장음표시 사용
151쪽
II ZLineae vero breuissimae, quae cadunt aa perii heriam sectionis BA , continent angulos minores , quam B C D , utique non occurrunt D F , &c. Ides e quia quaelibet ιreuissima ex puncto peripheriae A Rad axim ducta e cit angulum propinquIorem vertici, minorem 'sanguis C; ct propterea quaelibet breuissima ad terapheriam A si extensa secabit ne- 8 hu i eo ινιν ipsam R C et sterius product m
C farrigeti as mptoto D F; igitur qualibet breui ima ad peripheriam AB educta ides inter parallatas posita non occurret Hieri quidistantium D F ad partes F , sed ad partes ut sitas versus Cor er . D; eo quod qualibet recta linea intra Hperbolam ducta musco peripheriam se-8 ctionu-ωparte, 'qua continentem D F noscat; At qualibet atia breuissima i O C B discra, necessario e ciet ad axim angulum maiorem, C; 9ρro,s huiu, pterea ulterius producta secabis i am B C ad partes C ; sed Daeludi se is ima extra parallelas posita quae siciat unam aequid antium B C, secabit quos rei quam ad easdem partes F C; quare prius sectioni occurret, ut dicrum es.
Continens XVI. XVII. XVIII. Propos Apollonij.
SI mensura comparata sumpta suerit in axe recto minore ellipsis, erit maximus ramorum ab eius origine egredientium, & illi propinquior maior est remoti Ore : minImus Vero ramoruest disterentia recti , & comparatae , S illi propinquior, minor est remotiore , atque excessus quadrati comparatae supra quadratum cuiuscunque rami assignati aequalis est ciemplari applicato ad abscissam illius rami , siue comparata sit minor , aut
aequalis , aut maior recto. Sit DC rectu Saxis minor seetionisellipticae ABC si,queCI comparata, de rami I H , IK, IB, I L. IA, ID,&seminis erecti sit C, T, & centrum E, dc
152쪽
educamus F E quousque secet D M perpendicularem ad axim in 11 , & F I occurrat D M in N ,& ducantur ad axim perpendiculares H O T S', Κ P V, B E, L MA R:& sit in prima figura C I minor recto, in secun-b da aequalis, in tertia vero maior. Constat , quemadmodum denaonstrauimus in propositione sexta huius , quod quadratum I C aequale sit duplo trianguli I C F i at quadratum O H duplum est trapezij O T F Cc i. ex s. & quadratum I O duplum est trianguli O I S ; ergo quadrarum I C , nempe duplum trianguli I F C excedit quadratum I bl duploc trianguli F T S, quod cst aequale rectangulo T a : & constat, uti dictum est, quod sit exemplar applicatum ad O C: ergo quadratum I C excedit quadratum I H exemplari applicato ad O C abscissam ipsius I H. Patet etiam . quod quadratum I C excedit quadratum I K exemplari applica-d to ad P C: idemque constat in I B; igitur I C maior est, quam I H, &I H, quam I Κ , & I K , quam I B postea, in figura prima , & tertiata , o Fe quia triangulum F C E aequale est triangulo DEM; ergo quadratumdΙ C aequale est duplo trianguli N F M cum duplo trianguli D I N, quadratum vero I D aequale est duplo trianguli D I N ; igitur quadratum
153쪽
I D minus est, quam quadratu I C duplo trianguli N F M. quod aequale est exemplari applicato ad D C , & quadratum I R aequale est duplo trianguli I X R ,& quadratum A R aequale est duplo ti apezij R M 3. ex . ergo quadratu I A minus est, qu.im quadratum I C duplo trianguli Ι L X , quod aequale ex exemplari applicato ad C R 6. ex s.; similiter quadratum I L minus cst, quam quadratum I C exemplari applicato ad C in estque C D maior, quam C R, & C R quam C in ergo I A maior est, quam I D, & I L, quam I A; quod erat propositum.
Notae in Ibo possit. XVI. XVII. XVIII.
Comparata si fuerit ex recto duorum axium ellipsis erit maximus ra- amorum, &c. Addidi particulam illam axis minoris, quae in textu de Rcrebat, nunquam enim C F siemissis titeris recti, esse potes maior C E sem/sse Dieris transuersi , nisi C D fuerit axis minor estgsis. iConstat , quemadmodum demonstrauimus in propositione 6.&c. bnia mensura I C fypponitur cDar.ua, id si aequalis Usi C F semissi lateris recti; propterea triangulum IC F is celeum erit, ct rectangulum m C ; ct ideo quadrarum I C aequale erit duplo trianguli I C F: eadem ratione propter parallelas S O, ct C F, erit triangulam I O S simile triangula I C p, ct propterea illud quoque i sceleum erit, o rectangulum in O , ct ideo quadratum I O qua Ol. huius. erit duplo trianguli I O Se es vero quadratam O H aequale duplo trapeu F το C; igitur quadratum I H od es aequale duobus quadratis I O, O H circa angulum rectum O y aequale eris duo trianguli I O S cum duplo trapezν F TO C, sed haec duo dana minora sunt dapis integri trianguli I C F, sque Ae secus duplum trianguli F T S, sitie rectantulum S T b a i igitur duplum tr/on' vij I C F, siue quadratum I C maius es γadrato I H , ct excessus es rectora' g tum T a. quod vera rectangulum T a sis exemplar demon abitur modo, τι
in sexta propositione Mius. Et constat, ut dictum est, quod sit exemplar applicatum ad O C. Sce. c miam rectae S a , T b, I C sunt paralicia, erunt triangula I C. F, ct Sa F, milia .
154쪽
similia; pariterque Aa triangula E F C re b FI milia erunt; ct propterea S aad a F eandem aequalitatis proportionem habebis, quam I C habebat ad C F, --bter T b ad b F eandem proportionem habebis, quam Ε C ad C F, seu quam
latas transuersum D C ad eius latus riatam: es vero T l, aequalis S a, seu a F; ergo F a ad F b eandem proportionem haset, quam latus transuersum D C ad eius latus rectum ; cr comparando antecedentes ad disseremias term norum a , erit F a, seu b T ad b a ἰτι latus transuersum D C ad disserentiam eiusdem transuersi, cr recti Luris; quare parasiclogrammu rectangulum S b, eris exc- D fin. 9.plar applicarum ad abscissam O C. huius.
Igitur I C maior est, quam I H, & I H, quam I Κ, dec. Eo quod ab is
DO C minor es, quam C P, Cr C P minor, quam CE: δε-tque praedictae abscis latera homolo a exemplarium , quae ad easdem absci as applican r I aD Desin ' que praedicta exemplaria similia sunt inter se , cum circa angulos rectos lutera ' μβ habeant eandem proportionem , quam latus transuersum D C ad disserentiam
eiusdem transuersi, recti lateris; quare excessus quadrati I C supra quadratum I H minus es excessu eiusdem quadrati I C supra quadratum I V ict adhuc minus excessu quiarui I C supra quadratum I B , or propterea recta I Cminori excessu imam I Hsuperabst, quam ipsam I K; cr adhuc minori excessu superabis I Κ, quam excedat I B: ct ideo I C maior erit, quam I H, ct IH major, quam I A , ct IK maior, quam I S.
155쪽
trianguli D I N , Sce. αuoniam quadratum I C aequale es duplo trianguli IC F, seu duplo trianguli I F E una cum duplo trianguli E F C; es que duplam trianguli E D M aeqv.ile aevis triantuli E C F : igitur quadratum I C aequaties duplo trianguli I F E una cum duplo trianguli E M D r ijs vero triangulas aequatur duplam trianguli N F M Gia cum duplo tria ab D I N; istar γadratum I C aequale est duplo trianguli N F M una cum duplo trianguli D I N: es vero quadratum I D aequale duplo trianguli D I N; igitur excessus quadrari I C siupra quadrarum I D es triangulum N F M bis sumptum a scilicet exemplar applicatum ad latus transuersum D C.
SECTIO DECIMA SEPTIMContinens XIX. XX. XXI. XXII. XXIII. Vt V. & XXV. PropoL Apollonii
SI mensura E C sumatur in axe minori ellipsis
maior comparata; erit maximus omniti ramoru egredientiucx sua origine , ut E F , E B , E G ; & maximo propinquior , maior erit remotiore, nempe E F, quam E B, &E B, quam E G.
Contivagamus rectas A G, G B, BF, F C ; & secetur C H aequalis compara tae: iungaturque F H, H B, H G. Et quoniam H C maior est, quam HF, s 16. IT. 18. cx s.) erit angulus H CF minor , quam H F C: & ideo multo minor erit, quam E F C, quare E Cmaior est, quam E F:&sic constat, quod
E F maior sit, quam E B, & E B, quam E G , & E G , quam A E ; quod erat ostendendum. PROP.
156쪽
, I in ellipsi ABC mensura I C in axe minori C D sumpta
o minor fuerit comparata, C F, & maior dimidio axis EC, perficiaturque sgura, ut antea dico, quod omnium ramorum IA, IB, IK, ΙΗ, IC egredientium ex origine I maximus est I B, cuius potentialis B G abscindit a mensura verius origi nem rectam G I, ad quam inuersa E G eandem proportionem habet, quam D C ad eius erectum; Et quadratum maximi I B sua perat quadratum cuiuslibet alterius rami I K exemplari applicato ad G P disterentiam eorum abscissarum.
157쪽
Quoniam proportio E G ad G I facta est , ut E C ad C F , nempe E bG ad G V. erit G V aequalis G I ; & propterea quadratum G I aequale est duplo trianguli G I V , & quadratum G B aequale est dup o trapezij G F i. ex s. crgo quadratum I B aequale est duplo trianguli I C S cum duplo trianguli F S V; & sic constat, quod quadratum I K aequale est duplo trianguli I C S cum duplo trapezij S L: & propterea quadrati I B excessus supra quadratu I K aequalis erit duplo trianguli LTU, quae aequalia sunt exemplari applicato ad G P 6. ex s. atque sic ostendetur, quod I B potentia superat I Hi cstque excessus exemplar applicatum ad G Ο,& supcrat quoque I A potestate , cstque cxcessus aequalis exemplari applicato ad G Q : est vero G o maior, qu aut G Pi ergo I B maior est qua I Κ, & quam I H; & sic ostendetur, quod I B maior sit, quam I A; &
E Contra, si maximi rami origo
ponatur in axi minore, at non in cetro ellipsis, nec si mensura continet cum ipsa mensura angulum acutum,& eius inuersa ad abscillam a potentiali cum origine habet eandem proportioneim figurae axis recti minoris: si vero educatur ex centro, crit per pendicularis stiper rectum. Sit sectio elliptica ABC centrum D, di si origo, quae si in axi mino- bri C A , & E F ramus omnium maximus; erit utique E C , vel maior semiet
158쪽
semierecto, aut aequalis, aut minor illo; sed si esset aequalis, aut maior esset quoque E C maximus ramorum i 6. 17. 18. r9. ex s. ergo C E minor est dimidio erecti, & ideo aliqua minor, quam D C ad residuam usq; ad Eeandem proportione habebit, quam D C ad semissim erecti: & sit D Gad G E, & ex G ad axim ducamus perpendicularem: hanc, dico, Occurrere sectioni in F; alioquin occurrat ei in Id, & limgamus E H; igitur EH est maximus ramus ro. ex s. & propterea maior, quam E F , qui maximus suppositus suit, & hoc est abhirdum; igitur occurrit sectioni in F; & quia G est rectus angulus, erit F E G acutus. Si vero ramus maXLmus educatur ex cctro, ut D B erit perpendicularis super A C; alioquin educatur DI perpedicularis ad axini; igitur DI est semissis axis transuer- si ir. ex s. & propterea est ramus omnium maximus, sed D B suppositus fuit maximus, quod est absurdum, uti dictum cst; quare Patet prinpositum.
maximus E B m suram secans ultra ori ginem Ε, in axe eius minori existentena, pro ducatur ad F , set F B
rum F G, F H, FI, ab codem puncto , ad sectionem ABC cadentium , & propinquior
a QI vero suerit mensura E C ex recto duorum axium ellipsis A B C ἰo sed sit maior comparata, &c. Similiter hic declarari debet, quod axis rectas sit minor; ct propterea leto : Si mensura E C sumatur in axe minorie iasis, Ure. Nam , Coo le
159쪽
Nam si coniungamus AC, BG, BFF C , &c. Mest ; sicetur C H aequalis com paratae , seu semissi lateris recti axis A C , quia me ira E C supposita es maior comparata, erit quoque E C maior, quam C H, propterea recta linea E F cadet infra H F i,isoque angulus C F E maior erit an CF H r eadem ratione angulus F B E maior erit angulo F B H, atque angultis B F E mn nor em an o B F H , o fit de reliquis , cumque C H sit aequalis comparatae , Orfit 6 37 8- maior C D sem e axis recti minoris , omnium ramorum ex erigine H ad elli-h '-- Um C F B G , eadontium maximus erit HC ; ct propterea H C maior erit, quam H F, se in triangulo II F C angulus II F C oppositus maiori lateri maior erit angulo C ; estque ostensius anulus E F C major angulo H F C ; igitur in tria diis C E F erit angulus C F E m tiar a alo F C E ; cr propterea ra- Ibidem. mus E C maior erit, quam E F: uim is, quia ramus H F propinquior maximo maior es remotiore H B, erit aurulus II F S minar angulo H S F : ideoque aneulus E F B , pars minoris , a ut minor erit angulo E R F , maiorem excedente; o propterea in triangulo E F B erit ramus E F propinquior mammo E C, maior remotiore E B,
Notae in Propos t. XX. XXI. XXII
SI vero fuerit mensura I C minor comparata, quae sit C F, nempe se- amisse creeti, & maior dimidio recti E C, & origo sit in recto, aut in
eius productione, ut in I: tunc maximus ramorum egredientium ex orifi
ne, ut I A, I B, I K, IH est cuius inversi proportio EG post absolutionem figurae cum perpendicularibus, & lineis praecedentibus P ad ab-
160쪽
dratum maximi, qui est IB, superat quadratum cuiuslibet illorum exemplari applicato abscissionibus eorum potentialium , &c. Sensus huius rex
ius pene vix diuinari potest inter tot menda , or phrasis Arabicae obmινιtatem p puto tamen , eum esse, quem in textu V sui , ubi paucula verba immutaui , quae desiderari videbantur , aliqua ver. transposui, ut sienses continuari posset. Caeterum animaduertendum es in hisce propositionibus, sicuti is 8. p. 9 io. huius Iuri senoni ut res manifesta intra sectionem duri posse a puncto originis ramum maximum , vel brevisimum , ides necessarao reperiri debere ramum , cuius potentialis abscindit a mensura versus originem recIam tineam, ad quam inuersa eandem proportionem habeant quam axis transuersus ad suum erectum: hoc autem sine demonstratione admittere nefas es. Ergo quod in textu de eratur senseri potes hac ratione. Iluia C I maior est , quam C E , sed minor . quam C F; ergo eadem E C ad minorem C I maiorem proportione labet, quisu ad C F ; ct comparando antecedentes ad Hinerentias terminorum C E ad E Imaiorem proportionem habebit, quam E C ad disserentiam ipsius C F a C E; quare aliqua magnitudo minor quam prima scilicet G E ad E I eandem propemtionem habebit, quam C E ad disserentiam i arum C F , ct C Ee criterum comparando antecedenus ad summas terminorum E G ad G I eandem proporti nem babebit, quam E C ad C F ; quare punctum G cadet intra sectionem , ' riterq; G B ad axim perpendicularis occurrens sectioni in B cadet intra eandem sectionem: ct ideo ducisoterit ramus I S, qui ostendetur maximus retiquorum
Quoniam proportio G E ad E I facta est , ut E C ad C F, &e. Nam
is axis D C ad eius erectum , seu ut semiaxis E C ad semierectum C F, Dancta es E G ad G I: sed propter parasielus G V , o F C r se simititudinen triantulorum E G V , E C F es E G ad G V, τι E C ad C F εἰ se pro ere eadem E G ad duas GV , o G I habebit eandem proportionem , ct ideo I G a qualis erit G V , ct triangulum I G V is celeum , se rectangulum erit in G ;quare quadratum I G duplum erit trianguli I G V r es vero quadratum B Gquale duplo trapezb G C F V ; idest duplo trapezii G C S V , cum duplo trianguli F S V ; igitur quadratum I B quod es aquati duobus quadraris I G , GE circa amulum rectum G quale est duplo trianguli I GV dupo trapezi Gc Su