장음표시 사용
81쪽
pter parallelas DE, BG, ct similitudine triangulorum EDI .
igitur DI ad I G maiorem proportionem habet, quam G F ad F D, ct componendo DG MG I malo rem rationem habebit . quam eadem G D ad D F ;or Ideo I G -- nor es,quam D F.
tur G F aequalis est GO,cr quia F O sicatur bifariam in G,cr non bifariam in II ex lemmate sexto huius libri habebitsimissis Go ad unum segmentorum inaequalium Mo maiorem '
portiovem , quam reliquum fermentum M F ad alteram medietatem F G, sed ' fur parallitas PM, BG, miti dinem triangulorum BGO,PMO es GO ad O M ,τι BG ad P M, erga BG ad P M maiorem proportionem habet, quam M F ad FG: habet vero B G ad minorem M Y maiorem proportionem,quam ad M P scum puncti m P tangentis cades exirisfectionem ς ergo B G ad K M adhuc maiorem pro portionem habet, quam M Fad FG. Itaque ΚM in MF minus est, quam BG in GF,&c. Guoniam prima BG adsicundam X M maiorem proportionem habet, quam tertia M F ad quartam FG ic o ex lemmate quinto huius tibri rectangulum sub intermed se consentum V MFminus erit rectangulo RG tib extremis colemo; postea, quia H ad BG ex H Messerat, ut G F ad Fs ,rsita a tem fuit E D maior, quam H, quae est prima propo Donatium ergo E D ad BG maiorem proportionem habet, quam G F ad F D, ct pr DR pterea rectangulum sub extremis E D F maius erit rectangulo Fub intermia, s con- . tento BG Finuit autem rectantulum BG F maius rectangulo K M F; igitur rectangulum E D F multo maius est, quam rectangulum K M F , Hr idro, ex eodem lemmate quinto, EDa2M K, nempe D R dRM propter similitudinem triangularim aE DA ,9UM Rὰ maiorem rati nem habet, quam M F ad F D. Et componendo patet, quod D F, dcc. moniam DRHRII maiorem rationem habet, quam M F ad F D, componendo D M ad M R halebit maiorem proportionem , quam eadem M D ad D F , propterea D F maior es, quam L M, es vero semios erecti A C aequalis D F ex constructione, igitur M E minor es AC mediet s. sultis iciat rect/ , se propterea breuissima educta ex xsecas ex axi sigmentum maius, quam N R; ideoque cadit extra incilices infra ramum K RE.
82쪽
s Et simili modo constat, quod breuissima egrediens expuncto L cadit
extra S L,&c. Ad vitandam confusionem figurae, oprolixitatem demonstrationis apposui duas Duras, in quibus duo casus i dem caracteribus notantur, itaqtie absiq; novo labore, si inspiciatu ecunda figura, s dem verbis prioris casus, sendetur casui secundus. et Pariter demonstrabitur, quemadmodum iam ostensumest, &c. Parisecum V da huius propositionis innuitur tantummodo taucissimis verbis; quare maioris es c ritatis gratia insegram demonsrationem hic asser retibuit.
ἡ 'D E D aequalis trutinae H: Dico ex concursu E etmicum tantum breui secantem ramum duci posse.
In eadem figura, quia ex constructione H ad BGes, ut G F ad F D,ponitur vero' ' ED qualis Hi ergo EI D ad BG, heu D I ad I G propter similitudinem triangui rum E DI, BG I es, τι G F ad F D, ct componendo DG adG I es, τι eadem G Da D F; ideoque I G aequalis es DF ineu A emur emi igitur BIs breuissima. s. huius.' Postea duclo quolibet ramo EA supra breuisecantem E B is prima figura, ct - τ m secundῆ occurrente axi in R, o ducta Κ M perpendiculari adaxim, qua eumue o m M , orantentem O B in P. Iuoniam ut dictum es OF secatur bifariam Fi in G,
83쪽
in G, ct non bifariam in M, erga sex lemmate serio Mius libri G Oado M. Ita
GR ad PM propter ilitudinem triangulorum BGO, or PMO or multo magis G B ad illius portionem V M habebit maiorem proportionem, quam M F, ad FG; deoque rectangulum L M ub intermeddis contentum minus erit rectangulo BGF contento sub extremis no proportionalium ine recrangulum BGF aequale est rectanis gulo E DF propterea quod DF, ad FG erat , Ct RG ad H,seu ad G aequatim E Dyhitur rectangulum X M F minus erιt rectangulo E DF, o propterea E D ad K M, seu D R ad RM Woptersimilitudinem triangulorum E D R, K M R maiorem Orionem habebit, quam M F ad F D, ct componendo, eadem D M maiorem rationem habebit ad R M, quam ad F D , ct propterea R II minor erit, quam FD, seu quam A C; igitur minimus ramorum ex K adaxim cadentium fertur infra Κ R; αuapropter ramus E Vsupra, vel infra breuisecantem E B adfectionem ductus non es breuisecans, ct abstindit ex Miserentum A R minus, quam abscindat breuissima ex K Maxim ducta, quod erat ostendendum. et Tertio loco sit E D minor, quam H, & ostendetur, &c. Vula II ad BG es, rio G F ad F D, estque E D minor, quam LI ; ergo EDa BG minorem proportionem habet, quum G F ad F D ; ct ideo recta ulum E D F sub extremis contentum minus es rectangulo BGF, quodsita intermeos continetur, ponatur ram rectangulum TG F aequale rectangulo E D F, o per F ducatur FV perpendolaris super axim
Et componendo, patet, quod DF est aequalis RM,&e. Nam D Rad RM is , m M F a F D componendo, eadem D M ad RM, atque adDF ,suadsem ercctum A C Onim proportionem habebit, ct ideo DFes aequalis R M.
84쪽
k Et similiter patebit, quod L Ssit breuissima, &c. Secundus casus ab que ullo Ialore sensius erit Urim verbis, ct caracteribas, quibus casus pramus expositus oti ininspiciatur secunda figura.
Et cum B I intercipiatur inter illas patebit etiam, &c. Et cum L. I intercipiatur inter duos ramos breuisecantes E X, quι ducuntur expunctis K, m quibus Θ- perbole KT erat rabolen AB L, eadetpunctum T se Moles intra parario; quare rectangulam BG F maius erit rectangulo TGF, seu L M F, quod aequale es rectangulo ED F, ut dictum es, quare E D ad BG , DI ad I G propter uri Lem. s. tudinem trian lorum E D I , BG I9 habebit minorem proportionem, quam G F ad praemis F D ,secomponendo, eadem DG ad GI minorem proportionem habuis, quam ad F D inue ad AC, Or ideo I G maior erit, quam A C. m Deinde ex con
mi E T supra breui- secantem E K in prima figura , ct infra eamdem in figura δε cunda , ct expunctis X ducamur due XTIerpendiculares ad
T m a misere extra parasolenῆ cumque due rectae a T, necno
T G parauelae stas co-tinenti Frict interponatur inter hNerbole Κ T ,σ reliqua i continentem F A erit rectangulum a T F aequale,rectangulo TGF , quod factu mes aequale rectangulo EDF, es que X T portio i us a T. igitur rectangulum E DF maius erit rectangulo X T F, ideo E D ad XT ,seu Db, adb T. propter ibim Lem s. dinem triangulorum E Db, XTb maiorem rationem habet, quam T F ad F D, ct py mi, componendo eadem DT ad Th maiorem proportionem habebit, quam ad D F ,seu
Simili modo demonstrabitur, &c. Ab que noua demonstratione propositum. sendetur inspiciendo secundam figuram.
DIco, quod rami egredientes ex Eliabent superilis expositas proprictates, elac. Ides easdem, quas hasent rami in parasola educti iuxta comparationem perpendicularis EDa Trutinam. n
85쪽
Et ponamus quamlibet duarum proportionum CF ad F D, &IS ad SC,
ut proportio figurae, & educamus ex E, S,&c. Id fiat distantia ex centra et que ad perpendicularem E D ad eius portionem D F in b1perbola, Missumma latoris transues, ct recti ad latus rectum, ovi eorum disserentia in Hupse ad latus rectum uassat C D adeos productioncm D F; tunc enim CF ad FD dividendo insperbola, ct componendo in ellipsi habebit eandem pro ditionem , quam latus transuersum ad rectum ; pariterin DiEK ad K D io eadeproportione Dura , Cr ex E, L educamus rectas EI, A S parallelas axi A C D, secantes IC, ct L Fparallelas ipsi E D
det necessario EL paraluta C D super punctum I, Et interponamus inter FC, CA dm
portionales illis duabus, &c. Textum corruptum se restituo Interponamus inter F C , ct AC duas medias proportionales, Daut F C, N C , C O, C A sint continue propretionales, qκod seriposse constat ex lemmate 7. huius libra. Et ponamus proportionem lineae alicuius, ut est Q compositam,&c. V easar Trutina in seperbola, erellios linea recta quae ad Bo compositam proportionem habet ex C D ad D F , or ex ratione FO ad O C. Producatur prius E B secans axim in H, dcc. Producatur prius E B secans axim in H ,σ rectam S x in R, nec non rectam IC in puncto T. Ergo ED ad Bo, quae componitur ex E D ad DK,&c. Nam posita intermedia D A , proportio E D ad Po composita erit ex ratione EI D ad D K, ct ex ratione D K ad AOῆ es vero IC ad C S , ut E D ad D Κ propter parallelas I E, S V, C DP atque D K est aequalis G O in parallel grammo G D ; ergo proportio E D ad Soco onitur ex ratione IC ad C S, es ex ratione Goad OB.
Sed E D ad DK est, ut CD ad DF, quia quaelibet earum ut proportio figurae
86쪽
proportionem hasebant, quam titus transuersum ad rectam ; ergo componendo insperbola, ct diuidendo melli erit EDMDK, GCD ad DF.h Et ponamus rem stangulum FGc
mune, &c. Scia errectanguia; F G -- datar in hyperbola, ct auferatur comu
. niter in elli .a Et propterea EΚ ad BG, nempe Κ R ad R G, 3ec. I iapropter ii
bet, quam eadem GK ad K M, quare H M. nepe e i aequalis D F maior est , qωam G R. Et auferedo homologii ab homologo in hyperbola,& coniungendo ea in ellipsi, habebit, &e. Scilicet comparando homologorum disserentias in ἔγ- perboli, eorundemsummar in elli , i est CT ad BO , nempe CH ad AI O γυ- hiimic ster stitudinem triangulorum C HT , OOH m habebis maiorem proportionem, quam IC adC S, nempe C D ad D F. t Postea educamus ex E linearia occurrentem sectioni in V, &c. Educamus ex E lineam occurrentem sterisnt in V, quae secet axim in g, ct S M in T. m Et per producamus f h parallelam axi AD, &c. Et per sducamus Q H- rasielam ais AD, quaesecet tangentem P LF in , atque V csecet illam in i , ct S M in C. n Et ponamus rectangulum Ff communiter, &c. Et communiter addamus inhverbola, ct auferamus in elli rectangulum F f, siet rectangulum B fg aequale rectanguo g FC. Nomina Inues, ct Trutinata desinit uerunt in primo libro ab Minterprete Arabico.
87쪽
s . lib. I. Lem. praemissiLem. a. praem. Lem.
nea quinta propontionalis aliarum quatuor, &c. ransita fuerunt qua tuor recta tinea F GNC, OC, CA continu proportionales,esque C A ad Ca, τι. OC ad C AE ergo 'Lma F C ad tertiam OC eamdem propo tionem habet, quam OC ad ruintam C a
continue proportio natium, quare com
parando homologoru disserentias F O ad
G comparando differentias terminorua consequentes ια
elli , est FC ad C s,seu F o adoa, τι sB ad Boi nempe τι s h ad eandem O a, propter ilitudine triangulorum B sh, ct B O at o Meo F O , o fh aequales sunt. Et propterea adi Dinaiolem proportionem habet, quam ad fg, dcc. rauia FO,stuos asensa fuit aequatis fit erit g h secta bifariam in f, o non bifariam in i propterea ex lemmate sexto huius ob. 2 habebit i h adi h scilices B i add i Oropter ilitis em triangulorum B m, d i h maiorem proportionem, quam i csid B fa V iportonem ipsius d i habet maiorem proportionem, quam addi: ereo B fad V i habet maiorem proportionem, quam igadgs, ergo rectangulumst g , nempe recrangulum g C quo est ostensum ei aequale maius es rectangulo rig.
Et ponamus rectangulum g e commune ,&c. Et addamus in sperbola, ora eramus in ellipsi rectangulum g e communiter. Et propterea E K ad sU, nempe K ad Y e, &c. Sunt enim triangula E RT, O V e T iba, ergo E X ade V es, o Rr ad T c, quare ΚΥ ad T e maiorem V portionem habet, quam e M ad N K, ct componendo, eadem K e maiorem propo tionem habet ad c Υ, quam ad M K, seu ad F D; unde patet, quod e r minor sit, quam F D. Et constat quemadmodum antea demonstrauimus,&c. aduoniam er minor ostensa es, quam K Mergo eadem EI ad T c ,seu IX ad V e propter ibim dinem triangulorum EIX, Te V maiorem proportionem habebit, quam EI ad N K, seu I adCS, vel ad ei aequalem c c; igitur comparando homologorumsum c
88쪽
mas inelbasi se eo randem ae eremias in perbola C X ad c V , vel f propter similisurinem tria is gulorum XCZ, V cκ CZ ad Z c maiorem proportionem habet, quam IC ad CS, vel C D ad DF ; or componendo in emi ι, se ἀπι-dendo in sperbola C c ad c Z maiore proportionem habebit , quam C F ad FD, ct ideo breuissima egrediens ex V abscindit linea maiorem , quam A Z.
Simili modo c5stat, quod breui Gsima egrediens ex I eiusdem sit rationis ,&c. Absique noua demonstratione
insecunda, o quarta situra prori stum sensum erit. Deinde sit E D aequalis Q , inde demon strabitur quemadmodum supra factum est quod B H tantum sit linea breuissima, &c.
Secunda pars huius propositionis, quam Apollinius non exposivis haeratione stuppleri potest.
Sit E D aequalis Trutinae q. habebunt E D, atque eandem proportionem ad B O, componitur vero proportio E D ad B o ex rationibus E D ad D Κ, ct D K ad Bo, seu OG ad sto; componebatur autem proportio Trutina a ad BD ex rationibus C D ad D F , ct FO ad OC; ergo ablata communiter proportione g D ad D Κ, vel CD ad D F, relinquetur proportio G O ad OB eadem propo tionι FO ad OC ; erga rectanerium GOC sub extremis contentam aequale erit rectan uti no F βb inter meos eampraehense , addatur in hyperbola , ct areferatur in e is communiter rectangulum F G , erit rectariesum F I aequale re a ruti B G Mi Et quia I S ad SB , vel E K ad K ti, vel ad F M erat, ut CF ad F D , vel vi S M ad M K : ergo rectangulum E M aequale es rectangulo F S : o propterea rectan ut m E M aequale erit recto D RGM ; quapropter τι E x ad BG, seu T I ad RG, ita erit G M ad MI , ct componendo, eadem
89쪽
Din. 3. K G eandemiro sertonem habebit ad RG , atque ad M K, de R G aequalis serit MK , vel FD, quare eadem LI MI M , vel C D ad DF ,sire IC ad CS eandem proportio nem habebit, quam eadem EI ad RG ,
ita IT ad BG pr ptersimilitudine
parando homolo rum summas inem-
habebit, quam I Cad CS, vel CD ad D F , .s dioidendo in hyperbola, ct coponendo in elitras CD ad On e MPm 'opanionem habebit, quam C F ad F D, siue qNam haber latus ira uersium adreectum : or propterea B H es breuissima
linearum ex B ad axim cadentium.
Deinde educatur quilibet ramus E V supra, vel infra breuisecantem EB, qui productus fieret rectam IC in X, o CA in Z, atque S M in T, se educatur ex V recta V e perpendicularis ad axim, secans D F in c , ct S M in e , atquc contingemem sectionem in D Io B, hi ter ipsam S a secet m d . Et qtita τι modo offensum est ) rectangulum F S aequale es rectanguis B G M , funique pariter se a DC, AC, C a proportis os: ergo C a es quinta proportionalisposqu reor praecedentes FC, NC, OC, AC conii e proportionales ior idco F C ad C O es, ut C O ad C a; ergo comparando homologorum disserentias tam in hyperibola, quam in el si erit. FO ad Oa . τι FC ad C O : es aurem GT ad to, .ut F C ad C O, ut antea sensum es; ergo G B ad BD erit, ut FO ad sa; sed . promer uisudinem triangulorum BG s, go a est G B ad Bo, mi Gl, ad Oa: ergo I O, seu M G ad O a eandem proportionem habet, quam G b ad eandem D a : propterea MG aequalis es Gb; cumque I bsecetur equaliter in G, ct inequaliter m e sex lemmate 6. huius G b ad eb, heu RG , ad d c , propter motudinem triangulorum LGb, o BD a , ct mutio magis K G ad V c porti em Hi d e habebis maiorem proportionem, quam e M ad G M; ergo re auegulum BGM
90쪽
erat AEut prius r Gangulum BGMAEquati rectangulo EM; ergo rectangus
nendo , eadem K eadr e maiorem pro
portionem habebit, quam ad M K; ergo T e minor es, quam NU, quare E I ad T e, seu IXade Vorapter simititudι-
maiorem proporti nem, quam eadem
EI ad MK, heu IC ad CS, vel ad ceri se propterea comparando fomologoram summas in elli , ct earundem disserentias in h perseia C X ad c V , -I Ca LVm ad Zc propter ititudinem triangulorum C Z X, DcZ maiorem pro νυ nem habebit, quam S V, ad K M, seu CD ad DF, ct diuidendo is buersia cy componendo in elli Cc ad c Z ha bit maiorem proportionem , γ- CF ad F D, seu quam latus transuersum ad rectam, σβυ erea breuissima ea ex V io. rum cadentium ex puncto U ad axim abscindet secrentum maius , quam AZ, in Mor ramus E V non erit brevisecans , quod fuerat. endendum. Et demonstrabitur, quemadmooum dictum est, quod GO ad BD misenorem proportionem hanet, quam FO ad OC, dcc. Nam proportio EDMB O componitur ex rationibus E D ad D K , or D K, seu GO M RO. Pariterque proportio Trutina ad . quae erat maior quam E D ad BG componitur ex ratio nibus CD ad DF , o FO ad OC, auferatur communis proportio E D ad DK, vel C D ad D F, remanet proportio G O ad OB minor proportione FO ad O C. Et producamus ex V, i duas perpendiculares Ue, I P . quae , dcc. Et producamus ex V, ct V duas perpendiculares V e, qua parallela sint continenti FM , O secent reliquas tineas insignis antea expossis ; Rectangulum ergo V e G a m e