장음표시 사용
161쪽
C S V cum duplo trianguli F S V; iis quadratum I B aequale es duplo triam guli I S C cum duplo trianguli F S V ; σ quoniam propter para elas C S , o G V, triangulum I C S simile es t sicelio , O rectangulo trianguis I GV , erit, quadratum I C aequale duplo trianguli I C S is celei , ct rectanguli in C ; ergo excessus quadrati I B supra guadratum I C aequale est duplo trianguli F S V ;es vero rectangulum, cuius Osis F S, ahirudo vero C G aequale duplo trianguli F S V ; atque huiusmodi rectangulum es exemplar applicatum ad abscissam GC , τι in notis prop. 16. II. ct i 8. Ittera c. osensum es igitur quadrati I Rexc us supra quadratum I C es exemplar applicatum adississem G C: Simili modo quadrarum I K ostendestir aequale duplo tria uti IC S et a cum duplo trapezy LT S F ; atque dupli tria uti I C S cum duplo trianguli F S V emcessus Iupra duplum trianguli I C S c,m duo traperi, LT S F es duplum trianguli LT V ; ergo quadrati I B excessus supra quadratum I R est duplum
trianguli LT V , seu exemplar V Icatam ad G P disserentiam abscisorum. Postea quia triangulas ilia E C F, Ea D M suns aequatia, cum eorum homologa latera E C, E D aequalia sint; ergo ad io communi triangulo I E V, erit triam gulum E C F cum triangulo E I V, seu trianguia I C S cum triangulo F S Vaequale duobus triangulis E D II, o I E V, heu duobus triangulis M V N, is N I Dr erat autem quadratum I B aequale duplo trianguli I C S cum duplo tria anguli F S V ; igitur quadratum I B aequale erit duplo triantuli M N V cum
duplo trianguli N I D: sque quadratum I D aequale duplo triangub is celei, reci anguli I D N; igitur quadratum I A superat quadratum I D, sque excessus duplum trianguli M N V Ita exemplar applicatum ad G D . Tandem qui quadratam I .s aequale es duplo trianguli in celei rectanguli I X , atque quadratum A aequales Apio trapezν M; igitur quadrata hypothen a IA AEquale es duplo triangula I D N cum dupo trapezij X N M Z; ergo excessus quadrati I A supra quadrato I D aequalis est duplo traperis X NM Z; excessis autem: trianguis N M V supra trapezium. N Z es triangulum X ZV: ct crat quadrati I B excessus supra quadratum I D, triangulum imum M V N bis sumptum . Igitur quadrati I B excessus supra quadratum I A es duplum Iriam liX Z V . seu exemplar applicarum ad G . b. Idyd autem exemplaria aequabasini pradictis triangulis bis sumptis, ostensum es in prop. 6. huius. Notar
162쪽
EContra linea maxima, si non egredi
tur eX centro , continet cum mesura
angulum acutum, & proportio illius inuersae ad abscissam eius potentialis ex nausura cum origine, Ust ut proportio figurarrecti. Si vero sucrit extra centrum , erit perpendicularis super rectum, dcc. Manis e no nulla in textu Arabico de fiunt : at qua vero immutari debent; alioquin propositio vera non esset, itaque legendum puto : E contras maximi ram origo ponatur in aximinore, Ocr Vt in textu habetur. Sit sectio ABC elliptica, & E origo, &E F linea maxima, &c. Asdidi sariter in hac expositione verba, quae deficiunt; nimirum : Su centrum
D, se origo E, quae sit in axi minori A C. Et ideo D C ad dimidium erecti est linea minor, quam D C, & sit DG ad G E, &c. Nonnulla adiungi debent huic textui corropiissimo , ne sint mersa ni I prorsus Qui cantia, itaque sic legendum puto. Et ideo aliqua minor, quam D C ad residuam et sique ad E eandem proportionem habebit, quam D C ad semissem erecD; σμ D G ad G E, sec. aduae verba breuisume more Apol ne δυμ confirmantur. desa E C sensa es m nor dimidio erecti axis minoris C A , fiat C V aequalis dimidio erecti erat L C minor quam C K , ct ablata communi D C eris D E minor, quam K D; ct propterea D E ad eamdem D C minorem pro Nionem habebit, qua- D: AM E D ad D G, vi KD ad D C, erat D G minor, quam D C: est componendo, E G ad G D eandem proportionem hiauit, quam K C ad C D, ct invertendo, D G ad G E eandem propoνι ionem habuit , quam D C semissis axis recti ad C Asmismν erecti ei Zm axis: ct ex G ducatur G F perpendiculans ad axim, quam, dico , o currere siectioni in F termino max/mι rami E F. Et si maxima fuerit extra centrum, ut D B erit perpendicularis, dcc
Textus euidenter corrupos sic corrigi debet. Si vero ramus maximus educatis ex centro, ut D B, .
SI producatur una linearum maximarum, ut E B ad Iatus illius originis E ad pulictum F, fiet maxima linearum egredientium ab illo puncto FG. F H, F I, F A ad sectionem B I A in directum, & propinquior illi
maior est remotiore, &c. Immutaui nonnulla , quae ad propositionis integrita-um facere videbantur: τι in textu habetur .
163쪽
quod ramorum ommum ab origine E ad ellusim C B Headentium maximus θ' nitur E B; ergo maior erit, quam E H , se propterea angulus E B H minori late' isra oppositus minor erit anguinis E H B : cadit vero recta H F infra H E; propterea quod puncIum F infra punctum E exivit; igitur anguias F H B mnor es angulo E H B; r ideo angulus F H B multo maior erit an F B, maiorem angulumsuriendens, maior erit, quam
Continens XXXII. XXXIII. XXXIV. XXXV. XXXVI. XXXVII. XXXVIII. XXXIX. XXXXVII. XXXXVIII.
IN ellipsi ABC rami cuiuslibet
maximi G H utrumque axim secantis portio N H inter axim maiorem', & sectionem intercepta, est linea breuissima.
Producatur rectus axis minor A D vltra centrum D ad I, G, & ex I, G ad sectionem ducantur .duo rami maximi G H, I Κ , qui secent transuersum B D in N, M , & sit B E dimidium erecti axis B D,& A F dimidium erecti axis A G;ωed cantur perpendiculares ad axes Ho,HP, Κ QU, Κ R. Dico, N H breuissimum esse ramorum egredientium ex H . Quia G H est linea maxima, erit D A ad A F,
164쪽
P D; ergo B E semissis erecti ad B D semissim transuersi est , ut N P ad P D , & ideo N H est breuissima linearum egredientium ex N io ex s sic ostendetur, quodsi K I suerit maximus, erit Κ M breuissima
a η ' Contra ostendetur, quod duae breuissimae , si producantur T. ad partes suarum originum usque ad axim minorem rectu ellipsis, fient duo maximi ;& lineae maximae mutuo se secant i ter transuersum , & rectum in eadem parte , & quod continent
cum mensura angulos, quorum proximior vertici sectiouis maior est.b Quia D Q ad est , ut D O ad O G, quia quaelibet earum est , ut D A ad A F ar. ex s. diuidendo, & permutando, fiet D inninor ad D O maiorem, ut D I ad P G ; ergo D I minor est, quam D G, & Κmaior, quam H O; quare angulus I maior est, quainta; igitur H G, K I se mutuo secantes, conueniunt in L. Et constat, quod occursus duarum breuissimarum si producantur versus suain originem erit intra angulum contentum a duabus medietatubus axium ellipsis B D, D C supra unum eorum , nempe punctum L c
dit intra angulum B I C . Quoniam breuissimae N H , M K se mutuo secant, si producantur ad partes suae originis 28. ex s. 9 occurrent utique extra B D, & intra A G 33. ex s. & hoc erat ostendendum.
a QI per centru ellipsis transierit una o duarum breuis limarum, Vtiqu
rami egredietes ab eorum occulsu adsectionis quadrantem alterius breuissimae habebunt proprietates expositas in propositionibus sq. & s.
In ellipsi A B C sit punctum E occursus duarum breuissimarum B D , C I, ¢rum sectionis D t & ex E educamus E F , quae secet transuersum a-xim in H. Dico, quod H F no est breuissima, & quod breuissima egrediens ex F abscindit ex sagitta A C cum A lineam maiorem , quam AH. Quoniam G I est breuissima; igitur F H. si esset quoque breuissima , , ii uti. occurreret ipsi G I intra angulum A D Et sed non occurrit ei, nisi in E, ergo F H non est breuissima ; & quia F E non cadit inter duas breuisecantes E B, E G; ergo breuissima, egrediens ex F, abscindit ex sagitta lineam maiorem, quam A H c 3 ex x 2 quod erat ostendendum. . PROP.
165쪽
IN sectione elliptica quatuor lineae breuissimae, ut B D, F I, G Κ,
H L, non conueniunt omnes in Uno puncto . Alioquin sit occursus in E, & prius sit B D perpendicularis super A C , transiens per D centrum sectionis ; & quia Eest occursus duarum breuissimarum BD, 3 hviv F I , & B E transit per centrum i igitur G Κ non est linea breuissima , quod est contra hypothesim . Si vero nullus eorti
transit per centrum , educamus pcr cem
trum D O perpendicularem ad A C; quare dux breui minae F I, G Κ conueniunt . intra angulum A D O 34. ex s. similiter H L, MN breuissimae occurrunt intra angulum C D O 3 . ex s. sed cinueniunt in E , quod est absurdum; igitur quatuor lineae breuissimae non coueniunt in uno puncto; quod erat osten
IN conisectione A B, cuius centrum D duci non possunt duae lineae maximae in ellipsi, neque duaebreuis sinae in omnibus sectionibus , ut A E , A F ad unum punctum A circumferentiae
sectionis terminatae. Educamus A G perpendicularem ad axim B E. Si itaque sectio QNrit parabole, set E G aequalis F G, quia quaelibet earum est aequalis dimidio erecti s 13. ex s. J si vero suerit hyperbole , aut ellipsis , fiet D Gad G E, ut D G ad G F; quia quaelibet earum est , ut proportio figurar i 4. 13. ex sta igitur G F aequalis est G E , quod est absurdum . Similiter si B G suerit minor duarum axium ellipsis , & fuerint A E , A Frami maximi ostendetur , quod G F aequalis sit G E r3. ex s. Patetigitur, ut dictum est, quod ex uno puncto sectionis educi non possunt ad axim illius duae lineae maximae , neque breuissimae , & hoc crat osten
166쪽
SI linea maxima, aut breuissima,
inionem A n ad D, erit eius portio B D extra sectionem abscissa minima omnium linearum DE, D F , D A egredientium ab illo plancto ad circumferentiam sectionis : reliquaru Vero propinquior , illi minor est
remotiore. a Educatur B G, tangens sectionem ii B; erit D B minor, quam D H; ergo multo minor est , quam D E : & iungamus F E , F A , erit angulus F E D obtusus , & pro terea D E minor est, quam D F, & similiter D F minor, quam DA; quod crat ostendendum.
167쪽
IN sectione A B elliptica quaelibet
perpendicularis F D ad lineam maximam C D, ab eius termino Din sectione posito educta, continget
conise stionem. Alioquin secet illam,& in eius prodimctione D G sumatur punctum G intra sectionem : & educamus B G C , igitur GC maior est, quam C D , quia subtendit . rectum angulum C D G,& propterea B C multo maior est, quam CD, quod est absurdum: igitur educta illa linea est tangens; quod erat ostem
E Contra si sterit F D tangens , erit perpendicularis super
maximam D C. Alioquin educamus aliam E D perpendicularem super illam : ergo ED tangit sectionem in puncto D 3ς. ex s. sed F D supposita fuit tangens i igitur duae D F , & D E tangunt sectionem in uno puncto , quod est absurdum 36. ex I. 2
contactus D ad axim alicuius sectionis A B educta perpendicularis ad tangentem D C , erit linea breuissima, aut maxima.
Ξx Id. & Alioquin educamus D F breuissimam, 'λμ'μ ' vel maximam; ergo D C perpendicularis o. huius. est super D F; sed CD supposita fuit perpendicularis super D E ; quod est absumdum : quapropter demonstratu est, quod suerat propositum. PROP.
168쪽
I Res lineae maximae E F, GH, I Κ ad unum ellipsis quadra
tem A F B cadentens non coueniunt in uno puncto. Alioquin coueniant in Ο,& quia sunt lineae maximae erunt M Κ, PIN, L F, lineae breuissimae 3 a. ex s. & conueniunt in puncto O; quod est absurdu s q. ex s. ostensum ergo est, quod fuerat propositu.
LInea maxima secat transuersam in pucto, cuius intercepta inter punctum illud, & sectionem , eu linea breuissima,&c. Verba, qua in textu Arabico desiderantur sunsenda censui, ut aequivocationes tosi
Quia G, H est linea maxima, erit D A ad A F, nempe B E ad B D , &c. Hai a. huius ostensum es , lineae maximae GH potentialem H O secare semiaxim minore AD ino, ut sit D O ad OG in eade propo rione figura axis minoris A C i scilicet erit, in D A semiaxis minor ad A F eius semie- reeium; sed ut A D ad A F, ita est B E se missis lateris recti axis transuersi ad B D semissem eiusdem transuersi i Citar D O ad O G eandem proportionem habebit, quam EB ad B D; sed propter parallelas N D, HO,s N H ad H G , ut D O ad O G; pariterque propter parallelas D G, H P , eris N p ad P D, G N H ad Η Gi ct ρν pterea N P ad P D eandem proportionem habebis, quam D O ad O G , seu . qua- E B ad B D ; ct permutando D P ad P N erat, ut D B ad B E, seu G II uvi axis transuersus ad eius, erectum; ct propterea linea N Η erit breuissima.
Notae in Proposit. XXXIII. XXXIV.
E Contra ostendetur, qvod duae breuissimae, si educantur ex parte suae oriuinis ad rectum, fient duo maximi cum relatione ad rectum : Et R ostem
169쪽
ostendetur ex dictis, quod lineae maximae mutuo se secant inter diame trum, & recturn , &e. Textu corrigi debere manifesum es ex dicti superius .
Quia D Q ad in I est . ut D G ad O
G, &c. In eadem figura propositionis 3 a. t redemis perfiatur construimo , ut prius quia duae K M, H N t breuissima trima ἔ ergo M R ad R D, nec non N P ad P D eandem proportionem habent, sicilicet eam quam habent latus redium ad Iransuerseum , seu eandem quam habet semierecras E B ad Femiaxim B Dies tero C A ad eius latus rectum , seu D A ad A F , ut E B ad B Dii itur iam M R ad R D , quam N Pad ρ D eandem proportionem habent , quam
D A ad A F; sed propter parallitis C D, RA, P H, es M K ad K I, ut M R ad R D; pariterque N H ad II G eandem proportione habet, quam N P ad P D; atque propter parallelas D B, ad A, O H est D ad atrvi M K ad K I , se D 9 ad O G est τι N Had H G εἰ ergo tam D ad .et I , quam Do ad G G eandem proportionem habent, quam D A ad A F, seu quam axis mi xo. 21. xi. nor A C ad suum erectum, o propterea tam L I, quam H G est ramus maxis' i mas i i sors dua linea breui imae H G ,9 K I producantur quo que axim minorem secent in punctis G, ct I e cientur rami omniam maxim/. Postea ian ad ad alii , es τι D O ad O G ; permutando D α ad D O eandem propo nonem habebit, quum ad I ad OG ; opermutando,o comparando antecedentes audisserenitas terminorum eris D Id ad D I , it D O ad D G: es que D a minor quam D O; igitur minor es, quam O G; pariterque D I minor est, quam D G ; ct propterea punctum I cadii inter axim B D, es ramum H G ; estque etiam potentialis L propinquior se parallela axi maiora, ct ideo maior ν motiore H O ; igitur punctum K cadit inter axim B D , se ramum H G ; o Iropterea ramus K I secat ramum H G in puncto L inter puncta H , o Gogo. iiii Iux. M duae breuissimae K M , H N se secant vltra axim B D r igitur octo us L cadu inIra angulum B D C ab axibus tam Mensum. Tandem quia V I fcasH G inter puncta G , cse H ; ereo e rat angulum externum V I A maiorem Imerno . o opposito G : ct propterea ramus K I propinquior vertici Γ, quam H G e ciet cum axe minore C A angulum AI K maiorem.
SI transeat per centrum ellipsis una duarum breuissimarum : utique rami, &c. Haec Vaposio parum dissera a s . se s. huius , ubi sensium est, quodsi duo rami E S , E G breuisecantes ex eodem concursu E ad elissim A B ducuntur, qui uel alius ramas E F, extra breuisecantes positus, cadet smira irruistimam ex pancto F adaxim A C duorum: hic vero stupponuntur da
170쪽
breui ima BD, GI, quarum B Dper centriarr.r is, qua producLe concurrum in puncto Eaxis minoris, ct concluditur, quod rami E F,
portio FH, ne a breuissi a non es, si una ipsam breuissima ex puncto F eductam cadit. ASed duo his notanda sunt. Primo, quod haec
prop. IS. Non poterat postponi, na usum habum y 7. huius ubi male citatur prop. sa. loco huius 3y. , ut ibidem insinuatum est. Secundo, quod haec idemonstratio non videtur omnino perfecta nam pendet ex rop. 3 , est ex eius conuersa, quae demons rata non reperitur quare superuacanea non fiat noua demon ratio in Lemmat. 8. Upiata.
SI vero nulla earum transit per centr5, educamus D Ο, &c. Si enim fuerint
quatuor lineae breuisma G Κ, F I, H L, MN, quarum nulla per centrum D transit mititer sendetur, quod non conuemunt in uno puncto E , nam ducto semiaxe D 9 necesse est, ut punctum E concursus breuisereantiu EG, E F cadat intra anguia AD O: pariterque idem panctum E concursus duorum breu, secantium E H , E M, carit ne cessario intra angulum C D O, sied idem pumctam E nequit Asbus in oras reperiri , niamtrii intra angulum A D Ο , ct intra angulum C D 9, igitur non possunt ab eode puncto educi ad ei sim Datuor ramι breuisecantes.
NAm si educamus B G tangentem erit B D minor quam D H , &c. αὐ-niam C B est ea breuissima, aut si maximas, eius portio eris breuissima, ct G B colimgens sectionem in eius termino B perpendum luris ad B C ; propterea in triangulo B D Hlatus H D , subtendens angulum rectum B , maius erit latere D B ; est vero D E maior, quam D H, eo quod punctum H contingentis B G cadit extra sectionem; igitur linea B D minor es, quam D E , o propterea angulus D E B acutus erit, quare es minor obtuso R i angulo