장음표시 사용
71쪽
in eodem plano G R C describaturalia parabola E B H, cuius axis B G, vertex B, ei que latus rectum
s lib.I. & nes F B E, O HBE non adeasdem 33 partes convexa habentes, sese muttio secare, nedum in communi ve irce B, sed etiam in aliquo alio puncto, is es E. Tum coniungantur
renae lineae E D quidem perpendi cularis ad axim B D , atque E G perpenincularis ad axim BG, cumque angulus G B D rectus sit ex 'pothes, erisii. lib. i. DG parallelogrammum , cuius aduersa latera qualia sum inter se. Postea, quia quadratum oraematim Vplicarae E D aequale est rea angulo sub asseisia D B. o latere recto SA, erit AB ad D E, seu ad B G, is eadem B G ad D B, seu Ibalem. ad ei aequalem EG. Rursus quia in parabola H B E quadratum ordinatim a plicata EG aequale est rectangulo sub abscissa G B, est eus Diere recto BC, habebis BG G E Gnaeom proportionem, quam G E ad BC, ct propterea quatuor rectae Iineae AB, B G , G E, ct B C erant continue proportionales; ideoque duae repertae linea rectae BG, ct GE mcdia proportionalesium intre extremas AB, O B C, ut erat faciendum.
Continens Propos IL. L. LI. IJ I. LIII. Apolloni j.
Si mensura non excedit comparatam, nullus ramoriam secantium cx concursu egredientiqui crit Breuisecans : & lineae breuissimae ab extremitatibus ramorum ductae in sectione abscin dunt ex axi lineam maiorem, quam abscindunt rami s l.& 11. Si vero mensura excedit comparatam exponi debet linea certis a quibusdam leuibus inuenienda, quae vocabitur TRUJINA. Et siquidem perpendicularis maior fuerit illa , tunc rami habcbunt Proprietates memoratas; si vero aequalis fuerit, tunc inter ramos unicus breuisecans assignari potest, & proprietates reliquorum ramorum erunt illae caedem superius expositae ; si vero minor est illa , ramorum omnium duo tantum breuisecanteS erunt, reliquorum vero , qui non intercipiuntur inter duos breuisecantes, caedem proprietates erunt; corum vero, qui intercipiuntur, lineae breuissimae egredientes ab carum extremitatibus abscindunt cx axi lineas minores, quὶm secant rami ipsi. Oportet autem in ellipsi a
72쪽
in ellipsi, ut mensura sumatur in maiori duorum axium, Sc rami egrediantur ad eius sectionem. Ex E concursu super perpendicularem ED educamus EB s cantem mensuram A D in F, dc sectionem A B in B, dc sit A Hdimidium erecti; sitque mensura A D non maior, quam H A. Dico quod B F non erit breuissima , dc minima egrediens ex Babscindit ex sagitta maiorem lineam, quam F A : at si fuerit AD maior, quam AH, tunc B F potest esse linea breuissima. EDucamus iam BI perpendicularem ad axim, & supponamus prius AD non maiore ni quam A H , & sit sectio parabole ; igitur D I minor est, quam AH, & ponatur G I aequalis A H, erit B G minima S. ex quinto 2 & abscindit G A ex sagitta maiorem, quam A F ; si vero sc-ctio tuerit hyperbole, aut ellipsis, sit centrum C: ergo AC ad AH non habet maiorem proportionem, quam ad A D, quare C I ad IF maiorem proportionem habet, quastin A ad AHi ponatur ergo IC ad I G, ut AC ad AH; ergo BG est minima, & abscindit 9. & io. ex quinto GAmaiorem, quam FA, quod erat ostendendum.
73쪽
A pollonii PergasPROPOSITIO LI.
Deinde sit D A maior quam A C, sitque prius sectio parabole , & secetur ex D A ipsa D F aequalis AC, & A G fiat pars tertia ipsius AF, educaturque BG perpendicularis ad axim, &xt D F ad F G, ita fiat BG ad lineam H de haec est Trutina coniungaturque B E ; S siquidem D E fuerit maior quam H. Dico, quod nullus ramus breuisecans duci potest. Oniam D E maior est, quam H habebit D E ad B G, nempe D Iad I G maiorem rationem, quam GF ad F D, & componatur proportio, ut demonstretur, quod IG minor sit, quam DF, quae aequalis est ipsi AC; breuissima itaque egrediens ex B abscindit ex sagitta A D maiorem lineam, quam A I i a. ex quinto ; postea ducamus ex E ad sectionem ramos E Κ, E L ad utramque partem B E , & duas perpendiculares ΚM, LN, pro ducamus usq; ad do tam gutem sectionem in B; &quonia sectio
est dupla ipsius A G, queest semissis ipsus F G; ergo G F aequalis est G Ο, erit igitur G O ad O M , nempe
MFad FG; itaque MK in F M minus est, quam BG in G F, quod est minus quam E D in D F propterea quod E D maior est quam H ; igitur E D in D Finulto maius est, qualia ΚM in MF, quare ED ad MΚ, nempe DR ad RM maiorem rationem habet, quam MF ad F D, & componendo patet, quod D F maior sit, quam R M. Igitur breuissima egrediens ex K 13 cx quinto cadit extra R K: Et simili modo constat, quod breuissima egrediens
74쪽
. I egrediens ex puncto L cadit extra I S, quapropter duci non potest ex Ead sectionem L B A linea , aliqua cuius portio intercepta inter axim, §ionem, sit linea breuissima. Pariter demonstrabitur, quemadmodum iam ostentum est, quod si E DS fuerit aequalis H, tunc Gl aequalis erit DF, quae est aequalis ipsi AC; da ideo B I 8.ex quinto) una est ex breuissimis, non autem R Κ, quia d monstrabitur, quod ED ad MK, nempe DR ad RM maiorem rationem habet, quam MF ad F D, & propterca DF maior erit, quam RM; breuissima ergo cadit extra RK. i 3. ex quintoJ Et s L quoque non est exhreuissimis. quod ita demonstrabimus; Si NS minor est, quam DF; ergo breuissima egrediens ex L cadit extra S L; Non igitur ex E duci potest ad sectionem linea breuisecans praeter EB, & hoc crat ostendendum. Tertio loco sit E D minor quam H , & ostendetur quod E D in D F minus est, quam BG in GF: postea ponamus T G in GF a quale illi, &erigamus super F perpendicularem F V, & ducamus per T sectionein sqhyperbolicam circa duas continentes A F, & F U; duae sectiones se mutuo secabunt in duobus punctis, & sint Κ, L, & cducamus ex illis duas L N, ΡΚM perpendiculares ad A D. Et quoniam perpendiculares KM,ΤG, LN parallelae sunt continenti VF, erit ΚM in MF aequale L N in NF ir. ex secundo &quodlibet eorum aequale est a G in GF, quod factum est aequale E D in D F; igitur E D ad K M. nempe D R ad R M est, ut MF ad F D,& componendo patet, quod DF est aequalis RM, &pro- in pterea KR est linea breuissima D8. ex quinto. k Et similiter patebit, quod L S sit breuissima. Et cum B I intercipiatur,inter illas patet etiam, quod BG in G F ma-t ius sit, quam ED in DF. ostendetur ut dictum est, quod I I maior sit,
quam DF; breuissima ergo dueta ex B cadit inter I, & A. i, Deinde ex concursu E ad sectionem parobolicam ABZ cdueamus EX, M EZι quas interseeant I L . X Y perpendiculares ad A D, quae parallelae sunt continenti s V secantes ΚT L hyperbolen, ergo Υ in YF aequale
est GT in GF, quod factum est aequale ED in D F, itaque E D in DF maius est, quam,XΥ in Y F; igitur ED ad X Υ, quae est ut Db ad ι Ymaiorem rationem habet, quam Y F ad F D, & componendo patet, quod
F D maior est quam ι Y: itanne breuissima egrediens ex X abscindit ex AD Iineam maiorem, quam ι A; Simili modo demonstrabitur, quod Zen non sit breuissima, & quod breuissima egrediens ex L abscindit ex A Dlineam maiorem, quam Ae,idc hoc erat propositum.
Deinde sit sectio hyperbole, aut ellipss A B, & axis illius C
AD, centrum C, & DA mensura, quae si maior dimidio er cti, N pereendicularis ED. Dico', quod rami egredientes ex E habent supelius expositas proprietates.
75쪽
I 'aque per C producamus CI parallelam perpendiculari ED, &pona- binus quamlibet duarum proportionum CF ad F D,&ΕΚ ad ΚD. ut Proportio figurae, & educamus ex E. Κ rectas E I, Κ S parallelas ipsi CAD, & interponamus inter FC, C A duas medias proportionales CN, CCO, & crigamus per o perpendicularem B O, quae occurrat sectioni in B; & ponamus proportionem alicuius lineae, ut Q l B O compositam d
co, quod nulla breuisecans egreditur ex E ad sectionem, & linea breuissima, egrediens ab cxircinitate cuiuslibet rami assignati, abscindit cuni A ab axi maiorem lineam, quam secant illi rami. Producatur prius EB esecans axim in Id, & quia E D maior est, quam in ergo proportio ED cad B Ο quae componitur cv E D ad D Κ, nempe I C ad C S, & ex DK, nempe G Ο ad Ο Β maior est proportione , quam habet Q ad B Ο, quae ex hypothesi componebatur ex CD ad DF, ct cx FO ad OC: sed gED ad DK est, ut CD ad DF quia quaelibcticarum est, ut proportio figurae compositae, vel diuisae remanet proportio OG ad O B maior ea, quam habet F O ad O C ; igitur O G in O C , nempe rectangulum C G , maius est , quam B O in o F : &'ponamus rectangulum F G commune, herit rectanguluna F S maius , quam B G in G M i cst vero rectangulum. FS aequale rectangulo EM eo quod ΕΚ ad ΚD, nempe ad F M est, utS M ad M Κ, quia quaelibet carum est , ut proportio ligurae; itaque re- ictangulum EM maius est, quam Mia in G B, &propterea E Κ ad B G. nempe Κ R ad R G maiorem rationem habet, quam G M ad MK, ergo componendo, patet, quod K M. nempe D F maior est , quam G R , &ideo EI ad KM, nempe CD ad DF. seu IC ad CS minorem proportionem habct. quam EI ad G R. quae est, vi I T ad B G, propter sinnilitudinem duorum triangulorum EI T. BGR, ergo IT ad B G maiorem rationem habet, quam I C ad C S, seu ad O G ; comparando hominlogorum dii serentias in hyperbola , ct eorum summas in ellipsi. habebit CT ad B O, nempe C H ad HO maiorem rationem, quam IC ad CS, nempe CD ad D s, & diuidendo in hyperbola, & componendo in ellipsi C O ad O H, habebit maiorem proportionem quam F ad F D, quae
est, ut proportio figurae: igitur breuissima egredienS ex B 9.r o. cx quinto9 abscindit cum A maiorem lineam, quam AH Postea educamus ex E lineam occurrentem lectioni in V, & producamus eam, quousque occurrat C I ad X , & ducamus per B lineam tan- lgentem sectionem, quae occurrat inclinato, siue transuersae in a, & per Uducamus perpendicularem super axim, cui Occurrat ad e, & occurrat tangenti B a in di de quoniam O G ad O B , quemadmodum demonstrauimus, maiorem proportionem habet, quain FO ad OC, ponamus D ad
O B, ut F O ad O C, & per producamus fg h parallelam axi AD: Et inqui aso ad OB est, ut FO ad OC, crit rectangulum O C aequale Boin OF, & ponamus rectangulum F communirer fiet infinio aequale e ny in F C, & quia C o in uersi in trutipat m C a aequale est quadrato CA dimidi j inclinati, siue transuersae 39. cx primo crit OG ad C A, ut C A ad C a ; igitur C a est linea quinpa proportio palis aliarum quatuor i, linearum proportionalium assignatarum; crgo FC ad Co est, ut Co ad
76쪽
C T. & comparando homologorum differentias erit F O ad O a, Vt F.C Lem. .. ad Co, quae est, ut fB ad B o, nempe fh ad O at igitur proportiones ipsarum Fo, fh ad eandem Oa eaedem sunt; ergo sunt aequales; & propterea si ad th maiorem proportionem habet, quam ad fg, & componendo fh ad i h, nempe B fad V i maiorem proportionem habet, quam
i g ad g f; ergo , sin si , nempe rectangulum g C maius est quam , Vin ν g. & ponamus rectangulum g e commune, ecti aggregatum rectam gulorum
77쪽
in hyperbola , vel eorum excessiis in ellipsi maior. gulorum C g, s e quam Me in e V, ergo rectangulum C M, nempe rectanguluin EM multo maius est, quam ve in e M, & propterea ΕΚ ad e V, nempe Κ ad Lem. . Y e maiorem proportionem habet, quam e M ad M K , & componendo patet, quod e Y minor sit, quam Κ M, & constat quemadmodum antea demonstrauimus quod breuissima egrediens ex V ab indit ab axi maiorem lineam quam c Z. . . Simili modo constat, quod breuissima egrediens ex I eiusdem sit rationis. DE inde sit ED aequalis Q, inde demonstrabitur. quemadmodum supra factum est) quod Bbi tantum sit linea brcuisi nia, & quod minima egrediens ex V abscindit ab axi cum A maiorem lineam , quam AZ, & quod minima egrediens ex I secet maiorem lineam, quam Am. Tandem ponamus E D minore, quam Q , ergo ED ad B O minore proportionem habet , quam in ad eandem ; 3c demo- strabi tur quem ad
modulii dictu est quod G Ο ad O nmino em proportionem . habeat,
hyperbolicam ci ca duas continzntes S M, M F, qtis secet sectionem AB in ν, mungamus E V , E L& producamus e V , t duas perpendiculares V e , I P, quae parallelae sint continenti M F. ergo o G in GM est aequale V e in e M in . ex secundo &quia G O ad O o est, ut FO ad OC erit o. O in ob aequale rectangulo G C, & pon ...: I miis mctangulum IV commune fiet rectanguium C M quod erat squale rectanguli, E aequale ii sic . G in G M, quod est aquale ipsi V e in . M Vergo rectangulum E M aequale est ipsi V e in V. Tandem prose-
78쪽
aΙTaque ostensium est , uti memorauimus , quod concursu duarum breuissimarum ad conisectionem non egrediatur alia breuisecans praeter illas duas , & quod reliqui rami ex eoru concursu educti ad sectionem habent proprietates superius e positaS.
In ellipsi ramorum, secantium utrumque axim, a concursu Vltra centrum posito egredientium , unius tantum portio , inter axim maiorem , & sectionem intercepta, erit linea breuissima, siue mensura ipsam comparatam, nec non perpendicularis ipsam trutinam superet, aequet, vel ab ea deficiat. It sectio ellipsis ACB,&axis maior transuersus A B perpendicularisb o EF, centrum D, & ponamus DG ad GF, ut pronomo lagur &sii in iter EH ad H F,&producamus per H rectam IH K. parallelam ipsi AB, & per G recta I G L ipsi
E F, quae sibi occurrante in I, & ducanius per se punctum E sectionem 1 Π lhyperbolen EMC ci
tes L I, I Κ , quae O curret sectioni A C Bellipticae, quia IL, IK
ctionem E M C, & proportio E FI ad H F po- sita est, ut DG ad GFit , ' en o E LI prima proportionalium in H I, nempe G F quartam, aequale
G secundae in I G, nempe F bl tertiam; ergo punctum M cit in illius diametro, & propterea sectio hyperbole EMC transiit per centrum sectionis ellipsis A C B ; quare duae sectiones se inuicein secant, sitquως concursus in C, & producamus per E, C lineam occurrentem duabus continentibus sectionem in L, Κ, & producamus duas perpendiculares C di, Κ O luner AB. Et quia LV, LE sunt aequales t 6. ex secundo erit GF 3
aequalis O N; quare F O a qualis est ipsi G N: atque E H ad H F, nempe ad ΚΡ, seu FO quae est aequalis ipsi GNJ ad OP eandem proportionem habet, quam DG ad GI , que cst cqualis ipsi ON, &ideo GN LAcies OP est, ut DG ad ON, & comparando homologum discrentia siD N
79쪽
ad N P erit, ut DG ad G F, quae est proportio figurae ; ergo C P est lianea breuissima. io. ex quinto, Et hoc suit propositum.
Et dico , quod non reperiatur ullus alius Iamus, a quo ab- gscindi possit inter sectionem, & DB linea breuissima. NAm si producantur E H, E G ad utrasque partes ipsius E C secantes DB in Κ, I, & producamus per D perpendicularem ad A B, quae occurrat sectioni ad L, S ipsi E C ad M, quia iam L pr uictae sunt ex concursu M duae breuisecantes MC,
linea educta ex M adH al, scindit ex D B cum B maiorcin lineam, quim secat breuillima egrediens ex H i i. ex quint & linea educta ex M ad G abscindit ex D B lineam minorem ea squam secat linea breuissima egrediens ex G si . ex quinto sed E H, &EG essiciunt abscissas opposito modo; ergo non sunt duae breuisecantes,& propterea non reperitur alius ramus, cui competat proprietas ipsius EC, de hoc erat ostendendum.
SI Vero mensura excedit comparatam educatur linea, ad quam con paratur perpendicularis, & vocabo lineam illam Trutinam, &c. Sic legendum puto : Si vero me ura excedis comparatam eveni debes linea certis quibusdam legibus inuenienda, quae et orabitur Trutina . Ex E concursu super perpendicularem , &c. Iris. Ex E concursu se pendicularis ED ad axim AG, ct ramoram secantium educamus EB secantem
Tunc B F non est cx minimis, &c. Dico quod B F non eris recta linea minima oram, quae inter punctum sectionis B, o axim intercipitur. Et ponatur GI aequalis A H, &c. Et ponatar GI aequabs AH, iungam que A G, cu que A D posita sit non mater , quam H A , erit Hisus portio F Iminor, qu π AH, heu quam GI, ergo BG est breuissima, cstc. Ergo C A ad A H non habet maiorem proportioncm, quam ad A D; quare D I ad I F, dcc. Ergo G A ad AH non habet maiorem proportionem , quam ad AP, ct addatur indire.Itim recta A L aequabs A H in 'perbola, ct
80쪽
a rea ον in .lbas; re C A ad A L non habet maiorem proportionem ἰ γ mad A D, ct componendo in sperbola, or diuidendo in ellipsi C L ad AL , non habet maiorem proportionem, quam C D ad D A , sed C D ad A D minorem proportionem habet, quam ad eius segmentum I D, ergo diuidendo in spreb la, ct componendo in elluse habebit AC ad A D , or adhuc ad A L , heu A Hminorem proportionem, quam C I ad I D, habet vero C I ad I D minorem rationem, quam ad eius segmentum I F; igitur CI ad I F maiorem proportionem habet, quam C A ad ΑΗ.
a π , Ico quod nul- I tu, ramus breuisecans duci potest,&c. Dico, quod ex concursu E ad se ctionem nullus ramus breuisecans duci
potest. , Quoniam D Emaior est, quam H,&c. a uoniam D Emaior es , quam Hhabebit E D ad B G
quam H ad eandem S Q posita autem fuit nuerse G F ad F D, is o ad B G: ergo E D