장음표시 사용
141쪽
nriaturaiae Trutιna x minorir, et maioris mensurae F Z: dico perpendicularem C F mincirem esse Trutina L.
Secemur Wιmo in parabola ascissa B H, ct B N aequales trienti excessus ma- qualium mensurarum supra semierectum mi praeripitur impropositione 3 i. ha- ius) manifestum es, abscissa- B N minorem es 4 R H, quando B F minores, ouam B E, 9-qι κῶ R Ffuerat ipsam B E ea quod eorum ιπι- ae,ma cum femi erecto, ides mensura B F minor fuerat in primo casu , Omaior in secundo, quam mensura B E. In hyperboia vero , or es se fas 'oportis recta H L ad semiaxim transuer- ις ' sum L B sub riplicata eius. quam ιnuersae L E segmentum L G homologum la-hμj- ' uri transuerso habet ad semiaxim transuersum sex prascripto 'FUis. P. 33. huias piri terque fiat proportio N L ad L R subtriplicata eius quam inuerse minoris L F in primo casu, ct maioris insccuni , segmentum homologum titeri transuerso habet ad L B.
uoniam in primo casu maius siegmentum G L ad eandem L B labra misi rem proportionem, quam minus segmentum ex L F Hspectum i lior earum subtriplicatae proportiones inaequales erunt, videlicet AI L ad L B maiorem proportionem habebit, quam N L ad ipsam L B , o propterea H L maior erit, quam N L , o ablata communi L B, erit H B abscius maioris mensurae maior , quam N B absic a mensura minoris. Similiter osendetur in secundo casu , quod absisse N B maioris mensurae maior es , quam B H. Ostenderi, modo et, perpendicularem C F in utroque caseu minorem esse trutina L; Si I . , - enim hoc merum non est, si fieri pstes,sit C F maior trutina L; igitur ex comt, eursu C ad sectionem E A nositis ramus breuisecans duci potes, quod est contra 'pothesim: erat enim A I breuissima; quare C F non erit maior I una L .
Sit secundo C F aequalis X , si sieri potest , ergo ramus principalis C O ductus
legibus proposit. st. 32. huius cui competit trutina x erit breuisecans sim gularis eorum, qui adsectionem duci possunt, nec ullus abus, praeter C O, ιν uisecans erit e cadit vero ramus C A infra , vel supra ramum C O , propterea
quod absit a B H, o B N inaequales se ae sunt; igitur ramus C A diuersus a breuiserante singularι C O non erit breuisecans , quod es contra spoihe O ;
142쪽
dempsitis, si productione breus .. A I sumatur quo Met in .s.
erunt duo ramι C A, ct C P breui cantes , quorum insimus es C A. Sι vero puncZum C sumatur ultra punctum D , tunc quidem mensura B F maior res,
vcrsus B erit C A, γιd .ra ia Ais. 'g' ' Sit confectio , mel ellipsis portio quadrantis B AG , cuiustaris S PROP.9. E , perpendicularis E D , euiusque Trutina L fit minis perpendiculari 6, μ' 5 D, interva o cuiusbiae rami secantis D A circulus ZA I deserabatur , di expuncto A ducatur recta A x contingens secti P
143쪽
Iuoniam perpendicularis D E ponitur maior trutina L; ergo quidibet ramus D A cadit supra breuissimam ex puncto A ad axim B Eductam e Gycit et ero breuissima cum tangente A X angulum rectum: ergo angulus D A x es acutas i ct propterea recta A X cadit intra crocutam 'A Z : sed A X cs it extra conisectionem B A , quam contingir ; ergo cirex erentia Z A cadit extra sed fionem B A , σ extra tangentem A x . postea ducatar quilibet ramus I G infra ramum D A secans circumferentia
Is lem positis , sit perpendicularis D E aeqκalis Trunnu L, ct sit DA Eularis ille ira, Obre secans, Di ex concursu D ad si 'T G duci potest ; per Datiui que coii buctio, mi antea sectum est; Dico, circulum A AI se re cimi sectionem in A , se contingere recram A X.
Ducatur quilibet ramus D F supra breuisecantem n A, secans circuli periph iam in nct quilibet alitis ramus D G infra D A secanseanrim periphenam in T . Et quia ex concursu D ad sectionem B G et nicus tantum bremscians D A duci potes ; igitur ramus D Fpropinquier vertιci S minor es remotiore DA , ct D A propinquior vertici R minor es remotiore D G r funtque rectae D Z , D Υ .e. quales eidem D A cam sint ra ' eiusdem circuli γ ergo D Z maior est , quam D F, ct D r minor, quam DG; ct propterea quodlibet punctum Z circuli supra A sumptum cadit extra conisectionem B. F A , ct quodlibet insimum punictum T eiusEem circuli cadit intra eandem coxi sectionem A G; eruapropter circumferentia circulsi X A T secat conisectionem B AG in A. postea nisa recta A x contingens siectionem in A perpendicularis est ad breuis cariem D A, rem I A sit brevisima; igitur recta linea X A, . quae perpendicularas est ad radium D A , continget circulum ZAT. apropter circulas AA I secant confectionem B AG in A, o tangit eandem rectam lineam A M. nuam contingit sectio conica B AG, O m eodem tuncto A, quod erat osendenda.
144쪽
HIne constat, supremam circuli peripheriam A A cadere in locum a tania gente X A, or confectionem B A contentum, in sinam vero circinerem nam A T cadere ne dum infra tangentem, sed etiam infra conisectionem A G; eo od recta A X cait extra circuli peripheriam A Z , quam contingit in A, Gr eadem circumferentia A Z cadis extra sectionem A B, quam secat in A, ut dictum est. Mirabile quidem hoc videri poterit alluibus, qui contingentiae angulos, quos vocant, vere angulos esse censent; nam hic dua circumferentiae curua , conrea nimirum B A G , o circularis A AT se mutuo streant in A, ct tamen amforanguntur ab eade recta linea A X in eodem puncto A, in quo illae se mutuo secant. Vnde colligent etiam, quod an b contingentiae facti a confectione B A G , o recta tinea X A non sunt aequales inter se , quando punctum A in vertice axis non e sit; nam duo anguis contingentiae circumferentiae circularis , or recta tangentis X A aequales sunt inter se: at angulus contingentiae sectionis conicae si premus respiciens verticem B maior es angulo contingentiae circularis, ut dictu es r insimus vero angulus contingentiae a sectione conica , se eadm tangente contentus mInor es eodem angulo contingentiae circularis, or propterea suprem an ius contingentiae sectionis conicae maior erit inferiori.
Sit perpendicularis D Eminor trutina L , simque DA , b T D C duo illi rami ,
qui tantummodo brevisecantes es possunt om num ramorum ex concursu D ad sichonem T C cadentium ; atque cen tro D, interuallo DA descriabatur circulus Z.AT; pariterque centro D, interuallo DC desieribatur circulus O Ca; ducanturque reciae X P , Ad P contingentes confestionem
Z Ar contingere confecti nem in A , extra ipsam cadere, at circulum O C et contingere eandem conisechonem in C ,6st intra ipsam cadere.
145쪽
cantem D C, secantes circulum O C rn O, ct dummodo D G non ducatur infra D Cin primo casu , nec supra D Ain secundo. αuoniam ramus DA supremus duorum breuisecautium maximus es omnium ramorum cadentium ad periphseriam RAC; igitur D A maior erit, quam D F, Cr quam D G; Funt vero D Z , ct D T aequa
os eid/m D A cum sint rad, eiusdem circuli 2 ergo D A maior es, quam D F; pariterque D r m ior es quam D G : ct
propterea duo quaelibet punctα X, r eiusdem circuli A AT O-dunt extra conisectionem B AG; ct ideo circulus Z A I tantummodo in punm A coni ΠΟ-nem extri sicas tangit. Postea quia ram.s D C insimus breuisecautium es minimus omesum ram rum cadentium ex D ad peripheriam A C N, ergo ramus D C minor es, qua D G, Gr quam D N: sunt vero D O, D aequales eidem DC cum ni radjeiusdem circuli 2 igitur D O minor es, quam D se pariterque D ad minor est, quam D N : quare quaelibet duo puncta O , α circuli O C a hinc inde a puncto C cadunt ιntra comsectionem B C N , or ideo circulus D C d Imrinsecus contingit confectionem in C, quod erat ostendendum .
Si ad conisectionem mel ad poeti drantis ellipsis
ex concursim D possit, nisi et vicus tantum breuisecans D A , atque centro D, inter LA D A circulus Z Adscribatur ; Dico , omnium circulorum tangentium eandem rectam li
cuoque con lectio micu is esse
146쪽
Conicor. Lb. V. Io Tmlum Z Ar, qui confestionem in puncto A secat.
Samarar enim quod bra punctum G in productione breuissimae A I supra , mel infra punctam D : mani sum es ex 8. praecedentium proposit. a puncto G daci posse duos breuisecantes ra-os , quorum A G erit insimus, sipunctum G cadit supra ρώ-Ium D, ct tunc cιrculas radio G A descriptus continget consis 1 .cIionem intrinsecus in Arsi vero punctam g eadas infra punctum D, tone pri 6 di Hur eae g duo broscantes duci ρυμπι ad sectionem , quorum siupremus eris Λί .ing A; se propterea circulus radio g A descripsus continere confectionem B AC Ii . extrinsecus m A ; quapro cr circulus radio D A descriptus quem uisitetis si eadem recta linea X A quae tangebat sectionem in A unicus eris, qui sectionem AC secet in A, quod erat ostendendum.
Circulorum omnium intrinsecus laetentium confectionem non in axis PROP. Vertice, assignari non potest maximus: tangentium ino intrinsecus soctionem in termino axis maximus erit, cuius radius aequalis est semi
reeis. Repetatur figura, G hypothesis praecedetis propositionis. a Misa qui libra circulus radio G Aminori, quum D A G scrinus semper intrin-scus tangit confectionem in A ut in praec deri propositione dictames ubicumque peraatur centrum G supra ncta.
D ; neque augendo radium G A eocietur alius Contactas circuli, o δε-ctionis , quὰm inrem
culus desinit intrinsecus tangere sectionem in A, quando D A eocitur
radius , sit cra quando non amplius intrinsecui μυ-m rangit, sed eam secat in A ; quapropter a
Darι non potest maA mus circulorum rangentium intrinsecus sectionem in A. Guod vero circulorum intrinsecus tangentium eandem sectionem in vertice axis B, ι e, cu us rassius BK aquatis es semierecto R H sis maximus, sensim sa Mauro ico propos I. 8.cti libri s. Conicorum. Pater ergo propessum.
Iisdem positis : dico circulorum omnium extrinsecus tangentium con sectiomm minimum assignas non passe.
147쪽
ntam circulus radio g Adescriptas contingit ex trinsecus consectιonem in a , nec unquam cessabit praeictus cotactus extran siccus, licci magis, ac magis in in uisun
pinquior fiat, o tunc de. mum cessat μι modi
extrinsecus contactas , quando desicrabitur cir- enlut rato D A , Diquidem hectionem secat
in A, ut dicta es; qua propter minimus omnisi extrinsecus semone tantentium in A Uignari nequit. Quodvero extrinsecus tangentium eandem sectionem in vertice axis B non possit assignari minimus , patet ; nam omnes Ma i ol. circuli , quorum radi, maiores fui semierecto fertiems , eam extrinsecus tam 7. & te, gunt; se tunc demum eiusmodi contactus extrinsectis cessat, quando radius ei culi aequalis e citur semierecto r at tunc intrinsecus scrienem tangit; qπvr iter reperira non florest minimus circulorum Gni ectionem extrinsecus tangentia um: quod eras osten Mum. Ex dictis colligitur, quod ex concursa ad qua libet consectionem possunt δε- ri tres, vel quatuor ramiscantes inter se aequales: in es etsi vero, se in reliquis
sectionibus si rami secantes non fuerant, duci flores et nus , vel duo rami inter se aequales. Nam circulus radio alicuius breuisecantis descriptΠs tangit, vel siccat coxi sectionem , ct siquidem eam extrinsecus tangit, necessario eandem bis scat, si fuerit parabole , aut hyperbole, quae insinite augetur, o dilatatur; cst 'veterea GH, circuli ad occurseus, o contactam ducti aequales sunt interse : se ideo tres
rami tantum erunt aequales: si vero descrabatur circulus, cuius centrum es com cursus , radius vero minor est maximo , ct maior minimo duoram breuisee trum a tum quidem necessario circulus quatuor in punctis sectioni conicae occumret : ct propterea Daltior rad, ad Morsus ducti erunt inter se aequales. At iis is si concursius fas circuli centrum , ratus vero breuisecans max mus trium, Ps in ea ducιρ unt, Grculus priamia radio destri us continget quidem externu es sim, neque Liner' et quam er eccurret: ct propterea ramus ille maximus erit unicus, cum nullus alims et aequalis ducι possit in eadem esii : si vero a concursu in pro tactione axis et sis posito describatur circulus, cuius radius minor sit maximo ramo , sed malam troque termiuato ; tunc quiflaeem circulus duobus in Deis et oecurret; ct opterea duo tantum rami inter se aequales erum, para myri, quando .i concursu tres breuisecantes ad emes
148쪽
educuntur, tum quidem circulus, cultis centrum es concursus, radias vero minor maximo breuisic.tntium, o -duobus retiquis nec O. elli is duobus in locis secabis; or ideo duo tantummodo rami inter se aequales erant.
Continens Propos XXXXI. XXXXII. XXXXIlI. Apolloni j.
a TN hyperhola angulus contentus a linea breuissima ,& a men-α sura minor est angulo compraehenso ii linea distante cum c
tinente. b Sit hyberbole A B, eius axis DC, linea breuissima B C, duo continentes D E, D F, & distantia sit A E, & dimidium erecti A G: Dico, angulum B C D minorem esse angulo DEA. Educamus itaque perdendicularem B H.&iungamus B D , quae secet A E in I . Quia D A ad A G est, ut D H ad Id Cc i . ex s.ὰ & I A ad A D est, ut s. huius. B H ad H D; ergo ex aequalitat I A ad A G, eandem proportione habebit, quam B H ad H C , &propterea E A ad A G, nempe DA ad distantiam A E maiore proportionem habebit, quam B H ad H C igitur angulus B C H minor est, quam DEA, quod erat ostendendum.
a TN parabola lineae breuissina e productae occurrunt sectioni ex I utraque parte
Qu'niam breuissima est linea recta secans diametrum paraboles intra sectionem ; & propterea sectioni Occurret ex utraque parte 28. ex pri) . 7ii x & hoc erat ostendendum.
149쪽
SI inclinatus axis hyperboles erectum non excedit , nulla linearum breuissimarum sectioni ex altera parte occurret: si vero maior illo fuerit, tunc breuissimarum linearum aliquae occurrunt sectioni, aliquae verb non occurrunt. Sit prius D A non maior, quam A G:& quia I A ad AG eandἴ proportionem habet, quam quadratum D A ad quadratum A E , erit D A non maior quam A E: & propterea angulus D EA non crit maior angulo E D A: sed maior fuerat angulo si C H i. ex s. J ergo angulus EDA, nempe A D F maior est, quam B C D ,& propterea B C, D Fnon conueniunt ad partes C, Fi igitur B C non occurrit sectioni ad partes Κ, A; co quod si illam secaret, etiam ipsi D F occurreret 8. ex 2. quare non occurrit sectioni in duobus punctis. Deinde sit D A maior, quam AG habebit E A ad A G maiorem Proportione, quam ad A D; & ponatur I A ad A G , ut E A ad AD; ergo I A minor est, quam EA, quare recta D B , illam diuidens, occurret sectioni, & cadat in B, ducaturque linea breuissima B C , &B H perpendicularis ad D C ; erit I A ad A D, ut B H ad H D; estque D A ad A G, ut D H ad H QI4- husii ergo I A ad A G, nempe E A ad A D est, ut B H ad Id C , & propterea duo triangula E A D, B HC sunt similia . i itur angulus B CH aequalis est E D A, nempe PD A: quare B C, D F sunt parallelae,
ε; .lit r. nec pol Iunt se se mutuo secare ; ergo B C non occurret sectioni K A. Lineae vero breuissimae, quae in periphcria A B cadunt, continent cum Cohue,c C A angulos minores angulo B C D 26. 27. ex F. unde non occurrent X. lib. i. ipsi D F, & propterea neque sectioni occurrent. At ille, qui cadit extra hanc sectionis peripheriam ; si producatur continet cum C D angulum maiorem angulo B C D 26. 27. cx 3. igitur productus occurrit D F.& occurrit sectioni A K: quod erat ostendendum.
Ngulus contentus a breuissima linea, & mensura minor est angulo contento a distante cum continente in sectione , &c. Ad cis particulansi
150쪽
ii iam in hyperbole , quae in textu de eratur. Vocat interpres Andicus i neum aestantem usum A E , quae contingit hverbolem in vertice axis A, oinrerponitur inter serticem A, ct continentem, heu aymptoton D E. b Sit sectio , D C diameter illius , &c. Legendum puto Sit hyersole A Reius axis D C. Popea quia D Λ, ad A G, seu latus transversem ad recctum est, TY. ut D II ad H C, atque I A ad A D es, ut B H ad H D propter similitudi- huiu nem triangulorum I A D , ct B H DP ergo ex aequatitate ordinata I A ad AG es it B N ad II C: deinde quia linea A E media proportionalis es inter se mraxim transversim D A , O semierectum A G , cam quadrarum iasius A E quadrara sit gurae quae ad diametrum per A dueIum constituitur ; igitur E A ad A G erit, ut D Aed A E, est vero E A maior, quam I A; lutir I A ad A ' G minorem proportionem habet , quam E A ad A G , seu quam D A ad A E rerat antem E H ad H C, ut I A ad A Ge igitur B H ad II C minorem pro senonem habet, quam D A ad A E : Fat postea L A ad A E , ut B H ad H Ccirca angulos rectos A, H , coniuriaturq; L E , manifestum est , L A minor en esse D A, ct angulum A E L minorem esse angulo A E D: sed propter simit Iudinem tria uiarum B H C, L A E es angulus C aequatis angulo A E L; opro rea angulus A E D maior est angulo B G H .
Via est linea recta secans diametrum paraboles: &e. Addo Egam pamticulam breuissimam, quae in textu desiderari videtur.
a π Nesinatum si non excedit erectum, nulla linearum, &c. Addo, quae euia 2 denter deficiunt intextu, legi enim debet : Axis inclinatus ides transuem sus se non excedit erectam , o .l, Et quia I A ad A G est ut quadratum D A ad quadratum A E, &e.
Eo quod quadratum A E aequale est quartae parti gurae, quae ad riplam semia. xis D A applicatur, scilicet aequale es rectangulo D A G ; igitur DA, A E , A G sunt continua proportionales: ponitur vero D A aequalis, aut mInor, quam A Ga igitur D A aequalis, aut minor quoque erit, quam A E; o propterea miriangulo DE A erit angulus D EA aequatis , aut maior angulo A D E , seu A D F cum angulus continentia secetur bifariam ab axi so prias reat an y hv ς 'gulus C mi r augula A E D; igitur angulus B C D minor erit alterno angulo F D C : unde consat rectas tineas F D , C B concurrere posse .s viserius ' ducantur ad partes D, B ; non autem a partes C, ct F. e Quia si occurreret illi occurreret D F 7. ex 2.9 secaretque sectionem in duobus punctis , &c. Se ιs huius textus talis est. ad Oniam , ut sensus, re Ia B C insinite producta non occurrit asymptoto D F ad partes F C; 0L s.lib. a. tur recta C E producta non ficabis perapheriam h perboles ad panes βύ; nam si usam secaret, scaret quoque aymptoton D F ad partes F , quod non poni- IbMςm tur. Ex his infero debet conclusio principalis, nimirum, quod B C non occurrit sectioni duobus in pumme ct hac rasione temum alioqui corruptum emendauI. . Linear