장음표시 사용
91쪽
- e M aequale es rectangulo V e M. aberius Agura, cte. Et ponamus re
demonstrationem, ut ostendatur veritas reliquaru propolitionum, &c. Demon ratio ab A Ponto breuitatis
gulum E M aquale es rectangulo V eM, igitur ut E K ad Ve, seu KΥ ad Te
propter similitudinem ιriantuί - EVT , ct Ver 3 ita erit e M ad MV, ct componendo, eadem e K habebit ad er, atque ad MK eandem proportionemrdeoque e T aequalis es MK ; quare EI ad K M , seu IC ad CS eandem V portionem habebit, quam EI ad eT , seu quam IX ad e V propter iturinem triangulorum I EX,'est e T V quare comparando homologorum disserentia in b perbola, o eorundem summas in ellipsi C Y adc V, -ICZ ad Zc propter similitudinem triangulorum CZ X ,c Z V2 habebit eandem proportionem, quam IC adCS, vel CD ad D F, ct diuidendo in seperbola , ct componendo in elli C cadcZ eandem stroportionem habebit, quam CF ad F D, ea quam habet latus transuersum ad rectum, or propterea recta linea V Z es breuissima omnium , qua ex V ad senis A D duci possunt. Iisdem prorsus verbis Graisum eris, quod recta linea I m sit breuissima omnium cadentium ex puncto I ad axim,s nimirum anonatur caracteres prioris cases, ut patet in secunda, ct quarta figura. Iisdem possis ostendendum est, ramum B E , interceptum inter duos breuise cantes EV, non esse breuisecantem, atque lineam breuissimam ex si adaxim AD extensam cadere supra ramum B E versus verticem A. Guoniam rectangulum BG M maius es rectangulo OG M, atque ostensi uitrectangulum E M aquale rectangulo OG M ; ergo rectangulum BG M maius est recta gulo EM, o propterea E K ad BG, ρυ KR ad RG propter militudinem tr/angulorum2 minorem proportionem hara, quam GA ad M K , ct cρmponendo
92쪽
ponendo earim Κ Gad G R minore proportionem habebis , qua ad K M, er' pterea G R maior ris,quam K M, inde
militudinem triam gulorum EIT, RG BP minorem propor tunem habet, furum
EI ad K M ,seu IC ad C Sior ideo com parando homologora summas in es , o eorundem disserem
guloru= habebit m nore proportionem , quam I C ad C S , vel CD ad DF, diuidendo in φ sebola, or componendo in emi co ad DH habebit minorem proportionem, qua C F ad F D, siue Pisis litus transuersam habet ad rectum: ergo breuissima ex B AEae axim duc a eum serat supra punctum H, ct ab sicindit tineam mmorentiis, quam A H. Rursus j em posseis, ostendendum est, ramum E p cadentem supra ramum E V versis verticem, vel infra insimum breuisecantem E V non se breuisecam rem, CV abscindere ex axi minorem tineam, quam abstindit breuissima expuncto p ad ax/m ducta. Ducatur ex p recta tinea p x perpendicularis ad axim, eum secans in x, O- ferans S M in r, o hyperbolen V o in t . yariterque ramus E p secet S M in η, or A F in q , atque I C in s. α oniam h perbole V O s cat confectionem A R in V , ct p ponitur supra V ad partes A i ergo i carit extra sectionem A R, is propterea i r maior erit, quam P r; unde rectangulum P r M minus erit rectaneuia i r Missed propter ad totos S M, M F es recta gulum i r M aequale rectangulo o G M, seu rectangulo EM , O dictum est; ergo rectangulum p r M misus est rectangula E V M, or propterea EX ad p r , seu K Z ad Z r propter similitudinem triangulorum 2 maiorem oportionem habet, qu mr M ad af Κ, ct componendo, eadἴ κ r ad r Z maiore proportior habet, ad M K; ergo rχ minor est, quam M K; ideoque E I is r Σ , seu I s adr p 'opter simititudinem triangulorum EIs, Gr rpE maiorem proportionem habet, quam EI ad M Κ, seu IC ad C S, vel ad r x s ergo comparando hom
Drarum summas in es , Or eorunaem disseremias in perbola C s ad x p, e
93쪽
e C q ad cet x propter simititurinem triangulorum I maiorem proportionem habebit, quam IC ad C S, vel C D ad D F, ct Huidendo m perbola, ct componendo in elli 'o CX ad x' maiorem proportionem habebit, quam CF ad FD, siue quam latus transiuersum ad rectum, quapropter breuthuma ex p adam ducta secat maiorem lineam , quam A q . IEZe omnia osendenda fueravi.
ITaque ostensum est , uti memorauimus , quod ex concursu duarum. a. breuissimarum ad illam sectionem non egrediatur alia breuisecans priter illas duas, & quod reliqui rami ex eorum concursu educti ad secti nem habent proprietates superius expositas. Sensum germanum huius consectar', in quo duae propositums Apolloni' comtinentur , non es facile diuinare in tanta sollon' brevitate, or textus Arabici insigni corruptione ; videtur enim recensere , ct recolligere conclusionem quamdam praecedentium propositionum: at hoc fieri nullo modo debebat in duabus propositionibus ct 43. Rarsus f theoremata sunt, demonstra ι non poterant ante propositiones 3 3. 32. 33; seduersan numeri Arabici non es 43; sed F . es F . esse ribent, quod mirum non est, cum numeri passim in hoc codice Arabico deformatι reperiantur. Itaque in hac ambiguitate suspicor , t tum sic restitui
nullus assus ramus ductus erit breuisecans r Et ramorum ab eodem concursu extensorum , qui inter breuisecanter intercipiuntur, abscindunt axis segmenta maiora, s qui non intercipiuntur minorAE , quam abscindant lineae brevissimae ab eorum terminis ad axim ducia : oportet autem in ellipsi, mi duo rami ,-perpendicularii cadant inter Vis maioris mer
94쪽
E; G sumantur quaelibet duo puncta B, OC, quae in tali, sint in eodem eius quadrante, ct ducantur B F, C H perpendiculares ad axim, r in parum
E F ad F G, nee non E H ad II I, ut latus transversem ad Guum, corium ganturp, recta B G, ct C I. Manifestum es BG, ct C I esse limas brisi mas, , quae si producantur et .a axim ex 28. proposione Mius libra conu mentalicubi, ut ita T. Dico, quod ex concurseu Κ nullas alius ramus breuiterans Aci mis adsectionem A B C. Extendatur ex A super axim AD perpendi cular/s K D, ct reperiatur sectionis Trutina L competens mensurae A D V is concursus K, ut in propositionibus si . ct sa. praecipisur 'Et cerib perpendicularis K D non ieris maior , quam L , alias 'ducs non possit ra uset stus breui secans ex concursu K adscrionem ABC, quod es falsum : facta enim fueror K B, ct K C breuisecantes inmititer L D non exit aequalis Trininae L , , angaeoquIdem tunc umea tantummodo breuisecans ex L ad sectionem AB c Aris et, quod rumuissumes, posita enim fuerunt duae breuisecantes: igitur per pendicularis A D necessario minor erit Trutina L , se ideo ex concursis A riae O. 11. tantummodo breuisecantes ad sectionem A RC duci possunt, quae t PK, CR; er propterea nultas alius ramus breui secans ex concarseu V ad D ris ABC duci potes praeter aeuos Κ Γ, se Κ C; quod erat priano loco ostendendum. Secundo νβdem positis, dico, quia rami duest Inter V L, ct KC eadunt in lineas breuissimas ab eoram termin s ad axim ductas , di quod να- productr ex K supra breuisicantem fi R versus A verticem se Tionis, via insta ramum uer sisecantem XC absindunt axis segmenta ex veniere minora, quam ab indant
linea breuises .e ab eorum termin/s ad axim ductae. Repinatur denuo Trair L, ostendetur, ut prius perpendicularis MD minor, quam L, ct aetantummὼ-δε breui antes A B , ct A C; quare quilibet ramus ex K a sectionis punctum, inter R, Crisitum extensus, secat figmentum axis ex vertice a maius quam ab- hi tu . findas linea treuisuma ab eius termino ad axim ductar pariterque quitibur mas ex K ad punctum sectionis pra B, possum et es insta'rriti m X C exrenissus, absi indet se mentum axis ex A misus , quim secet lineae breuissima ab eius termino ad axim ducZa; quod erat sendendum.
REperitur quidem in ramis aggregati secantis bifariam inclinatum , super quod non cadit perpendicularis, breuisecans una tantum, quomodocumque se habeant perpendicularis , & mensura, &c. Sensam huius propositiems nec A Pontus quidems reuiuisceret insigni barabaris corruptum perciperet, censeo ta--, sic resilui debere. In elli x ramorum maritum Grumque axim a concurseu ultra tentrum ρο- sito e redientium, unius tantum portio inur cvim maiorem, re sectionem Inrem cepta erit tinea breuiuesima , siue mensura imm comparatam , nee non perpend/cHaru i am Trutinam superet, aequor, vel ab ea deficiat.
95쪽
axis maior A B, cen Irum D, cor perpendiacularis E F secans Mxim in F inter rem ira ellipsis D, cr verticem A.
Et ducamus per punctum E sectione
hyperbolicam E MC circa duas eius continentes,&c. Idest circa duas asymptotos I L, I H per i 3 E. 68 Me EMC, qua secet axim A B quid amem riteri as -- puton in assiquo puncto ut in Mi Mendetur punctam M super esse u centrum
Ergo E H prima in proportione in IIJ subsequentem, nempe G F subsequens ipsam M G quartam, aequale est subsequenti D G secundae in
I G nelnpe F is tertiam. Ergo punctum N, &c. Textus corruptus e resilai 's censea; Ergo E H prima proportunatium in III, nempe G F quartam aequale est D G secundae in I G, nempe F H iertiam, M. Propterea quod E H ad y H, atque D G ad G F posita fuerunt , τι latus transuersum ad rectum; ergo re ct angulum sus D G, se H F, sia I G, extremis quatuor proportionatium, aqua te est rectangulo sib interm os E H , ct FG ,seu H I , esque punctum E in ob perbola E M C cuius a muti LI, LIi ergo panctum D in eadem Mperbola existim, sed erat prius in elli s diametro A B , sicilicet in centro; quare in eorum communis Iune exi et i eras aurem punctum M communis sectio' perbole ... EC, o Vis ci sis A B; igitur hunc a M, ct D cainc unt, O hverbiae TDC ' transis per censia simonis eltiplicae AC B, ct ideo h perbole ED C. quae in insinita extendi, o dilatari potest necessaria secabit finitam elislsim alicubi , mi in C. Et producamus per EC lineam , &c. Et producamus per EC rectam lis eneam, qua occurrat continentibus in L, K , o secet axim elli s in P. Erit GF aequalis ON, quare FO , &c. mia duae recta linea AO , LV Psecantur a paratulis IL , F E , CN , K o proportionati ter , ct sunt K C , L E η aequales, ergo O N , FG inter se quales erunt , or addita communiter N F σιι F O aequalis N G ; Et quoniam E H ad H F est ut E Y ad K P propter parallelas U LO A nempe is F D, seu et 'ualis G N ad O P propter paraAlelas E F, ο Κ sed eandem proportione habes D G ad G F, quam E H adH F; ergo G N ad O P eandem proportionem habes quam D G ad G F. ct comp.r-Lena. I. rando homologorum disserenitas D N ad N P erit ut D G ad G F, seu ut latuiro. iiiiiiis. ira uersum ad rectu ; o ideo C P es brevissima. Ira m siquem propositione 37; or in a*s adhibetur propositio non adhuc demanserata; nimirum posita C P isnea breuissima, pariterque t D semisi axis
recti minaris etiam breuissima ex ii. huius quis occurrant vltra axIm ια M Haeacumis ea omnia, quae in propositionibus si . o. a. ex spothesi omn/
96쪽
- aures eliciebantur; nam in dictis propositim sua perpendicataris ex nou se ad axim ducλι esciebas in empse mensuram iuxta desin timem i s. Aures Iurist minorem merietate axis transuersi, rdes perpendicularιs ex'concursu ra- Hebri inire centrum sectionis, o Voximiorem verticem: hic vero perpenae. G laris ex concursu M per centrum D eugsis transer. 1 Animaduertendum est hoc theorema demonstratum fit e M A Junio pro s3s. Mius itari, quod tamen paraphrases nescio an rure in fine huius voluminis fransposuit; Sed quia preici a propositio 33. omnino his es necessaria, sependet ex alys praecedentibus , δελιι potius aliam independentem demon ationem afferre quam ordinem propositionum fatis alteratum denuo perturbare.
LEMMA VIGIN A si ABC linea Leuissima E G, s semiaxis minor rectus B
D conueniant in E, erunt E F, E R duae breuisecistites, ducatur quilibet ramus E H inter eos: Dico E H non esse breui etaintem, orcadere instra lineam breui Vsimam ductam ex pune, H ad axim.
Ducantur ex F , o H rectae F Κ H L per Miculares M axim rectum BD eum secantes in K, est L, pariterque ducantur FM, MN perpendiculares adaxim transiuersum A D eum set anus in M,N . Et quia FG streuissima, ergo D M ad M G eandem proportunem haei, quam laius transuersum C A ad eius II huiu latus rectum; sed propter paratulas D E, M F, es D M ad M G, τι E F - FG ,su E X ad V D propter parat las G D, F R quare EX Mx D eandem prFortionem habet, quam lutus transuersum ad rectum , ct Huidendo ED ad D V eandem proportionem habebit, quum disserentia lateris tranaes, o rectι ad latus rectum, est vero D L maior, quam D r cum H L parallita ipsi F Xearit inter punctum R, OB y igitur E D ad maiorem DL minorem proportionem habet, quam ad D K, o propterea componendo E L ad L D minorem ' portionem habebis, quam latus transuersum ad rectum ι es vero Z.H ad HI,
97쪽
Seeundo ducatur ramus E O secans maiorem axim in P inter verticem A, obreuissecantem EF i Dico EO non esse breuisecantem, o breuissimam expunctoo ad axim AD ductam eadere infra ramum OPE ; Ducantur Ost, O R per pendiculares ad axes,secantes eos in Q. R. Manifestum est ad D minorem e se, quam A D, ct propterea ED ad D a maiorem proportionem habebit, quam ad DA , or componendo E E ad des maiorem proportionem ha bis , quam E Mad A D r osens autem Git E R ad V D , it latus tra uersum C A ad eius latus rectum a stitar E a DP a D maiorem proportionem habuit , quam lates transuersium ad rectum: sedc propter parallelas PD, Orata et i Ea ad ae Dira es Eo ad DP, se propter parallelas ED, RO, ut EO ad O P , ita es DR ad RP ; ergo DR ad RP es, τι E ad I D , o propterea D R ad R P ma- rorem proponionem habebit, quam latus tranuersum C A ad eos latus rectum; , i, ν tur Eo πω γιt breuisecans , ct breui ma ex puncti O ad axim ducta cadit huius. μ ramum E O versus D, quod erat ostendendum.
m E L ad L D propter paralistas ID, HL pariterque D N ad NI est, FH ad HI Orepter parallelas ED, NH J quare D N ad N I erit ut E L ad LD, ct propterea D N ad NI minorem proportionem habebit, quam latus transuerro. hula, sum C A ad ems latus rectam , ct ideo linea breuissima ex puncto H ad ax AD ducta cadet supra ramum HI E versus verticem A, atq; EN non erisse uisecans, quod erat primo loco os aedendum.
ET dico, quod non reperiatur ullus alius ramus, Sc. Ides sis rursus linea frenissima C M , quae producta concurrat cum perpendiculari EF in E , quae secet axim in F
ultra centrum D ad partes verticis A. Dico, quod 'aeter ramum
98쪽
anum EC nultas alias ramus breuisecans ex concursu E adsectioncm ducimus, aui cadas in eodem quadrante B L, quem breuisecans intersecat. Nam si producantur E H , E G ,&c. Ducantur quiluet r. mi EH , EG ad utra ae partes breuisecantιs EC intra quadrantem B L , qui secent DB in A , T I, se producatur per centru- D recta M D L perpendicularis ad axim B AEqua secet sectionem mL, ct ramum EC m M. Et quia iam productae sunt ex concursu M du.ae breuisecantes , &c. a uia GM breuissima ex senthesi occurrit semiaxi minora recto LD breusM-ma pariter sex ii. huius in M, sequitur non quidem ex I r. I a. huius, sed eae lemmate 8. praemisso P quod linea recta ex M ad H coniuncta cadat infra breuissimam ex pancta H ad axim B A ductam, est coniuncta recta MG cair supra breuissimam ex puncto G ad axim ductam. Sed E H, & E G efficiunt abscissas opposito modo,&c. Guia ab eodem puncto H sectionis ducantur tres recta linea H E, H M , o breuissima ex H adaxim B A ducta, quarum sntermedia est H M , eo quod breuissima ex H adaxim AB cad ι supra H M ad partes B, τι dictum est , ct HE cadit Lees s. insta H M ad paries A; ergo H E cadit infra breaissimam exH ad As ductam, o propterea EH non eris breuisecans: Similitis breuissima ex G ad Ass extensa cadit in G M ad partes A, ut dictum est,ar EG cadit ibidem. supra G M ad partes B ; ergo E G cadi φώ a breu/ssimam ex G ad axim AR ductam, quare EG non . . . - es breuisecam. 22ὶ
99쪽
Continens Propos LVIII. LIX. LX. LXI. LXII. &LXIII.
ΙAm ex puncto dato C extra, vel intra sectionem A B quod a in axi I A non sit ) possumus rectam lineam ducere , cui portio intercepta inter sectionem, & axim sit linea breuissima.
Sit sectio parabole, & producamus perpendicularem CE super I E A , & ponamus E F aequalem dimidio erecti, & ducamus G F parallelam ipsi C E, & per C ducamus hyperbolen bH C B circa duas continentes illam G F, I F , quae occurat s ctioni A B in B, & per B , C producatur linea occurrens con tinenti I A in I, & continenti G F in G: Dico , quod B I est linea breuissima.
Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I aequalis est B G sexta cex secundo erit E I aequalis Κ F, &E F, Κ I erunt aequales, atquesuinposita . est E F aequalis dimidio erecti; ergo Κ Ι ita est pariter ; Quare B I est breuissima, octaua ex quinto & hoc erat probandum .
PROPOSITIO LIX. LXII. & LXIII.
DEinde sit sectio hyperbole , aut ellipsis, cuius centrum D,&lineis, a atque signis in codem statu manentibus, ponamus D F ad F E,&seniliter
100쪽
similiter C L ad L E , ut proportio figurae , & producamus per L i sim O M parallelam A I F, & per F ipsam G M parallelam C E, α ia- .ciamus sectionem H C B hyperbolen transeuntem per punctum C circa continentes G M. O M, quae occurret sectioni A B in ellipsi quidem ut . demonstrauimus) in hyberbola vero eo quod O M parallela avi D A m-clinato subtendit, si producatur, angulum subsequentem continentiae an Rulum secabit AB , & corda , si producatur , occurret sectioni; EGO UM ingreditur sectionem A B . & ampliatur sectio A B per extensione Ionete a duabus lineis O M , M G,§io B C prope illas ducitur decimolexia, ex secundo igitur duae sectiones A B, C B sibi occurrunt, ut in B,& ducamus per B, C lineam occurrentem D F A in s P in D;
Et quia B O aequalis est ipsi C G octaua ex secundo J erit O N aequalis ipsi M L, & o L ipsi N Mi ergo O L. nempe N M, seu Κ F ad EI est, ut C L ad C E, nempe D F ad D E, ergo Κ F ad E I est , ut D Fad E D comparando homologorum summas in hyperbola, & eorundem tam 3 differentias in ellipsi, & iterum comparando antecedentes ad differen- tias terminorum
fiet D K ad KI, ut D F ad FE , quae est in proportio figurae; igitur BI est linea breuissima