, & producamus ex E adsectionem recta lineam E B , quae parallela 'st D E, producaturque C B, quae occurrat axi in Q ut quia C E ad E D, nempe C B ad B G, nempe D H ad H G est. vi proportio figurari erit G B linea breui Minas nona ex quinto ) quod erat ostenden
perpendicularis C P, &F remotius a vertice sectio. nis, quam sit centrum, J p namus C E ad E F , ut est proportio figurae, de similitet D G ad GF . d: ex E producamus E H, quae sit parallela ipsi P A , de ex G , D. ad illam G I. D K. quae sint parat Ielae aps C Ff dc duca- inus sectionem hyperbole
contineant I H, I G, quae occurret sectioni A B similiter in B; Itaque, per B, C producamus lineam, quae occurrat axi F A in L , de ipsi E Hin M. Dico, quod B L est linea breuissima . quia ducta perpendiculari H N, C E ad E F, seu ad Κ D, est ut D G ad G F , nempe vi K I ad I E, de propterea E C in E I crit aequale rectangulo D I subsequenti octaua ex secundo I nempe rectangulo B I consequentia Ergo C E in E I est aequale B H in H I, dc propterea B H ad C E , nempe H M ad M E est, ut E I ad I H; ergo H I, nempe N G aequalis est E M, dc ideo L F ad E M, nempe ad N G est, ut C F ad E C, nempe D F ad D G, quia quaelibet earum assignata est, ut proportio figurae; ergo L F ad NG est, ut D F ad D G; itaq; comparando homologorum differentias LD ad D N , ut D F ad D Gi de per conuersionem rationis, dc postea diuidendo D N ad N L erit , ut D G , ad G F, quae est ut proportio figurae; Ergo B L est linea breuissima nona ex quinto P dc hoc erat
102쪽
Conicor. Lib. V. Notae in Proposit. LVIII.
IAm possumus producere ex puncto assiginio C extra datam se tioiternA B, aut intra si punctum non fuerit ad axim I A lineam diuidentem ex illo inter sectionem , & axim lineam breuissimam, &c. Sic legemaeum puto. Ex punio isto C extra, vel intra sectionem A B , quod in axι non sit, oneam rectam ducere, cultu μνrio incercepta inter sectionem, O axim onea breuissima. Et per C dueamus sectionem H CB eirca duas continentes illam GP, I F, quae occurrat sectioni A B r6. ex s. in B, dcc. Scilicet ducamus per C hverbolen H CB circa Uymptotos G F, F I, o quia Uymptoti , ct hyperbo- 4. lih. l. se H C B producia a se i as semper proprius accedunt, atque parasiae A B i. i. producta semper magis ab axi AI remouerum igitur 6perbiae H C B, ct par Ex 8.1bolis A B se mutuo hecabunt I secent se se in puncto R. Animaduertendum es, quod in textu Arabico assumitur haec concia , ut demonstrata in proposition ut 6. huius quinti libri : ct siquidem numeri huius citationis men si non sunt, hae propositio sexta decima de eratur in hoc iuro. Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I, &c. Ex puncto B adaxim ducatur perpendicularis B T, sic-s eum in K: quoniam quando punctum C ponitur intra parabolen, tune B G aequalis est I C; quando vero eadu extra, s. lib. 2 iune C G es aequalis R I, o addita communi B C eris I C qualis B G, cum: dua recta linea I G , I F conuenientes in I secentur a rectis lineis U B , E C, F G inter see parallelis, eo quod sunt perpendiculares ad eundem axim; ergo I G , o I F secantur in disdem rationibus, se propterea E I aqualis erit K F; sicuti I C aequalis erat B G, pariterque I V aequalis erit E F, Mura I S aequalis erat
C G; posita autem fuit E F qualis semierem; igitur X I semissi lateris recti
103쪽
6 Apollonii per i Notae in Proposit. LIX. LXII. & LXIII.
ET lineis, atque signis eodem statu manentibus . &c. Idest punctum o a
C extra, aut mira sectionem ponatur, dummodo non se in am, discatur C E perpendicularis ad axis, secans eum in E , ct w latas transuersum adroctum, O Lat D F ad F E, atque C L ad L E, ct per L noducatur OLMρ ra ela A I. est per F dura ur FMG parauela C E, qua secet N M in M, opis lib. 1. C aescribatur hyperbole H C B circa as totos G M O , quae m diu 'ν eos craurum D transebit, est ideo eam secabit sicuti offensum VI A I 6. huius.
id quod o M parallela axi D A inclinato subtendit, &c. Quoniam bis hverbola o M purasseti axi hecat utraque linearum continentium angulum. H. lib.α qui deinceps es ei, quι 'perbolen continet sectioni occurret ct producta lectionem A B secabit, σ ideo O M cadit intra sectionem A L, atque sperbole Asproducta semper magis, ac magis recedit tum ab M O parat Ia axi, cum ab MI Jab. 2. G parallela tangenis verticali, se sectio H C B, ct a0 toti O M G adse ipsas semper propius accedant, igitur sectiones A S, B C conueniunt; secent sese in B , o ducamus per B, C lineam occurrentem axi in I, ipse M O in O , o MG in G. Et quia B Oaequalis est ipsi C G,&c. Cum linea recta O M , O G se δε- heantes in O, se emur a pariatilis E C, K R, F G proportionaliter , erit O Naequalis M L, siues O B aequalis erat C G, ct O L , qualis eris N M, euis R. lib.,. O C AEquatis erat B G . camque triangula O C L, o I C Est ilia pro reparastitis O L, I E, erit O L ad E I, mi L C ad C E; es vero M N. seu FK aequalis ipsi L O , igitur F K ad E I es, ut L C ad E C, sia ex constrinctione erat D F ad F E, G C L ad L E, scutiet ut latus transuersum ad Lem. I. rectum p ergo antecedentes ad Ammas terminorum in 'perbola , ct ad eorumdemi reo by c, ,
104쪽
eorunde disserentias in tabesse Met C L ad C Eerit ut D F ad DE, o propterea K F ad EI erit, o D F ad DE, o coparando h mologorum sum, mas ιn perbola, ct eorundem differentias in elu-U, U D ad D I sterit, τι D F ad D E, ct iterum comparando antecedentes ad di rentras rem thri. minorum set D K ad K I, ut D F - F E, seu ut latus transiersum adrectam isti or a I est linea breuis /ma. . . r . .
Si autem componamus proportionem in hyperbola deinde abscindamus, & reijciamus oppositoin ab opposito in ellipsi , deinde in uertamus fiet Κ D ad Κ I, ut D F ad F E, &c. Sed textum mendosum corrigi debere, τι supra fictum es coorat ex praecedenti nota .
hia pariter ex punero C recta linea adfectionem v a .es sectionem AB si linea breuissima ι ι C E ad ED ,τι latus transuersum ad rectum, se ex E ducatur E B parallela axi, secans 'perbosen in B, ct ex B d catur B H perpendicularis ad axim, secans eum in
Et quia C E ad E D, nempe C B ad BG, &c. sva prvier parallelas B E, F D es C E ad
Z D , ut C B ad B G, ct propter parallatis DC, H R, es D H adH G, ut C B ad BG, quare D Had HG erit, ut C E ad E D e posita autem fuit CT ad E D, ut latus transuersum ad reclum; igitur D H ex centro h perboles ad H G eandem proportionem habet , quam latus transuersum ad rectum , ct propterea G B erit linea breuissima.
SIt postea punistum C,& perpendicularis C F,&c. Si a puncto C extra perbolen A B posito, C F perpendicularis ad axim e clat F A segmenturm uersi axis maius semisse eius D A, o ponantur C E ad E F , atque D GI ad GF,
105쪽
ad G F , ut latus trouersum ad rectum, est ducatur ex E recta
E H parathis F A, quae secetura rectis D V , G I ad imperpendicularibus in V, 9 I, 94 lib. r. per D ducatur 'perbole D Rcirca as totos H I G, occurret hverbole A B ut in Prop. 9. 6 a. 63. ostensum es 2 ah
cubi, ut in , conjungatur recta ea B C, quae occurrat axi m
turque ex S perpendicularis adaxim eum secans in N, ct rectam E M in H. Dico, quod B L est linea breuissima. C E ad E F, nempe Κ D est, ut D G ad G F,&c. Guoniam exeon ι ctione C E ad E F, seu ad ei aequalem Κ D , in parasielseramn o D E , est itD G ad G F, sibi et ut latres transuersum ad rectum, estque U I ad I Ε , mi DG ad G F propter parallelo D c, G I, F E i ergo ut prima C E ad secundam D K, ita es tertia R I ad quartam I E , ct propterea rectangulum C EI sub extremis conterium aequale es rectangulo DK I sub intermeaeis comprahens: es es vero rectangulum B I aequale rectaneulo D I cum compraehendantur ab hype bule D B, ct Umptotis H I G i ergo rectangulum C EI aequale es rectangulo B H I : cr propterea B H ad C E, nempe H M ad M E stropter similitudinem trian ulorum B H M, C E M eandem proportionem habebit, quam E I ad III, or componendo eadem H E ad H I, atque ad E M eandem proportionem habebit; er ideo H I sio ei aequalis N G aequalis erit E M , quare eadem L F ad N GI , atque ad E M eandem proportionem habebit: sed propter similitudinem triangulorum L C F , MCE est F C ala E C , ut F L ad M E, seu ad N G , oe erat C E ad E F, necnon D G ad G F in eadem propori tione lateris trans G ad rectum, ct summae terminorum ad antecedentes terminos,siticet F C ad E C, necnon F D ad D Gramdem propa tionem habent ; quare L F ad N G eandem proportionem habet, quam F D ad D G, ct compa- Lem. rando homologorum disserensias L D ad D Neandem proportionem habebit, quam F Dad D G , comparando cons Lena L - quentes ad disserentias termi- norum D N ad L N erit,
τι D G ad F G , si iliceto latus tra uersum ad reminos'. huius. quapropter B L es tuea
106쪽
Continens Propos XXXXIV. XXXXV. Apolloni j.
SI ex axe recto ellipsis sumatur mensura ab origine , quae ad semiaxim rectum non habeat minorem proportionem, quam habet figura suae transuersae, tunc quicumque ramus secans , ab illa origine ad sectionem ductus, abscindit ex axe transuerso adverticem sectionis lineam minorem ca , quam abscindit linea ibreuissima egrediens ab eius termino in sectione polito ad transuersum axim ; si vero fuerit proportio ad semirectunt minor, tunc ramorum secantium Vnus est breuisecans; reliqui vero, qui sequuntur extremum transuersae habent propriet tes superius expolitas , & qui sequuntur extremitatem recti, secant ex transuerasa lineam maiorem ea , quam abscindit breuissima egrediens ab eius termino.
Sit A D dimidium axis recti, S: minoris sectionis ollipticae A B C, & meusura A E , quae sit maior , quam A D , & pr portio illius ad illam non sit minor proportione figurae sectionis; Dico, quod linea breuissima egrediens ab extremitate cuiuscum que rami secantis educti ex E ad sectionem ABC, secat extranuersa B C cum vertice B, vel C lineam maiorem ea, quam abscindit ille ramuS.
Ponatur ramus E F,&ducamus ex F ad utrumque axim duas perpendiculares F H, F I. Et quia proportio E A ad A D non est minor proportione figurae, sed minor est, quam E H ad H D, nenipe E F ad F G, seu D I ad I G, erit proportio figurae minor, quam D I ad I G, & ponamus D I ad I Κ , vi cst proportio figurae, & iungamus F Κ:crit ergo F Κ linea breui rima ro. ex s. & iam secat K B maiorem , quam B G , de G F non crit breuissima ι & hoc erat propositum .
107쪽
SI autem fuerit ratio E A ad A D minor,
quam proportio figurae, ponamus E H ad Hia in proportione figurae, & producamu perpendicularem H Fl, I iungamus F E, & ducamus Perpendicularem F I. Et quoniam E H adH D, nempe D I ad I G est, ut proportio figurae, erit F G linea breuissina fio. ex so Et quoniam iam educti sunt ex E duo breuisecantes F E, & E A ri. ev s. tunc a terminis ram cum egredientium ex E, qui terminantur ad sectionem B F, linea breuissima egrediens erit remotior ab ipso Β , & qui terminatur ad secti nem A F. breuissima egrediens ab extremitate illius erit proximior, ipsis i. sa. ex s. λα hoc crat ostendendum.
PVto, numeras F3. ct 3 . Pryositionum huius se
Arionis mendosos esse, nam Propositio I 3. 'sita fuit in praemissa sectione, se Propositio F . inferius apposita reperatur a Censeo igitur , esse Propositiones XXXXIV. ct XXXXV. Si ex axe recto ellipsis sumatur mensura, &c.
Hoc es si exari minora, recto in sis Fumatur me --rat , qua babeat non minorem proportionem ad semi--ιm rectum, quam habet axis transuersus ad suum latus rectam, quia bet ramus secans, ab origine ad soctionem duatis , asscindit ex axe transuerso ad ver litem siectionis minorem tineam , qua secat linea breuis ima ab eius termino ad axim transuersum ducta. Si vero mensura ad minorem semiaxim rectum proportionem minorem habuerit, quam latus transuersum adrectum, tunc unicus ramus eris breuisecans; reliqui vero sequentes ter inum transiuersi, habent super us expositas proprietates , o sequentes extremitates axis recti,scant ex transuersa majorem lineam, quam secet breuissima ab eius termino ad axim transuersum duora. Quod autem mensura nec aris sumi deberi in axe minorielti s patet, nam ex spothesi rami sunt secantes non quidem ex concursu ,sed
ex ori ne duc ι igitur origo cadit inuera centrum, or mensura maior erit medi rate axis ut in rexIu habetur; debet autem habere mensura ad simiaxim rectum marorem aut eandem 'oportionem , quam axis transuerso habet ad eiur latus rectam, ergo proportio axis transuersi ad uum latus recctum erit maioris iniquili Iaras , or propterea tra uersus axis eris maior quam axis rectus.
108쪽
Sit A D dimidium axis recti sectionis ellipticae A BC,&c. Sit A Dd
missium axis minoris, ese recti ellipsis A B C, Atque mensura A E mior, quam A D, o E A ad A o habeat maiorem, aut eandem proportionem, quam h.sset latus transuersum B C ad eius rectum latus. Ponatur ramus E F, & producamus ex F, &c. Ducatur quilibet ramus secans E F, ct ex F ad utramque axim perpendiculares F H, F I, qua secenteos in H , o I. Et quia D H minor est , quam D A , habebit eadem E D ad D H maiorem proportionem, quam ad D A, ct componendo E H ad H D, maiorem proportionem habebit, quam E A ad A D : est vero E F ad F G , ut EN ad H D propter para elas D G, H F) nec non D I ad I G est , τι E F ad F G propter parallelas E D, I F ergo D I ad I G maιorem proportionem ha- έet, quam E A ad A D : ha bat autem E A ad A D maiorem , aut eandem proportionem, quam latas transuersum B C ad elui rectum latus; igitur D I ad I G maiorem proportionem hisebit, quam latus transuersum B C ad eius rectum Iatas r fiat iam D I ad I R , is latus transie sitim B C ad eius latus rectum , iungaturque F Κ, erit I K maior, qu I G, o F K lmea breuissima, io. lutauccat segmentum axis T B maius, quam B G , unde E F non erιι ιreusAEns.
SI autem suerit ratio E A ad A D minor, quam proportio fimarae,&c.
Habeat E A ad AD minore proportionem, quam latus transuersum B C ad eius rectum latus, ct fiat E H ad H D, τι latus transuersa m ad rectam : M-lebis E H ad H D maiorem proportionem , quam E A ad A D , ct diuidendo eadem E D ad D H habebit maiorem proportionem , quam ad D A ; ct pro pterea D H minor erit, quam D A: de ex puncto Hs eleuetur H F per mauularis ad D A intra sectionem cadet, o secabit eam aluabi, is in Fr Aeatur postea ex F recta in E , qua feret axim in G, se F I perpendicularis adax B C eum sicans in I. Et quomam, Vopter parallatis G D, F H, est E F ad FG, ut E H ad H D, pariterque, propter parallelas E D, I F , es D I ad I G, ut T F ad F G, quare D I ad I G eansm proportionem habet , quam E H ad ΗD, seu quam latus transuersum B C ad eius latus rectum; ct propterea FG sibbreuissima. Et quoniam iam eductae sunt ex E duae breuisecantes, &c. Textus Arabicus usique adfinem propositionis est omnino corruptus, cum Iunonat propossisnem non demonstratam, is in propositione F 6. notaui; Itaque, sic eum restrini posse censeo. Aoniam ex consursu E breuissima F G , ct semiaxis recti minoris D A rami eduas ad fictionem F A secant axis segmenta usque ad merticem B maiora, quam abscindant breuissima ab eorum terminis ad aximGeta, silicet breuissima cadunt supra ramos ex Lemmate 8. praemisso simistiter rami ex concursu E ad stationem B F ducti cadunt supra breuissimas ab eorum terminis ad axim extenses ex eodem Lemmate 8. 9 ct hoc erat sen-
109쪽
Continens Propos LXVIII. LXIX. LXX.& LXXI. Apollonij.
SI occurrant duae tangentes alicui sectioni A B C, ut sunt A aF, E F, utique quod abscinditur ex tangente proximiori vertici sectionis, qui est B minus est segmento abscisso ex alia , nempe E F minor est , quam A F. Iuncta enim A E. b& in parabola ex Fproducta linea F Iparallela axi B D earit illa diameter, b fariam secans E A inso lib. a. G 3 . ex a. Similiter ex centro H pr ducamus H F G, quae est quoque diameter Ibidem. a . ex 2. bifariam secans E A in G, &ducamus A D in parabola . de hyperbola perpendicularem super axim D B . Ergo' angulus A I G in parabola est rectus, & in hyperbola obtusus a ergo F G A erit obtusus in illis omnibus ; quare maior est , quam angulus F G E , & Α
110쪽
Postea in ellipsi iungamus E H, A H,&Cst extremitas axis recti ; erit A H minor quam E H sii. ex D J I angulus E G H, nempe A G F maior erit, quam AGH, seu EGF, ergo E F minor est , quam F A , &propositum.
PAtet ex hoc, quod si producantur ex duobus putastis contactus in ellipsi perpendi culares E M , A L , & fuerit E M minor .
exempli gratia, tunc tangens educta ab eius cxtremitate minor quoque est, quemadmodum deinonstrauimus , & hoe erat ostendendum.
Notae in Proposit. LXVIII. LXIX. LXX. dc LXXI.
SI occurrant duae tangentes alicui sectioni AB C, aut circulo, ut sunt,&c. Messi consectionem ABC contingant duae rectae A F, E F mpum
fis A, Cr i concurrentes in F, eriι portio tangentis inter occursum , C conta cum vertici R proximiorem intercepta, minor ea, qua inter occurseum , GT r motiorem a mertice contacrum continetur : oponet autem in em Γ mertice esse axis maioris. Expuneo verba, aut circulo, tam'am erronea , ct incaute ab al quo textui superaddita. Circulum enim tangentes ab eodem puncti ducI ae in equales esse nequeunt.
Et ducamus A D in parabola, & hyperbola , &c. Et ducamus A D in parabola, or hyperbola perpendicularem super axim B D, secantem eum in D . atque G F H in I ; cumque is parabola diameter F G I sit parallela axi B D. erit antulus A I G rectas aequatis interno, ct opposito ad easdem partes, angulo D; m hverbola vero cum triangulum H D I sit rectangulam in D, erit e ternus A I G obtusus, estque in triangulo G I A an ius externas A G F maior interno, is opposito A I G, recto in parabola, ct obtuso m h perbola; erti P que angulus F G A obtusus in parabola, ct h terbola. Et angulus E G H , &e. aeuia F H est diameter secans bifariam E A in G: ergo triangula E G m, o A G H habent duo titera aequalia E G, A G, ct G H acommune: estque H E, vertici B axis maioris ellips propinquior, maior iremotiore H A ; ergo angulus E G H maior erit anguis A G H ; estque angulus A G F qualis E G H maiori, ct E G F aequatis minori A G H; igitur angulus AG F maior est angulo EGF , ct DIera ciνca inaequales angulos sunt aequatia singuli Dcis, ergo tangens A F maior es, quam E F. Patet