장음표시 사용
171쪽
& ID G intra sectionem, &c. Si enim recta F D non contingit et sim a B, secti eam si fieri potest in D: quare F D pro ducta in Hrectum cadet intra sectionem, om producta recta tinea F D G sumatur quoi obet punctum G dummodo intra sectionem existat, ct pcr G ad concursum C coniungatur recta linea G C , qua producta ioccurras sectioni in B: or quia ex kr thes recta FD G perpendicularis erat ad maxιmum ramam D C , erga in triangulo D G Crectanguis erit 6 uenufa G C major quam D C , or ideo B C multo maior erit quam D C s quod e t absurdum , fu ostia enim Dis D C omnium maxima earum, qua ex C adfectionem A B iaci possunt.
ALioquin occurram in O , quia istae
lineae sunt maximae, &c. Secant . nim linea maxima semiaxim maiorem D A
nea maxima conueniunt in unico puncto O,s,. huius. emm figmenta inter axim maiorem , essectionem intercepta , nimirum M K, N II, LF tineae breuissima ; quarum duae quaeque zF, N Η educantur ab eodem puncti concur-
. suis: igitur ex Fq. 1 F. huius ) tertius ramus Ο Κ ab eodem concursu O eductus non eris breuisecans ; quod es contralpothesis.
172쪽
APOLLONII PERGAE ICONI CORVM LIB. VI
Ectiones A, ALES sunt, quae ad inuicem superpositae sibi mutuo congruunt. II SIMILES vero sunt, in quibus omnes potentiales ad axium abscissas utrobique sunt in iisdem rationibus, tum abscissae ad abscissas. Et Iinea , quae subtendit segmentum circumferentiae circuli, aut sectionis coni vocatur BASIS illius segmenti. IV.
Et linea , quae bifariam diuidit ordinationes aequidistantes basi illius, vocatur DIAMETER illius segmenti.
Et eius terminus, qui est ad sectionem, VERTEX segmenti.
Et SEGMENTA AEQUALIA sunt, quae superposita sibi min
Et SIMILIA sunt, quorum bases cum diametris aequales an gulos continent, & in eoium singulis ducta lineae basi parallelae numero aequales ad abscissas diametrorum sunt in i sdem rationibus tum abscissae ad abscissas.
173쪽
VIII. CONI SIMILES sunt, quorum axes aeque ad bases inclinati, ad diametros basium proportionales sunt.
Et dicitur conus continere se stionem , S sectio in cono posita esse, si sectio tota fuerit insuperficie coni, aut cadat in illa, si producatur ex parte basiis.
DE fruitis,es Mius sim libri cere omnes sunt Appolloniῆ , in mutis quidematurata ab interprete Arabico : quod quidem consat tesimonio Auior, Ascalonitae , qui in tertiam propositionem secundi aequipondeyantium Archim dis assera desinitionem similium portionum conicarum sectionum , trad tam ab Apollisio in eius se o libro ct sane ordo doctrina exigebat, ut prius sectiones aequales , ct sinules de irentur , ut postea egrum ' tomata demonstrari possini r sed ammaduertendum es , hactenus nomen sectionis conicae si si se quamlibet indeterminatam portionem curuae dineae in cori super cis oriam exsoctione alicurus piam nou per verticem coni ducti, non conse cranis ter tin eius neque mensuram. Se mentum veri signisicat portioncm alluam sectioms conicae determinarae mensurae , ct certis sinibus terminatam at multotus significat δε- persicum a conis Done, se recta linea eam subtendente contenta . Igitor ad confusionem vitandam vocabo huiusmodi superficiem planam, Mixtam superficie siectionis conica. Modo in relatis desinitionibus prius quaenam conisectiones et cori debeant inter se aequales exponit AZOPontus I. Et primo: Si fuerint duae quaelibet con fectiones B AC, E D F, quarum axes A G,
D Hi vertices veri Α, ct D , ct siquidem intellitatur sectio B A C superpassa sectioni
E DF , ut nimirum vertex A se per verticem D cadat, atque axis A G se per axim D H , atque pariter peripheriae B A C, ct ED Fibi mutuo congruant : tunc quidem vo eamur duae dicta sectiones conicae aequales imire se. 1 bi notandum es , non oportere longitudinem curvae B A C aequalem esse longitudini curvae ED F; ficati , et i duo anguli rectilinei dicantur aequales , ct si mu- tub eo ruentes, necesse non est , vi recta linea, angulos continentes , t aequales longistudue, dummodo certum sit, quod dinea ipse
ulterius producIa semper Abi mutia congruant ; e pariter peripheriae cenicar smonam A B, o D E, si viserius preducantur, semper i mutub conerast. II. In
174쪽
II. Codex Arabicus habes. Similes vcro sunt, quarum proportio po tentium in una earum ad sua abscissa est ea cm proportioni aliarum po tentium ad sua abscissa,& proportio abscissarum in una Varum ad sua op posita abscissa cadem est. Putabit forte quispiam , me nimis licention tran formasse potius , quam emendasse textum In hae secunda de sinitione ς sed is sciat velim, non meo arbitratu id fecisse sita ex praescripto ei iam Apollon, pluribus in locis ; non quiarim in hisce compodum is de nitionibus , in quibus una particula omissa , vel addita iac ut passim conriti in codicibus vetustisimis sensum omnino permutat; sedysin locis in
quibus oratione continna exponit, CT exem
plis declarat germanum sic um hams secum dae desintrionis , cr septimae subsequentis , et suis in locis monebitur. Primo igitur sunt ri debent particulae ad conterminas avium abscissas , quae in textu omnino fulminis debent ut expresse declaratur in tropositi. 12. 1 F. Cr i s. huius Gri , quis s m locis semper insectionibus Nilibus praecipitur ut absicisse tantummodo in axistissim
mantur, aut A. De sint mclinatae ad conterminas potentiales. Secundo postrem
verba sunt in iisdem rationibus tum abscissae ad abscissas possent retineri cuhensium desinutono non omnino intolurabile redint inliger in textu ' cy repetantur , ct eius seensus talis es. In consectionibus B AC, E DF, quaru aves A G, D H Uductae fuerant quotcunq: potentiales, seu ad aximVplicatae B C, E F, I L, M o occurrentes axibus in G, H, Κ, Ν hac lere, ut potentiam B C ad a silia, G A eandem proportionem hariat quam potentiatis
E F ad abscisam H D , , potentiatis I L ad assii am K A sit, o M O ad N D, ct tandem ab Ossa G A ad K A sit, vi abscissa H D ad N Dcor hoc u er
scetur in omnibus alys florentiatibus eadem lege δει is a tune quidem duae illaeflcriones ules aneliantur iuxta Earao, es Mydoris senIent m. Ego contra fato, ham expositionem neq. Aptagonio , ne . et eritati conciliarit e, ut a proris i a. senae tur attamen ex imo, desinitionem hac ratione formari s e. Similes conisectiones sunt . in quibus quaelibet axium abscisie erectu pro
portionales etiam ad conterminas potentiales eande rationem harint e quae omnia
no conformis est praecedentι desinitioni , praeternuam in postrema particula, ubi enim au. Sunt in i Dcm rationibus tum abscissae ad abscissas. Lependum, essetae sunt in iisdem rationibus tum abscissae ad crecta. Sed an haec partι- cuia corrase debeat, et es non, Hy videant. III s et reo fuerit sectionis conicae B A C, mel circunferentiae circuli,
-r A C, Bassis pro cri Amenti A A C. N. Et
175쪽
IV. Et si in eodem semento ducamur or- .uae parallelae basi B C , atque recta linea A M secet omnes aequid antes ipsi B C bis Nam in pun. Iis M, N , or o vocabitur A M Mamerer eiusdem segmenti. V. Et terminus eiusdem diametri A adfectionem positus , vocatur Vertex segmenti. Tres praedicta definitiones superaditae ab tainterprete Arabico fuerunt, ut ego puro, quandoquidem omnino necessaria non sunt VI. Sicuti in prima definitione sectiones sibi mutuo congruentes aequales et e-cabantur , sic pariter , si segmentum B A C snperpositum segmento E D F sebi mutuo congruant, sunt duae ilia lineae curvae aequales inter D. VII. Declarat sol nius in hae designitio- Alima , quaenam segmenta conica similia inter se censeri debeant. Vt si fuerint duarum conicarum sectionum sigmenta B A C, ct E D F , quarum Hametri A M , ct D L 'iam cum ordisatim Vplicatis, seu cum bastas B C , ct E F angulos aequales in M, o L, ct in unaquaque earum ductae fuerint pares multitudines apylicatarum, quae sint ba-kbas a uidistantes, ut G H , or I K, ct ι seis mer centur hae condisiones , ut habeat BC ad assi sum M A eandem proportionem , quam E F ad absici am L D, ct G H ad a cissam N A eanrim proportionem habeat, quam I V ad ascissam o D , o tandem ab-ris,a M A ad absicissam A N eandem pro r-rionem habeat, quam absicis a L D aa abscissem D O ; tunc quidem vocat A Aonius duo semota B A C , ct E D F similia inter se. Et hie primo animaduertendum est , disinitionem segmentorum similium relatam ab Eutorio Asialanita in 3. pro tib. a. aequiponae Archimedis, non esse integram: in ea enim desiderantur ilia verba, quarum bases cumdiametris continent angulos aequales, e quibusae nitio esset erro
nea, ut optime notat M H ius. Hoc autem ita me verba
textus Arabici aperiste declarant , habent enim. Et similia sunt quorum bases continent cuin diametris angulos rectos Agedum aqua
176쪽
s, de educantur in quolibet eorum ordinationes ad suas bases numero aequalcs , quarum proportio cum diametris est , uti diximus in sectioni . bus similibus. Idem repetit in propes a F. huius M. μυ-i tu propos r6. I tera a inquit: Et quod anguli a potentialibus, ct abscissis contenti sint aequales in duobus segmentis, erit segmentum
H A G simile segmento IC Κ: &c. se propos 37.
litera c ait: & anguli comprehensi a potentibus, & abscissis sunt aequales ἱ &c. propterea duo segmenta sunt similia: Et in eadem proristitera d dicis. Quia propter similitudinein duorum segmentorum continebunt potentes cum suis abscissis angulos aequales. Et eodem modo semper loquitur Apollonius ; goare dubitandum non est , in Eutoo de nitione irae
eadem verba aesiderari. Immutaui postea verba subsequentia : nam ordinationes , seu ressinatim a
plicata ducuntur ad diametros, non ad bases, ct duent esse basibus aequi istam res. Deinde breuitas assectata postremae partis huιus . Milionis non Apollonio, sed Arabico Interpreti tribui debet, nam eadem expresse, ct extens declaratur in textu Eutoc' his verbis. In quarum singulis ductis lineis basi parallelis numero aequalibus, sint ipsae parallelae,& bases ad abscissas diametrorum partes sumptas a verticibus in ijsdem rat ionibus, tum abscisse ipsae ada
scissas. In textu vero Arabico haec non habentur expresse , sicut in secunda ae finitione, quam citat hisce verbis. Et educantur ex quolibet eorum Ordinationes basibus parallelae numero aequales, quarum proportio cum diam
tris est, uti diximus in sectionibus similibus.
M O I meritatis , τ muneris suscepti ratio exigere iid tur , eis definitiones sectionum conicarum similium, quae cim cunferuntur , accuratius examinentur , ne ut Ma ouj erbis itar a magnis nominibus Eutocium dico, Commandinum, Mydoroum praei icium diutius fat meritati, hoc autem ad propos. II. 12. huius lib. praestabo . Interim monendus es L ctor , in desinitione ab Eutocio relata es qua merba deficere nitri uri quod absici se in axibus , aut diametri aeque ad ordinatas inclinatissumantur) in desinitionibus Commanium aliquod desiderari, eas m
177쪽
ritu reiectas a II orio fuisse , nam licet latera transuersa proportionalia sint lateribus rectis , non tamen Aia eiusdem nominis sectiones smiles erunt, nisi diametri .e lit inclinat e sint ad ordinatim ad eas applicitas i tandem desinitionem Mydor j similium seobonum pariter imperi citam esse suspicor ; nam licet d se sectiones , qaibra competit tradita ιχ- fuit, , seu passio eiusdem desivisionis , sint reuera sint: les, non tamen e conuerso si libus sectiombiis conuenit solummodo desin tio , seu eius P sso, cum aliquando apposita passio in eisdem reperiatur: quod perinde est, ac si quis putaret triangulum aequi gerum aliquando latera inaequaba habere posse.
VIII. In hae desinitione mani se aliquid desideratur' inquit enim Coni similes sunt quorum axium proportio ad diametros suarum basium cadem est. uod quidem veri scatur tantummodo in conis rectis r at in scatenis debent necessario axes conorum ess,ere aequales inclinationes hyper baseor Guod itam ius entibus propositionibus manifese ab Apasionio declaratur. It que textum hac ratione re tui debere puto. Coni similes sunt, quorum axes a- qtie ad bases inclinati ad diametros basium proportionales sunt. IX. Sectio genita in superficie coni a plano eum secante, non per terticem eius dacto dicitur in icto cono posita . iv contenta ; o conus ille continere citor eandem sectionem. r licet conisectio exhibeatur extra conum; dicetur.nt-hilominus contineri ab illo cono, in Do sectio illa accomodari potes, seu in quo
ab aligno plano secante esci potes in coni supersicis eadem illa cenisectio.
Continens Proirosit. I. II. IV. Jc X.
Vaelibet duae sectiones parabolicae A B , C D , si habue- a
rint axium crectos AI, CN aequales: erunt inter se a quales. Si vero duae illar sectiones fuerint aequales,
crunt axium erecta aequalia inter se. Quoniam superposita axi C H super .axim A G , cadet sectio C D se. lper sectionem A n: si enim cadere non concedatur super illam , signe- Vtur si fieri potest 2 punctum eius D , extra seditionem A B cadens : de educatur D I perpendicularis ad axim i di perficiatur planum rectangulum F N , & ab axi A G secetur A E aequalis C F; & educatur ex E
178쪽
pespendicularis B E , & perficiatur planii E I. Et quia AI, AE aequatur C N, C F , unaquaeque suo h mologor igitur planum I E, nempe, I a. ex r. 2 quadratum B E aequale est rectangulo F N, nempe quadrato DF H. ex r. 9 ergo B E aequalis est D F ; si autem superponatur axis axi cadet D super B, quae tame haud cadere conceium fuerat: & hoc est absurdum ; ergo fieri non potest , ut duae sectiones aequales non sint. Praeterea supponamus duas illas s istiones aequales esse inter se . & fiat F C aequalis E A . R. educamus ad axes perpendiculares B E, D F, & pe ficiamus plana rectangula FN, EI.
ia sectio A B cadit super sectionem C D, & A E super C F cadet inlioquin essent in eadem parabola duo axes: ergo F cadit super E, & D super B, de propterea B E potens planum E I ia. ex i. 2 aequalis erit M ER . D F potenti planum FN ir. ex 1.3; ergo duo plana sunt aequalia; sed sunt applicata ad aequales FC, AE; igitur C N, AI erectae aequales sunt. Et hoc erat ostendendum.
PROPOSITIO ILSI duae sectiones hyperbolicae, aut duae ellipses A B C, DE
F habuerint axium figuras GI, HK similes , & aequales ;duae illae sectiones aequales erunt. Si vero duae sectiones aequalessuerint, earsi figurae axiu erunt aequales, similes, & similiter positae.
179쪽
Quoniam secta conuenienti superpositione axis A M super axim DO, cadet quoque sectio A B super scctionem D Et si enim non cadit s per illam , sumatur si fieri potest eius punctum B , extra sectionem. D E cadens; & producatur ad axim perpendicularis B L usque ad P. :&zrficiatur planum A P applicatum comparatum i & secetur D N aequa-A L , & erigatur per N ad axim perpendiculaus N E producaturusque ad R, perficiendo planum D R applicatum comparat pin: Et quia A l aequalis est D Κ, & 1 L aequalis D Ni erit planum, j L, aequale pla'no KN; cumque G I, H Κ sint duae figurae similes, & aequales, pariterque 1 P, Κ R ι ergo duo plana A P , D R sunt aequalia : & propterea. EN, B L, quae illa spatia possunt i 3. is ex i. sunt aequales. Si autem superponatur axis avi cadet B L super E N, eoquod duo anguli N, & L sunt aequales; igitur B cadit super E, quod prius cadere non concedzba tur: & hoc est absurdum. Quapropter sectio sectioni aequalis est. Deinde ponamus duas sectiones aequales, utique coimgruet sectio AB sectioni DE, de axis A I. axi D N, quia si non cadit super illum , essent in hyperbola duo axes , & in ellipsi tres axes, quod est ab- Rrdia. surdum sa. 33. ex a. Et fiat A L aequalis D N , & reli
qua perficiantur, ut prius cadent duo puncta L , B supeN , E i ideoque B L aequalis erit E N , & poterunt aequalia rectangula A P, D R applicata ad aequales A L, D N 13. iq. ex s. ergo L P aequalis est N R. Similiter ponatur A M aequalis D Ο, & ed cantur C M Q, F Ο S duae ordinationes, ostendetur, quod M QIqualis est o S , & L M aequalis N O; de propterea duo plana P in, R S sunt aqualia, & similia; igitur duo plana G P, H R sunt aequalia, & similia,& L P ostensa est aequalis N R : ergo G L aequalis est H N , de A L aequalis D N a de propterea G A aequalis est D H , & A I aequalis D K.
180쪽
Quapropter duae figurae G I, H Κ sunt aequales, & similes.' Quod erat ostendendum.
SImili modo demostrabitur, quod
Eo quod axis inclinatus cst communis , & erecti sunt aequales rct cx i. &protpterea earum figurae aequales quoque sum inter se. Et hoc erat propositum.
tiales cum suis abscissis hendant angulos aequales obliquos , eadem consequentur , quae prius dicta suEt hoc erat propositum.
xlibet duae sectiones parabolicae,
ut A B, C D , quarum relationes sunt duo plana AL, C M,&erecti earum A I, CN aequales. ipsae quoque sunt aequales . Si vero duae illae sectiones fuerint aequales , utique earum applicata , & erecti erunt aequales , &c. Verba in pro uenit c applicata sunt duo plana AL, C M, &c. y casu in rextum irrepsi e
puto, eo quod rectanguia ilia A L , C M, n dum aequatia non senonuntur, sed δ contra conseruuntur, atque demonstantur aequaliat esse inter se. Quia si ponamus sagittam CH super sagitta A G , cadet sectio C D super lecti nem A B t si vero non cadit super illam, signemus super literam , in quam non cadit punctuin D:&c. Sic legenda puto. δει