장음표시 사용
121쪽
Apollonij Persari Notod in Propos LXVI.
Via si eaderet inter C, D duci pos-
I set, &c. abute cumr; enim perpm' dictitaris E F cadit se per centra D , et Isec.it sm taxim D C inter D, es C, iacm concarsa E mmcus ramus bretiisecans duci potes ad sίIionem A A, qui nimirum cassit inter verticcm remotiorem A , Cr axim minorem D E : sed ex sepothesi nultas ramus ex concursu E ad quadransem Hlusis AB diui potest, qui sit breuisecans; igitur m pendictitaris E F secat semiaxim A D lac prendio F posito inter A, D. Deinde parci, quemadmodum demon- mauimus in utraque hyperbola , &c. Permuto particulam utra ae J ut mani erroneam , legi enim E. Det m p aίola, O sepe bola. aeuod vero ramus terminatus E A minimus sit omnium ramo is secantium mani e um es ex demonstratione propositionets 6 . 6 . , quae compraehend/t etiam elli, O , quando mensura F A minor es semiaxi A D , ut expropositione 32.patet. Et militer ramo rasicantium ex concursu E atas ctionem A B ductorum propinquis res et retici A minores sum remuloribus ex eadem demonstratione 6 . 63. huius.
Ex demon a iove praemissa propositionum 6q. 6st 6 3.
deduci potest consectarumna , a quo notae litte-quentes breuiores reddantur.
SI in aliquamri eria cuiuslibet consectio.
nis omnes rami secantes', qui a concursu duci possunt, cum tangentibus ab eorum ter minis ductis constituunt angulos , qui verticem res c unt, acutos; νami proximIores verrui se Iionis minores erunt remuloribus. Ex eo enim, quod infropositionibus 6 . oc ., omnes rami D A, D L , D L, D V, DC , reserui omnes , qui ducis uni ex concursu D ad sectionem A R C insciunt cum tangentibus sectione a terminis A, L, A, , Cogulos, vorticem A respicientes , acutos , τι
122쪽
βον DAV, DLG, DBI, D a , D C p , sensis es ramus D A minor quam D B, ct D B propinquior vertici A, minor ramo D C remot/ore.
a T Ostea repetamus figuram utra-A que hyperboles , &c. Lego; Repetamus Duras paraboles , or hyperboles , ct Iunonamur denuo eaedem
lineae aductae ex concursu D adfecti nem ; se perpendicularis D E , atque utina F , se omnium ramorum se cantium unicus tantummodo D B sit breui sicam.
b Et illi propinquiores sint malo
res remotioribus, &c. Sed mendose ; legi de ιι ει illi propinquiores
C Quia educitur ex D unus tantum breuisecans, &c. Legi debet. Guia educitur ex concursiu D unus tantum breuisecans , eris mensura E A maior ἀ- huais. missio erecti , ct D E perpendicularis ad axim aequalis erit Trutina F.d Inde constat D G maiorem esse, quam D 4, &c. ciuia ex concursu D
ad sectionem A C unicus ramus D B breuisecans supponitur igitur omnes rami cadenter inter A , or B prater anfimum D B constituunt cum tangentibu ectionem, ab eorum terminis ductis, angulos respicientes verticem A acutos; evro--i pterea ramus terminatus D A minor es quolibet νama D G infra imum, orsi pra ramum D B posito i atque ramus D G minor est quolibet abo a et cytisc re e. hii motiore ducZo ex D ad peripheriam A B . Dico iam , quod ramus D E maiores quolibra ramo D G , posito infra verticem A , or supra breuisecantem D B; huius. Si enim hoc veram non es , erat D B aequalis , aut minor, quam D G, ct tunc ducto quolibet ramo D H ad sectionem G R infra ramum D G , erat D H r Ibidem. motior a vertice A maior propinquiore D G , ct propterea ramus D B ad c mmor erit ramo D H.
e Ergo D M nempe D I .&c. a uia D M, ut remotior a vertice A , es maior , quam propinquior D H es vero D L , atque D I aequalis D M cum sint Ibidem, rari, eiusdem circuli : ergo D I portio maior o , quam totum D H , quod est absurdum i quare D B maior est olibet ramo D G infra verticem A , 9 pra ramum D B posito ; or propterea D B multo maior erit , quam D A. 1 Ergo D N minor est , quam D C , dcc. Dubitare quis posset, an ramus D N , quia propinquior es vertici Asir minor remosiore ramo D C, ut in V positione D. or 6y. ver ficabatur. or ratio es , quia h theses sunt diuersae, nam ias nullus ramus breuisecans a concursu D ad sectionem A C duci RUE supponebatur, in hae vero propositione 67. ponitur et nicus breuisecans D R , at scrupulus omnis trigetur , si dicatur , non quidem ex prope onibus 6 . o 6 . sed ex demonstratione di aliata , seu ex Corollario m ne notarum avosito, L a propo-
123쪽
in secunda parte propesitionum 6 .
cr 6 s. demonstratum es, erit ramus D N et retici propinquιor mmor G- motiore ramo D C.
Et centro D , interuallo D O circulus d cscriptus secabit sectionem exempli gratia in Q 6. ex . & iungamus, dcc. Videtur omnino expungenda citatio in textu Vposita: 36. ex s.' nam circulam O α πα-nj sum est , scare conisectionem adiculi, τι in .sela, cum radius D O positus sit minor D R , se maior D N ; postea. quia D ad propinquior es vertici A , quam D N , ct omnes rami a D ad peri enim ρectionis N mducti, e ci-LςΠΤ' φ' unt cum His tangentibus angulos, verticem respicientes, a Ios; igitur D ad senor , quam D N , quod es absurdum: posita enim fati D O, seu et aequali huiu . D ct D P maior , quam D N.
AN Aram a ramis secantibus, qui a coiscursu ad confectionem duci possunt,
cum tangentιbus ab eorum traminis ductis co- praeben rum , si unus tantum rectus fuerit, reliqui omnes vertrcem re picuntes acuti; ra-mι proximiores vertιci sectioms, minores etat remoItomber.
Ex eo enim , quod in propositione 67. omnes ramι D A , D I. , D C , o reliqui omnes, qui duci possunt ex concursu D adfecti nem ANC, cum tangentibus sectionem a termisis A, L, C tompraehenderunt angulos et e ricem resipicientes D A V , D L G , D C Pacutos, ct tantummodo unus D B I rectus fuit ostensus es ramus D A minor, nor, qu o D B,
124쪽
Textus videtur mendosus t nam ut inferius ostendetur , ramus breuisecans D C a vertice remotior , nonsemper minimus es ommun ramorum cadentium ex concursu D ad sectionem A B C ; itaque legendum puto D Cese nummus ramorum carinisum ad
peripheriam sectionis B C N ; quod manifese indicatur ex determinatione in sine propositionis apposita δε inquit enim : propinquiores D C ex ramis egredientitus adsectionem in ea pam te 2 minores funt remotioribus , ubi conseitur, Apollonium noluisse pron clare, ramum D C minimum ess omnium, nisi in sectione A, C N duci passum. neque propinquiores D C minores esse quoi et remotiori ad paries verticis A instituto, sed tantummodo eorum , qui in senio 'C B , ct in inferiori C Nducuntur minimum esse D C , ct ei propinquiores minores esse remociora M.
Atque sic patet , quod D II maior sit , quam D I , dcc. Ex et nici
enim Lemmate angulus D H M es acutus , O DI M obtusus, σ eo municia D af erunt duo quadrata D H . H M maiora quadrato D M , quae subtenditantulum acutum; quadratum vero D M maius es duobus quadratis D I, I M, ergo multo magis duo quadrata D H , H M simul sumpta maiora sunt duobus quadratis D I, I M simul sumptis , ct aufuratur ex aggregato maiari quia 'tum minus II M , is ex minori tollatur quadratum maius I M i eam comm gens H M propinquior vertici A minor fit remosi re M IJ rem ues quadriviiD H matiis quadrato D I , ct propterea ram. f.D H maior erit ramo D I, ct simili mori ramus D I maior osendetur ramo DC. Et iam demonstratu est, dcc. siticet: quia omnes rami ebe D ad peri maA B dιeri e ciunt cum serus tangentibus a Mos Graicem κωριcientes acutos ior propterea ramus D B maior erit quolibet alio ramo inter Cr A dacto. . ideoque D B erit maximus cadentium m per heria AB.l Postea ostendetur, quemadmodum hic dictum cst, M. Gaetus es valde corruptus ἱ sic restituendum puto ; fendesur , quem odum supra dierum es, scilicet in seecunda parte prepos. 67. 2 quod D C minimus sit omnium ramorum adfectionem in manic II cadentium, se ut hic ostensum es. sit m nimιs ramorum e edtentium ad sed Itonem B C ; quare patet , quia D fi sit maximus ramorum cadentium adsectioneis A C , Cr D C sit mmimus eadem num ad sectionum B C N , se quod propivisiores maioribus, sunt maiores re motioribus in peripheria semonis A C , or propin nres minorιbus, sunt m nores remotioribus in peripheria sectionis B C N , ct hoc reat osti endum.
125쪽
Zuod autem insimus ramus breuisecans D C non sis necessario minimus omnium ramorum cadentium ad peripseriam sectionis A B , mias offendetur. I PROB. Addit.
In confectione duos ramos semiferanter , ducere , quorum infimur maior sit ramo secante posito in per heria a mertice , Cy suprema breuisecante compraehensa : oportet autem tu AbU , mi rami secantes aurimum eius quadrantem ducantur ὰ concursM , inter axim minorem, ostmerticem collocato. In consectione A R C, cuius vertex A axis A D, or in sperbola ,
se essias centrum E ducatur qualiabu breuissima F B stea secetur
F G ex axi , ita ut punctum G non cadat supra verticem A, seceturque F H non maior, quam F G, ducanturque recta H C, G G parallela usi F B occurrentes sectioni in C, crG, coniungaturque recta C G secans F B in I: patet, C I maiorem non esse, quam I Gi propterea quod G C, G H a parauelis secantur proporti naliter: Deinde ex C ducatur alia breuissima C x , occurrens B F et Atra axim in L , iungaturque ramus G L r ostendendum est L C maiorem esse , quam I. G. Secutis C G bis riam in M, atque per M ducatu sectionis diameter M N parauela a in parabola, o per centrum ex gens in reliquis sectionisus , occurrens sectioni. in N , ducaturque O Ns
ctionem contingens in N, iunganturque L M, O L N, qua seceι G C in
P. Vuoniam G I aequalis , autior es, M bipartita vel in I, vel interque cases punctumo B c eo ad diameter M N Fleti axi in parabola , aut ex centi
E ediacra in retiquis semonibus Uycis angulum N M L ad partes veris risis A J or ideo ramus L N cadens sina duas breuisecantes L C , Ladpartes verticis es t eam tangem te O N
126쪽
re O ix angulum accitum L N O verimem A respicienum; sque G C --dinatim applicata ad diametrum NM parasseti tangenti verticali O Ni ergo angulus L P G externus rimalis eris aneulo L. N O interno, se opposito, est ad easdem nes constituto; ct ideo angulus G P L acutus quoque erit, at m triangulo P ML angulus internus L M P , ct op Mus minor es externo L P G acuto; igitur angulus LM P acutus pariter erit is LMC obtusussumq i in triangulis L M G , ct L M Cγcirca amsulos inaequales , latera G M , M CAEqualia , ct L M commune; ergo LC maior es , quam L G , quod erat fariendum.
E contra fieri potes , τι . insimul
breuisecans ramus L C aequatis, aut minor sit ramo aliquo supra breuisecantem retiquum B L posito. Nam L C minor es , qtiam R L , O maior e scipstres ramo non vltra sectionis verticem A collocito ex prima parte fuius propositionis, sed rami a concursa L educti cadenses inter puncta A, ct B succes ue augentur νο magis a vertice A recedunt: Ergo ramus L C aequalis, aut minor erit aliquo ramo ab eodem conc/rsu L educto inter puncta A, ct A cadente i igitur manifessum es ramum breuisecantem C L insimum duorum breuisecantium , non esse semper ta
minimum omniam ramorum cadentium ex concursu
L ad peripheriam sectionis ABC, sed tantummodo minorem esse eorum, qui inter duo breviseerantes B L, C L cadunt, Io reliquorum infra ramum C L cadentium , atque aliquorum in pe-
Herias N existemium prope maximum L B I quapropter existimandum est, im
sine Apolloni, iniuria textui irrepsisse.
127쪽
Continens Propos LXXIII. LXXIV. LXXV.
LXXVI. & LXXVII. PROPOSITIO LXXIII.
SI ex concursu E non existente super rectum minorem elli- apsis ABC ducatur ad sectionem A B unicus ramus utrumque axim secans, cuius portio G I inter sectionem , & aximis maiorem A C sit breuistinia , vel duo breuisecantes ; utique ramorum secantium ex illo concursu egredientium maximus erit breuisecans, qui sectionis rectum secat, nempe E G , & illi proximior maior est remotiore ; minimus vero eorum est , qui terminatur a vertice sectionis proximiori concursui , nempe EC , & illi propinquiores minores sunt remotioribus , nempe in ter C G . Si autem egrediantur ex illo tres breuisecantes , &duo illorum secuerint mensuram, & Vnus secuerit rectum, utique qui rectum secat est maximus ramorum secantium : & ramorum inter mediam breuisecantem , & remotiorem verticem sectionis a concursu cadentium, proximior illi , est maior remotiore , Nmaximus duorum reliquorum breuisecantium est ille, qui vertici proximus est, Se ramorum, inter proximiorem verticem sectionis, & intermedium breuisecantemcadcntium, vicinior illi, maior est remotiore.
128쪽
b Erigamus itaque super i perpendicularem D B occurrentem E G inis L ; ergo est dimidium redii, & E non est indirectuim, quia non 'egredicitur ex E , nisi unicus brcui secans : insuper lineae breuissimae cgredientes ab exircinitatibus reliquorum ramorum abscindunt ab axi A C cum C, lineam maiorem , quam secant rami illi. si.' a. ex S. His p ,sitis manifestum est, quod ECF est acutus; atque E C minima est linc, rum egredientium ex E ad quadrantem E B . & illi propinquior, minor est remotiore; modo demonstrandum est, quod E Κ maior quoque est, quam E B , producamus itaque B M , M Κ tangentes , ergo M B E est obtusus , & M Κ E acutus 29. ex s. quia brcuissima egrediens cx K abscindit cum A minorcm lineam, quam secat Κ E 37. ex M. eo quod Κ cadit inter duas lineas L B , L G ; δ: iungamus M E ; ergo duo quadrata M B , B E minora sunt, quam quadratum M E , quare minora erunt duobus quadratis Ll Κ , Κ E , &M B maior est, quam M Κ, ergo 1αhii iij. B E minor est , quam Κ E : & sic demonstratur , quod G E maior sit quam K E ; Nam si producamus G N tangentem , tune N G E est re- eius , quia G I est breuissima , de N Κ E obtusus ; crgo G E maior est, 3o. iiiiiii;. quam E K ; itaque G E maximus est ramorum egredientium ex E ad se- etionem G C, & minimus corum E C , atque propinquior E C minor
est remotior .e Educamus ex E ad sectionem A G , E A , E O , ostendetur quod E G maior sit, quam EO, & EO, quam E A . Erigamus itaque ad A C perpendicularem A P ; ergo E A P est
obtusus , & producamus P O in tangentem et ergo P O E est acutus , quia linea breuissima egre- 17. tralatidiens ex o secat cum A lineam maiorem;
ergo E O maior est, quam E A: atq; sic patet, quod E G maior sit, quam E O say. ex s. quia G E est rectus , & O E obtusus, &Gin maior, quam O in, ergo E G maximus est ramorum egredientium ex E ad sectionem A B C , &minimus eorum E C , & propinquiores
minimo, remotioribus minores sunt,
de propinqyiores maximo, tua iores simi remotioribus;
inii est II quod eratiostendendum
129쪽
Postea educamus ex E tres breuisecantes E G , E H , E I,& secent E I, E H mensuram, & E G secet rectum in L. Dico , quod E G est maximus ramorum egredientium ex E adsectionem A B C.& ramorum inter A H cadentium propinquiores illi, maiores sunt remotioribus, & E I est maximus ramorum egredientium ad sectionem H C, & illi propinquiores maiores fiant remotioribus.
Einde sint E H , E G duo breuisecantes , & E G secet' rectum B D. Dico , quod E G est maximus ramorunia egredientium ex E ad sectioncm A B C, Sc 'E C est minimus.
Producatur perpendicularis E F , quae non cadet super centrum; si enim per centrum duceretur, duci posset ex E , aut unicus breuisecans tantum q. ex s. aut tres . ex DP quod est contra hypothesiui; c Eo E F per centrum non transit, cadat super C D ; & quia ducuntur ex E duo breuisecantes, erit C F maior dimidio erecti, & E F aequalis Trutinae ex s. patet itaque , luti antea demonstrauimus, quod E Gmaximus sit ramoru,& E C minimus; atque propinquior maXim maior est, & propinquior minimo, est minor.
130쪽
b Quoniam I Κ, H M sunt duae breuissimae constat, quod E I maximus sit ramorum eadentium ad illam sectionem r. ex s. & propinquior illi maior est remotiore t nec non; quia H M, G N sunt duae breuissimae . V constat, ut dictum est, quod G E sit maximus ramorum cadentium utrin- Π , que ad sectione A H. Dico etiam, E G maiorem esse, quam E I; nam ς' si producatur I O parallela ipsi AC,& iungatur E Ο, ducanturque perpendiculares I P, O G R, E F S, quia G N, I K sunt breuiissimae erit ii sis uti D P ad Ρ Κ, quae est , ut proportio figurae , ut D R ad R N ; ergo F Pad P Κ minorem proportionem habet, quam F R ad R N, & diuidendo F Κ ad Κ P, nempe F E ad I P, minorem proportionem habet, quam F N ad N R, nempe F E ad G R: ergo F E ad I P minorem proportionem habet, quam ad G R, & propterea G R minor est, quam I P , quae est aequalis U cuius punctum O remotior est a vertice , quam G, & ideo E G maior est , quam E O. c 7 . ex s. Et quia Ο aequalis est T I erit o S maior quam S I ,& S E perpendicularis ad O I est con munisi igitur O E maior est, quam E Ii& ostensa est E G maior, quam O E; Ergo E G maior est, quam E I, quod erat ostendendum.
Si ex concursu Eposito ellipsis s
catur breuisecans pratranseat per centrum ximus ramorum secacursu ad sectionem