장음표시 사용
111쪽
Patet ex hoc, quod si producantur ex duo-hus punctis contactus in ellipsi perpendiculares E M, A L.& suerit E M minor, exempli gratia , tunc tangens edi tela ab eius extremitate, quae est insectione, minor quoque est, &c. Si enim ex punctis E, A contactuum in ridi s ducantur ad axιm minorem K C perpendiculares E M, O A L secantes eum in M , O L, fueratque E Mminor, quam A L, tunc quidem punctam E magis recedit a vertice B axis maioris , quam ρον tam Aa ct propterea, ex praemissa 7o. Mius I, i, eris tangens E F minor , quam A F. Expurio determinationem ab aliquo incaute ad tam squae est insectione) manifestum enim es duci non posse contim gentem ridi m a perpendicularis termino M in axi minori posito, sed a termin. E in sectionis serapheria constituto.
Continens XXIX. XXX. XXXI. Propos Appollonij.
Vaelibet linea recta A E D tangens sectionem aliquam A
F B in A extremitate lineae breuissimae AC est perpeudicularis super illam, nepe D AC est angulus rectus. Et si suerit perpendicularis super illam utique tanget secti
Alioquin producatur perpendicu- Iaris C E super A D, erit A C maior, quam E C, ergo maior est, quam FC; sed est minor, cu sit minor, qua C F, quod est absurdum gulus D A C , est rectus
Si vero suerit D A C rectus, erit AD tangens, alioquin sit tansen G; ergo C A G erit rectus, sed erat C A D rectus , quod est absurdum :ergo A D est tangens, & hoc erat probandum . a
112쪽
ALioquin producatur perpendicularis C E , &c. Exsente C A tinea
breuissima, ct A D rangente, si C A non es per nicularis ad Orientem ducatur ex origine C recta C E perpendi Iaris ad tangentem A D, secanseam in Ε, ct semonem in F, erit in triangulo ACE angulus C A E acutus, ct minor angulo recto E , or propterea C A subtendens maiorem angulum rectum, maior erat quam C E , quae acutum iutiendit: cumque panctum E tam genus carit extra sectionem, erit C F minor , quam C E ; ideoque C A musto maior es, quam C F, quapropter C A non eris breuissima , quod es contra
6pothesin 'Si vero fuerit D A C rectus, &c. mia C A supponitur breuissima ,
is angulus D A C rectus, erit A D tantens; nam si hoc verum non es, ducatur ex 'uncto A recta linea AB, contingens sectionem in A ; ρι abit ettique tangens A G ipsam D A, o erit amgulus C A G rectus nimirum contentus a breuissima C A, es lavente A G, ex proxime demon-srata propositione; ergo duo anguis recti
C A D , or C A G aequales sunt inter se, pars, ct totum , quodes absurdum.
113쪽
Producamus perpendicularem DE super axim EA ,& reperiatur Τru tina F. Et primo loco nullus ramus sit breuisecans, iam si DB, non est maior, quam D A , sit aequalis illi, & ducamus duas perpendiculares. A G,
Continens Propos LXIV. LXV. LXVI. LXVII.& LXXII. Apollonij.
Si ramorum secantium D C , D B, D A eductorum ex con cursu D ad sectionem C A non fuerint duo breuisecantes, utique minimus eorum est , ramus terminatus D A , qui ambit cum axe A E angulum acutum ; nempe D A E , & reliquorum propinquior illi minor est remotiore , scilicet D B maior , est quam D A , & D C quam D B. Si vero inter illos fuerint duo breuisecantes tunc vicinior vertici sectionis est maximus ramorum , & maiori proximior, est maior , S minori propinquior est minor.
114쪽
A G, A H super E A, & Ia A . Et quia A G tangit sectionem , cadet
A H intra sectionem , & ducamus rectam v I tangentem sectionem in B. Quoniam ex D non educitur ad sectionem A C ullus breuisecans , erit E A non maior dimidio erecti q. so. ex s. aut erit D E maior quam F s . ex D Iis postis utique Iinea breuissima ex B educta abscin- sit cum A ex axi lineam maiorem , quam A Κ q9. o. I i. I a. ex verum linea breuissima continet cum tangente B I angulum rectum s 29. 3 o. ex s. y igitur D B I est acutus, quare si centro D, interuallo D B ci cuius describatur, tunc B I cadit intra circulum , & A H cadit extra id ipsum, quia est perpendicularis ad D A: igitur circulus secat conisecti nem ; secet eam in L , & iungamus L D , ducamusque L G sectione . 3 . 3 . tangentem. Patet ut dictu e si quod D L G sit acutus ; ergo L G cadit mih intra circulum B L A , sed cadit extra , quod est absurdum: ergo B Dnon est aequalis ipsi A D. Neque minor illo esse potest ; quia si secetur D M m Iior, quam D B, & minor, quam D A, & centro D, interuallo D M , circulus M L N describatur , tunc D N, nempe D M maior est , quam D B, &propterea circulus N L M secat conisectionem. Subindosatebit squemadmodii demostrauimus 2 quod D B non sit minor, quam i A; igitur D B maior est, quam D A . Postea dico, quod D C maior est, quam D B; quia demonstrauimus, angulu DBO esse obtusum, de patet, quod D C P est acutus, & procedendo trito iam itinere demonstrabimus , quod Que necesse est, ut cadat intra circulum C Q. B. Et quod si fuerit D C minor, quam D B, aut ἴγqualis, necesse est , ut Q O cadat intra circulum C Q Bi sed cecidit e tra, quod est absurdum ; igitur D C maior est , quam D B, & D B m ior, quam D A, quod erat ostendendum . .
cuius axis maior A C eius centrum D,& D B dimidium recti, duci nequeat ex E ad quadrantem A B breui secans, S producatur perpendicularis
Quia si caderet inter C, D duci posset ex E ad sectionem A Baliqua breuisecans 16. ex s. quod est contra suppositionem. Deinde
patet, quemadmodum demonstrauimus in parabola,& hyperbola, quod pr. 6 ss. E A minima sit linearum, de ramorum ad sectionem B A cadentium, dc huius. propinquior illi, minor sit remotiore , dc hoc erat propositum .
115쪽
Postea repetamus figuras, paraboles , & hyperboles , & a quoquot sunt illius signa , S supponamus quod ipsius D B
portio B Κ, si tantummodo linea breuissima; Dico, quod DAquoque minima est linearum egredientium ex D ad sectionem AC , & illi propinquiores sunt minores remotioribus. bQuia educitur ex D unus tantum breuisecans erit mensura E A maior
dimidio erecti, & D E aequalis FTrutinae r. 32. ex F. unde sequi tur, quod lineae breuissimae eductae
ab extremitatibus reliquorum ramo
rum abscindunt cum A ab axi lineas maiores , quam secant illi rami. Ducamus prius ad sectionem B Aramum D G, inde constat D Gmaiorem esse, quam D A 6 . 6 s. ex o Dico iam, quod D B maior est illa, alioquin edet aequalis , vel minor illa, & producamus D H ad sectionem B G ; ergo D H maior est, quam D G, quia remotior est ab D A 6 . 6 s. ex s. 2 quare maior est, quam D B, & ex illo secetur D I maior , quam D B , & minor, quam D H, & centro D interuallo D I descriptus circulus secabit sectionem B G, secet eam in M, & iungamus D M : ergo D M , nempe D I, qua: cconcessa fuit maior , quam DB est etiam maior, quam D H, propterea
quod est remotior ab D A, quam D H 62 ex s. igitur D I maior est quam D H, quod est absurdum; quare D B maior est, quam D H. Patet etiam , quod D B minor sit, quam D C , alioquin esset vel illi , aequalis, aut maior, & ducamus D N ad sectionem C B: ergo D N minor est, quam D C, eo quod proximior est D A 64. ex s. quare minor est, quam D B, & secetur D O ex D B maior, quam D N , & m nor quam D B, & centro D , interuallo D O circulus descriptus secabit ssectionem exempli gratia, in L& iungamus D in, igitur D inninor est quam D N, sed est aequalis D O, quae supposita fuit maior, qu .im DN, ergo D Q aior est, quam D N; verum est minor illo, quod est absurdum ; igitur D C non est minor D B , neque aequalis; quare maior illa est. Atque sic patet, quod D B minor sit omnibus lineis egredientibus in D ad sectionem B C, & illi proximiores ex illa parte , minores sunt remotioribus. Quapropter manifestum est, quod D A sit minimus omnium ramorum egredientium ex D ad sectionem ABC, & reliqui proximiores illi, minores sunt remotioribus, quod crat ostendendum.
116쪽
Conicor. Lib. V. TTPROPOSITIO LXXII.
breuisecantes DC, DB, quorum segmenta GC, ΒΚ sint breuissima, S: D B propinquior sit vertici sectionis; Dbco, quod D B maximus est roa morum egredientium ad sectio nem A B C , & minimus eoiiiD C , & ramorum egredientiu
Propinquiores maiores sunt remotioribus, & propinquiores
D C ex ramis egredientibus ad sectionem in ea parte min
res sunt remotioribus. Sit F Trutina , & quia iam ducti sunt ex D duo breuisecantes , ideo E A excedit dimidium erecti, & D E minor est, quam F r. a. ex S. his positis , utique lineae breuissimae egredientes ab extremitatibus ramorum qui sunt in 1ectione BC abscindunt ab axi EA minores lineas, quam abscindunt rami si . sa. ex s. & qui ducuntur ab extremitatibus egre' dientium ad reliquas sectiones abscindunt lineas maiores. Educamus it que ramos D H , D I ad sectionem B C , & ducamus B L, L H M,& IM tangentes sectionem in punctis B, H , I i quia B Κ est breuissima erit L B D angulus rectus , & quia breuissima egrediens ex H abscindit cum A ab axi E A lineam minorem, quam secat D H erit L H D obtusus, &iungamus D L i igitur duo quadrata D H , H L minora sunt, quam quadratum D L, quod est aequale duobus quadratis L B , D B; verum L Bminor est, quam H Ll 68. ex s. ergo D B maior est, quam D H. atq; l, sic patet, quod D H maior sit, quam D I, quia D H M est acutus, & DI M obtusus: & D I maior sit, quam D C. Quare B D maximus est ra-c morum egredientium ad B C, & iam demonstratum est , quod sit maximus ramorum egredientium ad B A . 63. ex s.)Ponamus postea N extra sectionem B C , & iungamus D N, itaquO linea breuissima egrediens ex N abscindit ab axi E A maiorem lineam .d quam secat D N a ergo tangens in N continet cum D N angulum ac μ- tum: postea ostendetur, quemadmodum hic dictum est, quod D C minimus sit reliquorum ramorum egredientium ad reliquas sectiones, & sit minimus ramorum egredientium ad A C , quare manifestum est , quod D B sit maximus ramorum , & D C minimus , & quod maioribus propinquiores sunt maiores remotioribus , & minoribus propinquiores, minores sunt remotioribus, quod erat ostendendum.
117쪽
τ 8 Apollonij Pergaei MONITUM.
A equam huius Decimaetertia Sectionis explicationes , atque emendationes aggrediamur , breuiores , clarioresque
reddentatur , by testus Arabici menda facilius corrigi possent , operae pretium duximus amice lector Lemmata sequentia praemittere.
Si ad consectionem , atque ad inum quadrantem ellipsis AB C a concursu D nullus ramus duci pessit , qui sit breusecans; Dico, quod quilibet secans ramus D B cum tangente H B G per eius terminum S ducta e6cit angulum D B H ad partes merticis A acutum , ct D FG, qui deinceps est, obtusum.
Guoniam nultas ramus ex concursu
D aae serionem A C Actus es breui. secans, erit ex conuersa propositionis 69. IO. si. 32. huius ) mensura A Eaut non maior semisse lateris recti, aut perpendicularis D E maior 'tina , qua sit F , ct ideo quilibet ramus se eam D B cadit supra breuissimam expuncto B ad axim ductam , es vero breuissima ex puncto B ad axim ducta perpendicularis ad G B H tangentem sectionem in B; ergo angulus D B H , verticem A respiciens es acutus, ct qui deinceps es 3 B G eris Hinsius.
Iisdem positis, s a concursu D mmicus tantum ramus D F breuise eos ad seritionem A B duci potest ; Dico , quod quilibet alius ramus secans D I supra, mel in ra Ireuisecantem D Z positus e cis cum recta L I H tangente sectionem in I angulum D I L , merticem respiciem rem, acutum, s D I H , qui deinceps est, obtusum.
Nam ex conuersa propositione 32. hurusperpendicularis D E aequaues erit utina F , ct ideo quia bet ramus D I passus supra, vel infra heu, cante
118쪽
qisi es D R cadis supra breuissimam expuncto I ad axim ducram , quae per 'huiue pendicularis est ad tangentem L I H , o propterea angulus D I L, verticem 19. 3α A respiciens erit acutus , or consequens angulus D I H obtusus. huiu
LEMMA XLIsdem positis , si a concurseu D duo breuisecantes D C , D B ad se Ationem A B duci possunt; Dico , quod quilibet ramus secans D I posi
tus supra breuisecantem D B mertici proximiorem , mel infra infimum ιreuisecantem D C, VFit cum recti L IH tangente sectionem in I an'gulum D I L, respicientem merticem Α, acutum , ost consequentem DI H oίtusum, quilibet ramus D O inter breuisecantes positus e citcum recta G O N sectionem tangente in O angulum D O G et uicem respicientem obtusum, consequentem mero D O 'N acutum.
ut a s ex conuersa propositione 3 t. or sa. Miss) perpendisularis D E minor esse debet Trutina F, or propterea quilibra ramus D I supra breus cantem huius. D B, vel infra breuisereatem D C cadit seu a breuissimam ex puncto I adaxim ductam, cum qua contingens L I angulum rectam consitius; ergo angulus D IL verticem respiciens , es acutus, ct consequens D I H obtuses I Si titer quilibet ramus D O inter breuisecanter positus carit infra breuissimam ex punctoo ad axim dueZam, se eum ilia secIionem continetens G O e eis angusis rectos, Ibidem. igitur angulus D O G verticem respiciens , es alusus , o consequens D O N
Notae in Propos LXIV. - . &LXV.
AMea Z Eonias docuis qui nam rami 'ab origine ad conisectionem ducti essent minimi , or quo ordine reliqui rami se se excederent, modo agit de ramis axim ferantibus a concursu ductis , or quaerit qui minimus , cr quι maximus sit, ct quo orine disponantur. a Producamus perpendicularem D E super axim , &c. Si nullas ramus breuisecans a concursu D ad sectionem A C duci potest; Dico, quod ramus te minatus D A es minimus omnium ramorum secantium D B , D C, ct propim quiores vertici A minores sunt remotioribus i ducatur D E perpendicularis adaxim eum sicans in E , ct reperiatur Trutina F . Et qMdem D A non est minor quolibet alio ramo secante D si infra 'sum posito erit aequalis, aut maiorico inlue prius D A aequalis D B , si eri potest, ct ex puncto A verticis δε- atur A G perpendicularis ad axim A E , qua continget sectionem in A, paria δ' ' δε que ducatur recta A II perpendicularis ad ramum A D inclinarum ad axim; γ P sequia
119쪽
r quia A es cadis inses A G a partes axis eam D A ad ytiam ilia perpe 'vicularis est , extendasvr vltra axim A E, nec ροβιι inter tangentem A G, Oh Do em conicam A B , aliqua recta linea interes igitur a H cassit inre c-siectionem , ese angatus E A H est Mutus. V . Quoniam ex D non educitur ad sectionem A C ullus breuisecans,&C. OS P quidem ex hac spothesi, Dis mensura E A non sit maior semis cri/ρ
Q u, si or est, sit quoque perpendicularis D E maior Trutina F, ex conuersa me sitione si . sa. huius per deductionem ad inconueniens. Quare si centro D interuallo D B , &c. Circulus enim B I L H A ra cd o D B descriptus transibit per verticem A cum radius D B positus sit aequalis D A , cumque angulus D B Is acutus , ex Lemmate nono , cadet necessario BI Intra circulum R I L. Ig tur circulus secat conisectionein , &c. Gisia R I cadyt extra conisse d ctio em, quam tangit, se intra circulum B L A , ut d ctam est , e contra re cta A H cadit intra eandem con sectionem, se extra ipsum circulum , quem tangit, cum H A perpendis laris sit ad circuli radium D A; igitur circulus. 6I L A fertur extra conisiectionem ad paries L I, ct intra eandem ad part AH; quare ne sario conisectionem secat. Patet, ut dii tum est, quod D L G sit acutus &c. His enim sequitur ex enono Lemmate praemis , respicis e ram angulus D L G venitem A : Gr ideo sacM F , Cr carit necessario r&D L G intra circulum B L A radio D L descriptum ad sanes L A t ese homo circuli L H A carit intra consectionem L A iis. Q/tUr recta L G caci mira comsectionem L A,sed cadit extra eandem semρ' lib. i. H m, cum contingat eam m L, quod es assur. m.
120쪽
Deinde patebit, quemadmodum demonstrauimus, &c. Vuia D M 6-cta es maior , quam D B , se minor quam D A , estque circuli radius D Naequalis D M ; ergo punctum M cadit intra consectionem , N vero extra i fam ; ct propterea circulus M L N sectionem conicam secabis abcubi, et i m L, r portio circuli M L intra confectionem A L. incidet: rursus ducatur raditis D L , ct L G conscDonem tangens in L erat , ut pr/us angulus D L G acum et . ras ; ct ideo L G cadit intra circulum L M , ct propterea intra confectionem A L , sed eadem L G cadit extra ipsam, quia eam contingit m L, quod est absurdum ; quare ramus D A non est maior , quam D B ; sed prius neque illi aequalis erat ; C Iur ramus terminarus D A minor est quolibet ramo secant D B infra i um risito , se propterea minimus erit omnium secantium. ιPostea dico , quod D C maior est, qu.am D B , &c. Demen alio secundae panis huius propositionis , quam Apollonius innuit quia constru Done , ac progressu Ismili superiori perfici potest hac ratione restituitur. Demonstram
dum est quemlibet ramum D B vertiti A Woximiorem es e minorem quolibet ramo D C remotiore . Ducantur recta C P contingens fictioncm in C , ct o stangens sectionem in B , ct recta B R perpendicularis ad ramam D B et ρορ δε quidem ramus D C non concedatur maior , quam D B , sit primo et aequalis , se fieri potis, se centro D interuallo D C descri Iur circulus C P R, qut tran- bis per punctum B , ob qualuatem Odorum D C , D B; se quia ex Lemmate nono 2 angulus D C P et erucem respiciens , est acutus , recta C P cadet intra circulum C P R ; sed cadit extra confectionem , cum sit conti ens ἱ igi-rur portio circularis pera em C P ducitur extra confectionem CR B : ru sus , quia angulus D BD est obtusus ex nono Lemmate, cum verticem A non res ciatὰ ergo R B perpendicularis ad D D cadit intra consectione, cum B O posita sit ea
contingens: cadit vero eadem S R extra circulum B R cum sit perpendis lar/s ad circuli radium D B ; igitur circuli portio B R intra conisectionem ca
det i sed prius eiusdem circuli portio C P extra eandem sectionem ducebatur ;uitur idem circulus secat confectionem alicubi , τι in a , ducaturque denuo ramus D , or .e o contingens sectionem in .2: Vnde ex nono Lemmate antulus D ad O erat acutus I , propterea recta .do ιntra circuit portionem lib. i. E constituta intra consectionem cadet , quod es absurdum ; recta enimo extra confectionem V A cadit, quam contingit in .et; non ergo ramus DC aequalis es ipsi D B. Sis secundo D C minor, quam D B si fieri potes δε-
ceturque D T minor quam D B, maior quam D C ; se centro D interuallo D T describatur circulus T a S : is quidem ad partes B catara intra, ad parates vero C extra conisectionem ; Gr ρropterea eam aliculi secabit, ut in ior ducIo ramo D . L, ct .e O centivente sectionem m erat segulus ' o acutus , ct ideo recta a V cadet intra circulum T et, ct fruterea intra consectionem , quod es absurdum ι enim cadιι extra sectionem IVA . quam conti Pt m ; non ergo ramus D C minor est , quam D L, sed neque aqualis prius sensus fuit ; igitur quilifra ramus D B verius A propinquior mmor es quolibet ramo remotiore D C, quod erat ostendodam .