장음표시 사용
131쪽
Si vero ex illo educaturalius br uisecans crita qualis uni breuisecanti ex altera parte recti posito , &omnium reliquorum erit maximus. Quia breuigimae egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum alta scindunt cum C, vel A lineas maiores, quam secent rami illi ex s. demonstrabitur ductis tangentibus , per extremitates illorum quemadmodum antea ostensum est 2 quod E B sit maximus ramorum egredientiiun ad duos quadrantes C B, B A , & hoc erat ostendendum.
Postea educatur alius breuiseiacans EF; Dico, quod est aequalis uni breuisecanti E G aequo
remoto a recto D B, & est maximus reliquorum omnium. Quia B D:. F H sunt duae breuissimae, ergo rami egredientes adsectionem BF abscindunt cum A maiores lineas , quam secent breuissimae, egredientes ab eorum extremitatibus o idem dicendum est de ramis educti ad sectionis peripheriain B G , & rami educti ad peripherias C G , A F abscindunt cum C, vel A lineas minores s. ex s. constat itaque adhibitis libneis tangentibus, ut dictum est , quod E F si maximus ramorum secantium ex E ad C B A egredientium, excepto uno E G, cui est aequalis, quod erat ostendendum . .
P R 9 clariori intelligentia ope Pionum huius sectionis haec praemitto.
Si in elles AB C a concursu E ductius fuerit ramus E G secans trumque axim in B, I, cuius portio G I, inter axim maiorem A C , sectionem intercepta , sit linea breuissima ; dico , quod quib-l et alius ramus E X inter breuisecantem G E , s axim minorem interceptus , es icit cum sectionem tangente x P angulum E L P acutum, respia
132쪽
respicientem everticem C concursui propinquiorem : Qt quilibet ramus EL inter breuisecantem G E,--im maiorem positus eficit cum tangente L ad angulum E L M respicientem verticem A a
Ducatur E F perpendisularis ad axim maiorem , exm sicans inter vertis C, ct centrum D in F, or ex concursu axis minoris B H, o breuissima GE, scilicet ex H ducantur rectae H R , ct H L ; pariterque ex pancIis , x , o Ldueantur ad axim maiorem A C linea breuissimae V N, L O, ei occurrentes in v , ct o. rauoniam ex praemisso Lemmate 8. 2 a concursu H ducitur ramus Η Κ snter breuisecantes H R , H G interceptus; ergo H K Odit infra bresis Λm K N ad paries verticis C a s vero angulus N V P rectus a tangente , o breui ima contentus ; ergo angulus H U P erit acutus , eum H K cadat inter N x, ct tangentem Κ P: cadit vero E K infra ramum ΗΚ versius C; st tur angulus E U P respiciens verticem C proximiorem concursui E erit acutus. Similiter ex eodem Lemmate 8. J quia ramus HL ducitur inter breuisecantem H G, ct verticem A a concursu Ez remotiorem, cadet ipse supra breuissima L O sque angulus D L M ad partes verticis A rectus: ergo H L M acutus eris, ita reumque E L cadat seupra H L versus A; igitur angulus E L M, verticem Amotiorem res ciens, erit acutus , quod erat ostendendum.
Si a concursu E non existente super recto ellipsis A C, producatur unicus ramus secans ipsam A C, ut E G , cuius segmentum G I, & A C sit breuissimum, vel duo breuisecantes; utique maximus secantium ramorum gredientium ex illo concursu , est breuisecans , qui rectum sectionis abscindit, nempe E G , &c. Textum mendosum sic re tuendum censeo. Si
133쪽
concurseu E non existente super axim rectum minorem ellipsis ARC AcMur adfectionem A B unicus ramus utrumque axim secans, cujus portio G I MIer se ctionem , ct axim maiorem A C intercepta sit linea breuissima; vel ducatur se
ter E G alius ramus breuisicans, mensuram tantummoλ abscindens ; utique ramorum secantium, ex tuo concursu egredientium, maximus erat Esse, qui axImrectum section/s dimaeis, ore. Erigamus itaque super D perpendicularem, &c. Scilicet ex centro secti nis D eleuetur D B perpendicularis ad axim maiorem A C , occurrens sectioni
in S, ct iasi E G in L. est propterea D, B erit semissis recti axis, or punctum E in axi B D non existi ex spothesi, ore. Quoniam non egreditur cv E nisi unus breuisecans, ergo lineae breuissi,mae egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum, abscindunt ab axicum AC, L A lineam maiorem , qu.im secent illorum rami i. 32. ex
s. & iam patet, quod si ita se res habet L EC est acutus ; quia E Chreuissima est litiearum egredientium ex E ad quadrantem A B, & propinquior illi, minor est remotiore, &c. Sis legendum pato r ciuis praeter EG, virumque axim secantem Musius alius breui sicans duci tesse a concursu E adscrionem supponitur, e go linea breuissima egredientes ab axtremitatibus NIL quorum ramarum in quadrante C B abscindunt ab axi A C eam vertice C IAneas maiores , quam secent rami i. β 2. ex s. 9 pariterque constat, quod an-Dlas E C F sit acutus, atque ramus E C es minimus e MIentium ex E ad Padrantem C B, c propiνquior minimae, minor est remoture. Demonserandum modo es, quod K E maior quoque es, quaU E B ,c .
Producamus itaque M B, M Κ tangentes; ergo M B E est obtusus, &Κ E est acutus 29. ex s. quia breuissima egrediens ex Κ abscindit Aeam minorem, quam A E . ex s. eo quod K est inter duo segmen-L B, L G : & iungamus M Ea ergo duo quadrata M B , B E minora sunt, quam quadratum M E , quae minora sunt duobus quadratis V K. Κ E, &c. I s: ex punctis B, T ducantur duae tangentes sectionem M B, I, M
134쪽
occurrentes in M, se quia angulus D R M rectus es contentus ab axe , ortanto. ''TIte, o cadit B E inter C, or D ergo angulus E B M est ob sus; postea, quia E'
K cadit infra breuissimam E G , Gr supra minorem axim B D , ergo aneulus Lem. i, E U M res ciens verticem C propinquIorem concursui, eris acuos, ct tuncta M E erunt duo Padrata E B, B M minora quadrato E M. esque quadratum E M minus duo squadratis E K, K II circa acutum angulum cum priora angulum obtusum comprahendant, J Igitur duo quadrata E R , B M simul sumpta minora sunt duobus quadratis E K , Κ M : esque quadratum M B Usus quadrato M K, cum contingens M Γ, proximior veratra A Is maioris mInor re. sit remotiore R M; igitur quadratum E B ,sciticet residuusu minoris summae minus erit quadrato E Κ, CT propterea ramus E B minor erit, quam E R .
Et educamus ex E ad sectionem A G, E A. E O. de patebit, quod EG maior sit, quam E O , & E O, quam E A r erigamus itaque ad A Cperpendicularem A P; ergo EAP est obtusus: & ducamus P O man- gentem; ergo PO E est acutus, quia linea breuissima egrediens ex Oabscindit cum A lineam maiorem, & P O est maior, quam P A; ergo E Omaior est quam E A, atque sic patet, quod E G maior sit, quam E O,&c. Demonstratio postremae partis huius propositionis negocra as Apollonio ob sui facilutarem occasionem errandi alicui praebere posset, propter verba tya postrema textui superaddita; non enim ex maiori summa duorum laterum P Ο, Ο Ε si auferatur maior O P, or ex minori summa P A, A E auferatur minor P A, necessario residuum nraior/s, idest E O maior erit quam Ε Λ residuum minoris ; rIaque sensus huius contextus latis erit. Ex concursu E adsectionem A G ducantur rami E A, O quia bet alius Eo; osendendum est, E G maiorem esse, quam E O , or E O maiorem, quam EA: δε- cantur A P ,α s tangentes siectionem in A, ct O conuenientes in P, ct tangenti Comicis. G mn manifectum es angulum E A P obtusum esse, cum angulus C A P sit 31. lib. i. rectus pariterque quilibet ramus E O inter breuisecantem E G, o verticem A remotiorem interceptus e cis angulum E O P, verticem A res cientem acutum, orsit reliqui omnes rami inter puncta G, o A cadentes ; quare sex Corostario propositionum 6 .ct 6F. ramus E A minor erit quolibet ramo E O inter vertia rem Α, ct G ca nte : rursus, quoniam breu ecan E G constituit cum tangente an uia E G α rectum; quare ex coucumu E ad semonis peripseriam G A omnes rami cadentes e cium cum tangentibus angulos, verticem A respicuntes, acutos, erinus tantummodo E G mst rectus; igitur sex Corosteropo 67suius ramus E O vertici A ropinquιor minor est remotiore E G; Guapropter ramas breuisecasEG maximus es omnium ramorum secantium ad peripherιam A R C eadentium. At adhuc non constat, ramum E C minimum esse praedicrarum ramorum omni m. - .s ostendatur , E C minorem esse quolibet ramo ad per heriam A G eam Io r se hoc etiam ob μι δει uitriem neglectum βιι ab Apollonio . Absol
Guoniam perpend cularis E F cadit inter C, o D , igitur A F maior es, quam C F , ct F E es communis circa angulos rectos in triangulis C F E, A F E, Uitur C E minor es, quam E Ar estque E A minor quolibet alio E O inter A, OT Geadente, igitur E C minor es omnium ramorum carinitum adseri erram A G, sedprius minor sensus Λιι reliquis omnibus eadentibus ad peripheriam C BG; igitur ramus E C minamus es omnium secantium, quod erat ostendendum.
135쪽
romam m r.et. huius Uensim G, quod simiaxis miser empsis est rani se tussimus , ergo si incidentia perpendicularis E F ιuper axim A C , iis punctum F es centrum Hi s educeremur ex concursu E tres brevisecautes , nin Ionia E H, E G, O E F producta , quae esset axis minor em s: hoc autem se eo ira hyothesim, cam ductisnt ex E duo freuisecantes : ergo Grais vadius Ε Η mensiuram C F secat, qua minor esse debet semisse axis maiorιs C D ; igitur ex conuersa fropo II e So. huius , mens a C F maior erit femisse lateris recti, is sex conuersa propos. 32. huius erit perpendicularis E F aequatis Trutinae . Demonstratio huius propo uenis areglecta ab Apulento , pro crea quod eodem fere modo , ac praecedens ostendi potes , Deus me perficietur in hunc
Propos. a n 'Iam a concursu E et nisus tantum Metiferans L H ad quadrantem C B67. hui, diae tur , igitur C E miri s es omniam ramorum cadentium aduecturis Peripheriam C B, ct E C vertici B propinquior minor es remotiore inii H , ct EII minor, quam E B e rursus, quia ramorum cadentrum ex E ad peripseriam sit si , ' G unus tantummodo breuisecans E G con Itiit cum tangore N G. vii Eam
96 Apollonij Pergaei Notae in Propos LXXIV.
ERgo E F per centrum non transit, cadat super C D, de quia produ-eti sunt ex E duo breuiseeantes; ergo C F cxcedit dimidium ere eti, re E Flequalis est Trutinae a. ex s. ) patet itaque, ut antea demonstrauimus , quod E G sit maximus ramorum, & E C minimus, &c.
136쪽
rectum, o reliqui omnes rami cadentes super totum arcu G R, constituunt cum ς suis tangentibus angulos acutos, resflictentes verticem C ; igitur quilibet ramus Coroll. E B propinquior vertici C minor es quolibet remotiore ramo E K,σ E x minor est remotiore E Grct propterea ramus Ε G maximus es omnium cadentium ad periph iam C B G . Postremo, quia ramorum cadentrum inter breuisereanum E G , ct remotiorem verticem A axis maioris , unicus tantu E G e scis cum LV. o. sua tangente angulum E G N rectum: reliqui vero omnes cadentes inter G, ct butu . A esstiunt cum suis tangentibus angulos , respicimus et erit cm A remotiorem, Iem. i. acutos; ieitur ex Corollario propos. 67. hutas P ramus T G maior es quolibet ita uti ramo E O verrui A propinquiore , se E O maior est , quam E A : quapropIcrbreuisecans E G utrumque axim abscindens maximus es omnium ex E cadensium ad semiperipheriam elliasis C B A, o ramus E C, it in praecedenti Iues, minimus eris omnium, atque propinquiores mammo ex eadem parte maIores erunt remotioribus , se cadentium ad peripheriam C B G minimo C E pro-mnquiores , minores erunt remotioribus, quod erat sendendum.
Postea ducamus eκ E tres breuisecantes E G, E I, E H , & secent EI mensuram, & E G secet rccitum in L,&c. Ides: Posseas ex concur-L, E ducti serint tres breuisecantes E G, E I, E H; quorum duo E I, E Hs cent mensuram in K, o M: E G vero secet axim rectum in L, ct axιm m iorem A C in N. Dico, Orc.
Quoniam I Κ, NM sunt duae breuissimae constat, quod EI maximus sit ramorum egredientium ad illius sectionem c sa. ex s. & reliquorum ramorum propinquior illi, maior est remotiore,&c. Id simia in quadram N te elu-
137쪽
re elli'sis C B ducuntor a concursu E duo treuisierantes E I, E H; igitur ex
propositione 72. huiusJ erit breuisecans EI vertici A propinquior maximus om nium ramorum cadentium ex concursiu E ad elu sper, eriam C H : se pro 'p/nquior maximo E I maior erit remotiore, sed non omnium ramorii cadentium
ad quadrantem C B, sed eorum solummodo, qui inter verticem C, ct insimum breuisecantem E H aliquorum tropre ipsum; nam rami secantes carintcs pro 'te punctum H hine inde successitie augentur , ut dictam es in notis proris. 67, in ei que Corollario. Nec non, quia H M, G N sunt duae breuissimae, constat, ut dictu est, quod CGE sit maxilnus ramorii egredientiu ex utroque latere eius ad A H,&c. oru verborἄsensis hic est. uia ex concursu E ducuntur dua breuisecantes E GO E H adsimielli m ABC, quarum E G secat utrumq; mini, at E Hscat tantummodo mensuram ergo , sicuti in praecedenti propos 7 . esiensum es, eri ramus E G maximus omnia cadensi 5 adperipheriam H A, GN. At quia dubitari posset de certitudine huius consequentiae, quandoquidem praheses non sunt omnino eaedem; in propositione enim 7 . non tres, sed duo tantummodo breuisecam tes ex concursu L ad sectionem C B A ducebatur , hic vero etiam terria breu,
secans ducitur: sed si consideretur progressis A Eony, eandem conci oncm ex utraque ιν thesi Aeduci posse percipitur ; nam ex propositione 72. huius) bre
suscans E H, ιnfra breuisecantem E I positus, minimus es omniam ramorum cadentium ex E ad periphenais H B eia asis, ct propinquior minimo E II minor es remotiore, reliquorum vero ramorum cadentium ad quadrantem B A maximus er breuisecans E G , ut ostensium es in praecedentiproposit. 7 . ex Lemma te i a. hujus , CT ex Corollario proposit. 67 , atque V vmquior ramus maximΦE G eorum, qui ad quadrantem B A caca maior est remotiore; quapropter ra mus E G maximus es omnium ramorum ex E ad Abasis peri erram H A ca
138쪽
d Dico etiam, quod E G maior sit, quam E I, &c. Ita e Ostendetur etram,
quod ramus E G maximus etiam sit omnIum ramoris eudentrum ad 'ryseriam
C H, propterea quod E G ostendetur maior E I maximo eorum, qui ad periphe riam C H duci possunt. Ducatur ex Ρώcto I recta I O paracteti axi maiori A 'C, qua secabit axim minorem, se sectionem, cum paxctam I cadat inter ve rices C, O B duorum axium; sicet igitur sectionem m O, coniungaturaue EO, atque expunctis I, O, G, E ducamur perpendiculares ad axim I P , O 4b, G
I K sunt breuissimae; ergo D R ad R N, atque D P ad P Κ eanrim troponio' i s. l. v us. nem habent, nimirum eam, quam habet latus transuersum ad recrum; es vero K F minar, quam D L, atque R F maror, quam D R; igitur F P ad P Κ mianorem proportionem habet, quam D P ad P K, seu quam D R ad R N, ct mu D minorem , quam F R ad R N ; quare Gidendo F K ad K P minorem proportionem habebit, quam F N ad N R, ct propter parallelas F E, I P , or similitudinem triangulorum E L F , I R P es E F ad I P , it F K ad K P .i - 'rur E F ad I P minorem proportionem habet, quam F N ad N R ; sed propter
stitudinem triangulorum E F N, G R N e I E F ad G R, ii F N ad R N ;igitur eadem E F ad I P minorem proportionem habet , quam ad G R; ct propterea I P, seu et aequalis O in paratae ammo rectangulo P Oὰ maior erit, quam G R, ct propterea punctum O recedit a puncto G versus B, Ideoq; ramus huius
E G maximus , maior erat ramo E O, cdici
a C I autem non educatur ex concursu E ad rectum E B ellipsis ABCo breuisecans praeter transeuntem per centrum, ut E B, utique erit maximus ramorum secantitum egredientiu in ex concursu ad sectionem. Si vero eductus fuerit cx illo alius breuisecans , ipse erit ramus maximus,&c. Imperceptibilis offensus huius textus, quia, praeter phrasis Arabica iocultatem,
nonnulla verba in textu desiderantur a itaq; sic legendum puto. Si ex concursu E m recto E B posito ellipsis ABC non educatur breuisecans praetre E B transeuntem per centrum , erit E R maximus ramorum secantiam ex concursu ad sectionem egressientia. Si vero ex iago educatur alius breuis cans, erit aequalis uni breuisecanti ex altera parte recti posito, ese omnium reliquorum erit maximus: Si enim hac extrema verba non ononeremur , propo- Aia non esset vera, ut osendetur .
b Quia breuissimae egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum abscindunt cum A, vel B lineain maiorem, quam secet ramus illius c49. ex s. demonstratum ergo est in lineis tangentibus ad extremitatem il- Iius , quemadmodum antea, &c. Mendose citatur quadragesima nona huius, debet fissimi se, q3. m qua sensum es, qhod quotiescunque ramus E B ad se-N a mi im
139쪽
miaxipa minorem I D habet eandem, aut maiorem proportionem , auam latus transuersum A C ad eius latus rectum ς tunc nullus alius ramas ad sectionem ABCbretissecans duci potes, o quaelibet linea bretii sima ut F H ducta ex puncto F adaxim A C cadit infra ramum E F adjam res centri , ct propterea si per F ducatur F I contingens evirata quiliber ramus E
F eos. et cam tangente avgulum EF Irespicientem verticem A acutum: Similiter ducatur A X contingens sectionem in A co-sib I muniaturque E A, erit quoque an uius ΕΑΓ acutus, o ducta B Leontingente sect onem in B erit angultis E B L rectus ; quapropter omnes rami ex concursis E ad quadrantem A B ducti e ciunt cum suis tangentibus angulos respicientes Co oll. verticem A acutos, σ unus tam modo E R L, est rectus; igitur ramorum ca- p. liuius. dentium ex E ad quadrantem 5 A minimus est A A, ct qui tibet ramus E Fpropinquior vertici A minor es quolibet remetiore; cr propterea E B erit maximus : mili modo E B maior erit quolibet ramo EG in quadrante B C exissem
te ei Et hic essensus , ni fallor illorum verborum et demonstrabitur in lineis tangentibus, quemadmodum antea ostensum est,&c.
mus ramorum, &c. Repono hic i-liter verba, quae in textu desiderantur ; sea educatur alius ιν secans E F , Dico, quod est aequalis et ni breuisecanti E G aeque remoto a recto D B , ct es maximus reli
Quia B D, F H sunt duae breuissimae;
ergo rami egredientes ad sectionem B Fabscindunt cum A lineas maiores, quam sece ut breuissimae egredientes ab eorum extremitatibus, & rami ςgredientes ad duas peripherias C B, F A abscindunt cum A, vel C lineas minores s F2. ex s. &c. ciuia in Ab semiaxis minor B D, o breuissima F Η
concurrunt in E ; exeo quia set ramus ex E ad peripheriam F B ductus cadit infra breuissimam ab eius termino ad axim A C GLIam: similiter, quia ramus E G aeque recedit ab axi D R , ac ramus E F ; propterea , ne dum ramus F Eaequalis erit ramo E G, sed similiter quilibet alius ramus incidens inter E B, Ibidem. ct EG cades in a breui simam as eius termino ad axim A C ductam versus D, ct rami cadentes ad peripherias A F, ct C G cadunt supra breuissimas ab eorum terminis ad axim C A ductas ad partes A, ct C.
Constat itaque, ut dii tum est de lineis tangentibus, quod E F sit maximus ramorum secantium egredientium ex E ad A B C, quod crat osten-
140쪽
libet ramus ex E ad A F ductus cadis svr.s lGeuissimam ad partes A ab eius mus. termino adaxim C A ductam; igitur, eis multoties dictam es , constrauit eam sua tangente angulum respicientem verticem A acutum , sicuti angulus EA Vacutus quoque est, Cr omnium ramorum ad peripserim A F cataemia tantummodo an ulus E F I es rectus ἔ igitur omnium ramorum ex E σου fleri cr am e hA E GAntium maximus est F EI remotissimus a vertice A , esque ramus E G p op . . aequalis E F, ct E G maximus es ramorum cadentium ex E ad peri eriamo huius. G C; igitur ramus E F maximus etiam est ramorum cadentium ad peripherram G C: postia ducto quolibet ramo E M istis F, B, or M N tangente sectionem in M, qua tenuent.it cum tangente I F in N, quia E M , ut dictum es, carit infra breui simam ex M ad axim R A ducIam , cum qua contingens N M angulum recta constituit, ex 3 o. huiusὼ ergo angulas E M N respiciens verticem A es obtusus, ct angulus E F N es rectus, cum F o sit breuissima, igitur duo quadrata E F, F N maiora sunt duobus quadratis E M, M N ut sumptis,
Cr ablatum quadratum M N ex minori summa maius es ablato quadrato N F, cum contingens N F et enici A maioris axis propinquior sit; ergo quadratum , 7o. huius. E F maius ex quadrato E M, ideoque ramus E F maior erit quolibet ramo Ex inter F , ct B posito. Non secus sendetur E M maior quam E F ; quam oramus E F maximus erit omniam cadentium ad peripheriam F B. Eodem modo ramus breuisecans E G maximus erit omniam O ntium ad peripheriam GR ; er propterea ramus E F maximus erit omnium ad peripheriam F B G cadentium ; mapropter ramus breuisecans E F qualis erit uni tantummodo EG aeque ab axi remoto, ct maximus omnium ramorum ex concursu E ad semi-Hupsim ABC cadentium, quod erat ostendendum. Sicuti in prioribus propositionibus factum es, reperientur, quot nam rami in ter se aequales a puncto concursus ad consectionem duci possunt, qua occasione asseram propositiones aliquas non iniucundas , quarum prima erit.
Si ad coluseetionem Z A a concursu D etmicus tantum breuisecans D
a duci possit, io ducatur quaelibet F C parallela perpendiculari D Einter productionem ιreuissimae, o axim intercepta quem secet in F ,π-