장음표시 사용
181쪽
ore. τι rn textu haletur. Si enim axis C Hsuper axim A G applicatur . ita ut venires A, C coincidant, necessaria sectio C D cadet se per sectionem A B alias assignari posset punctam eius D, extra sectionem A E cadens. Praeterea ponamus duas sectiones aequales, & C P aequalis A E, &c. Textum cor raptum sic resti ruendam censeo. Praetere urponamus , duas illas sectiones aquales es e --ιer se, o fiat C F aqualis A E, educamus ad axes perpendisulares B E, D F. m. Sic enim inguitur 6pothesis propositionis a constru
Ergo sectio A B cadit super sectionem. C D. & A E super C Fi alioqui essent soctioni parabolicae duo axes ; erso F cadit super E, &c. aeuoniam sex hvomes sectiones A B, o C D aequales sunt,facta intellectuali conuenienti superpositione, μιi matuo congruent, Gr vertex A eadet super verticem C. Dico iam, axim AE cadere siver axim C F r alioquin in eadem parabola , Fcilicet in duabus parabolis i congruentibus a communi vertice C, vel A, duo axes A E , or C FEucerentur e quod es impossibile. I re axis A E cadit super axim C F.
SI suerint figurae duarum sectionem hyperbolicarum , aut duarum ell, plium, ut duo plana G I, H Κ in A B , DE smiles , & aequales ivtique duae sectiones aequales erunt: si vero duae sectiones sint aequales earum figurae erunt aequales, similes , &e. In duabus sectionibus A E , OD E sumi debent Aura G I, or H K, non qualescunque, sed ilia, quae ad axes fiunt , nimirum debent esse G A, ct H D axes inclinati , seu transues, o AI, atque D Κ eorum latera recta; tunc quidem, si Agura axium G I, H K fu rint similes, or uuales, conica sectiones B A, D E aequales quoque euenduntur in propositione. aeuod vero particula illa savium 2 aesideretur in textu propositionis , constat ex primis verbis immediate sequentis constructionis. Inquit
enim. Quoniam si ponamus axim A M super axim D O, &c. Cumque G I, H Κ sint duae figurae similes , & aequales , pariterquGI P , Κ R i ergo duo plana A P, D R sunt aequalia, &c. ia rectangula
I P , G I circa communem diametrum GIP eo sunt, erunt inter se similia: pariterque V R simile eris rectanguo K Hr quare duo rectangula I P, or X R iba furi duobus rectangulis G I, H K inter se similibus a Ur ideo illa inter se quoque similia erunt, ιν habent Latera homoleta aequalia, ilia nimirum, quae nonuntur qualibus abcissis A L , o D N , igitur rectangula P I , ct R K. aqualia
182쪽
aequalia sium inter se: sunt ver. Gerangulis N V, ct L I aequalia quoque cum Dura circa angulos rectos aequalia habeant, singula singulis ergo duo rectangi L A P , ct D R aequalia sum inter se. Quia, si non cadit super illum, essent sectioni liyperbolicae duo mes,& in ellipsi tres axes, &c. rauoniam aequales sectiones B A, E D fibi mutuo congruunt, O vertices A, Gr D coincidunt,siquidem axis A L non cadit super axim D N cum ambo tamen axes sint ) haberet unica sectis , scilicet duae se ctiones congruentes, duos axes A L, ct D N conuenientes in eodem puncto verritas , quod in hyperbola es im- sibile; in elli vero , in qua
semper duo axes reperiuntur sese secantes in centro ad angulos recros , reperietur tertius axis, ille nimirum, qui ab eodem se lice A ducitur in eadem sectione A B , ct non coincidit cum axi A L .
Ideoque B L aequalis est NE, & poterunt A P, DR,ap- iplicata ad A L, D N aequalia Me c. Guia quadrata aequaliunt R L, E N aequalia sitim rectangulis A P, D R : erunt Ega aequalia , or eor scatitera A L , D N facta sunt aequalia et igitur retiqua duo latera L P , N R quatia quoque sunt. Simili modo ostendetur, quod M adaequalis es O S, seu LT aequalis es N V, 9 L M, seu T α' equalis es N G, seu V S; erant autem prius L P, N R aequales; igitur residuae P T , or R V aequales erunt, sed quia T 4 , ct G L sunt haralistae pariterque V S , or H N; ergo ut T P ad P L ita es ad T ad L G, Amili modo it V R ad R N ita est S V ad N H; halens v ro duae aequales T P , ct V R ad duas aequales P L , O R N eandem proportionem, igitur duae aequales ad T , o S V eandem proportionem habent ad LG , orN H , o propterea si erant aequales, ct ablaιis aequalibus A L, DN, erunt reliquae A G, ct i inter se aequatis, o habet G A ad A I eandem proportione, quam: T P, seu q-- S V ad V R; paritersi H D ad D Veso S V ad UR Aropter parallatis e militassine triangulora 9 igitur ut G A ad A I ita erit II Dad
183쪽
ad D V, ct propterea etiam consequentes A I .ct D K comprahendunt angulos rectos A ,σD; ergo Aura G AI, ct H D A smiles sunt inter se, o aruales.
ΙAm ergo demonstratum est , quod duo
vertices tympani sunt similes, & aequales , & inclinatus communis inter utrumque verticem 16. cx i. ergo figura est communis, &c. Haec propossis es veluti Corollarium prima partis sicundae propositionis In qua osten rem est, quodsi duae ινρerbola habuerint axium figuras aequales , or similes, erunt nive sectiones tua aequales, o congruentem,ent vero sectiones opposita A B , ct DE quae vocantur Vertices DNaηι ab Arabico interprete J figuras D A H, or ADI axis DA aequales , σsmiles ut in t primi libri demonstrauis Apollonius 2; ergo sectiones ou Attae aequales erunt inter se, ct congruento.
SImiliter constat, quod si potentes contineant cum suis abscissis angulos equales obliquos, iudicium cst, quod memorauimus lin lectiom-bus , &c. Sensus huius propos Ionis talis est. In duabus semonibus comos, scum earum diametris sed tim applicata com neant. angulos aequales , non rectos, ct earum latera recta sint aequalia in parabolis , m retiquo vero sectusebas latera recta , ct tran- ι
fures aequalia, haut figura 1 I C ui e aequales sint; erum s ctiones usae inter se aqua Ies r o e conuerseo si secti nes aequales fuerint, habe-bum latera aequalia earum aiametrorum , cum quibus ordinatim applicata angulos quales, non rectos continent.
Demon rationes non Vponuntur ab A Aonio, quia Udem et erbis omnino iurisdem figuris absolui poseunt. Sint enim primo duae parabola A B, ct C D. a que earum diametra A G, ct C H e ciant aequales angulos F, ct E. cum orae natim ductis D F , o A E , sintque latera recta A I, C N aequalia. Dico , si Ziones
184쪽
iectiones aequales esse. Sumatur quod ibra panctum B in sectione B A ducaturque ordinatim applicata B E ,sceturque C F aequato A E , ct aera Iur oraenatim D F. Manifestum es, rei Iangula E A I, σ F C N aequalia e cum latera sint aequalia ,singula singulis I ; his et ero rectangulis aequalia Ium quadrata er- D. dinatim applicatarum B E , D F ; ergo is quadrata Funt aequatia, atque eorum latera B E , D F aequalia quoque. M uisur parabola superponantur ua , ut
punctum E super F , ct Hameter A E super C F cadat, necessario iunctum Asuper C cadet propter aequalitatem ablis aram atque punctum B Iuper punctara incidet propterea quod anguis E, Gr F quases sunt, 'ruerque rectae Γ Ε, ct D F sum aequales , or quia quo tibet punctum B parabolae A B cadit semper funer sectionem C D ; ergo duae sed Ziones B A, O D C δι muttio congruunt, ctiaco aequales sunt. Non secus conuersum huius propositionis demonstrara potes.
Altera vero pars propositionis breuius de mons,abitur hac ratione. In dualus sepe Iis, aut elli stas e ciant ordinatim applicatae
R E, D F cum diametris A E, es C F angulas aequales, ct non rectos sntque transi res latera G A, ct H C aequalia , pariterque laIera νecta A I, o C N aequalia. Dico, sectiones N A , C D aequales ese . Sumatur quodlibet punictum B fctionis B A, ducaturque ad A Ediametrum ordinat m applicata B E , seceturque C F aequatis avssae A E, ducaturque F Dad H C F diametrῶ ordisatim applicata. Erit rectangulum G E A ad quadratum B E, ut latus transversem G A ad rectum A I ; paritemque rectangulum H F C ad quadratum F Derit, ut H C ad C Ne habent et ero duae aequales G A, cr H C eandem proportionem ad duas
aequales A I, ct C N ; igitur rectangulum G EA ad quadrarum B E eandem proportionem hobebit, quam rectangula a II F C ad quadratum D F, sunt vero rectangula'G ΕΛ, H F C aequalia interse quandoquidem eorum latera A E , C F facta sunt Baequalia ) quae addita inisA G, ct C H aequatibus efesciunt latera E G ,
lia sunt inter se I G ideo ordinatim avticatae B E , o D F aequales reor. Quare facta, ut prius , int Pectuali seuperpositione ; nedum vertex A super C, bd etiam quodubet punctum B sectionis A B super sectionem C D cadet; ide
que sectionessiti mutuo contruent, cz aequales eruH.
185쪽
naret, se idea a communi vertice A, Acta qualibet diametro A E , mel CF, ad quam ordinatim applicetur qualibet B E , seu D F in angulo non roetosntque latera transuersa, ct recta G A, AI, atque H C , C N. Dico , huiusmeri latera, ct figurae seu recta-guia G A I, H C N aequaba, ct sim lia esse inter se, se sibi mutuo congruentia. Si enim hoc veram non es, e rum diametri G I, o H N similiter ρ sita, se subtendentes communem -- gulum A non coincident; ct ideo aequid antes erunt aut se mutus secabunt in uno puncto e ducatur ergo a termino E alicuius ordinatim applicatae B E recta dinea E M parasiela lateribus rectis A I,C N, ita ut secet Hametros figurarum supra aut infra occurseum in duobus punctis M , ct O. Igitur in sectione A Bidem quadratum ordinatim applicatae B E, seu D F aequale erit rectangulo A EM, ct insectione D C aequale erat rectangulo C F O, Iuntque abscissae A E, ct C F aequales ; ergo M E , ct O F aequales inter se sent: pars , ct totum quodes absurdum: Non ergo latera figuraram inequatia sunt. aeuod erat ostendem
Continens Proposit. III. VI. VII. & IX.
Onisectio non est aequalis sectioni quae eiusdem generis cuilla non sit.
Etenim ellipsis non crit ae qualis alicui parabolae , aut hyperbolae ; quia illa est terminata, hae vero sunt indeterminatae .
At parabola DE F, cuius axis es D I non crit aequalis hyperbolae ABC, cuius axis A G , & inclinatus A H. Quia si abscindantur A Κ, Κ G aequales D L, L I,& educamus ad axes perpen diculates ΒΚ, CG, EL, FI: Dico, quod sessio D F non est aequalis, sectioni
186쪽
secitioni A C; quia si esset aequalis illi , facta superpositione , sibi mutuo congruerent, & caderent puncta E, F, L, I, si per B, C, G, Κ, & esset F I aequalis C G, atque E L aequalis B Κι ideoque quadratu F I ad quadratum E L esset, ut D I ad DL xy. ex, essetque quadratum C G ad quadratum K B, ut A G ad Κ A, quod cst absurdum; quia illius proportio ad istam est , ut II G in C A ad Η Κ in Κ A et O. ex i. Igitur isectio parabolica non est aequalis sectioni hyperbolae , nec scistio aliqua aequalis est sectioni, quae non sit eiusdem generis ; Et hoc erat osten
Vaelibet duae sectiones A B C, & D H F, quarum portio superpolita portioni alterius congruit, sunt aequales
inter se. Alioquin congruat portio B C porti ni E F , at non cadat portio A B super Ia E, sed cadat in situ E G, & educamus lineam tangentem duas sectiones in H ,&educamus E I, D G F parallelas tangenti ; & ex H ad semipartitionem ipsius E Iducatur H Κ , quae occurrat D F in L. Et qoia H L secat bifariam lineam parallelam tangenti ab eius termino ductae ; rgo est diameter uniuersae sectionis s. ex 2.9 quare bifariam secat unamquan-que eκ D F. G F, dc fiet D L aequalis GC,.quod est absurdum i igitur sectio A BC tota congruit sectioni D H F. Quod reat ostendendum.
a r Vae ordinationcs axis in qualibet conisectione abscindunt I a sectione ex utraqne parte axis duas portiones, quarum si una alteri superponatur sibi mutuo congruent, nec congruunt i alicui aliae portioni sectionis.
187쪽
Sit conisectio A B C, &eius axis B D,&sumantur in sectione puncta G, C, ab eis cduc turduae ordinationes GH, C A occurrentes axi
in I, D. Dico, quod B G congruit B H, & GC ipsi H A , & superficies B D C supersciet BD A . & segmentum B G C segmento B H A. Quoniam axis B D bifariam. diuidit G H, A Cin I, D , utique G I ipsit I Id congruci, & D Cipsi D A , & duo puncta G , C super duobus punctis H, A cadent,& portio sectionis conicae G C super portionem H A , & G B super H B:
Et dico, quod portio H A non congruit alicui alteri portioni, quam G C si enim possibile est cogruat portioni C Κ, & por- . tio H B congruet portioni, quae continuatur ipli Κ C; ergo cadet B ex H B non super B ex C G B: quia portio H B non est aequalis portioni C B; & propterea incidet axis B D in alium locum, coentque eidem sectioni plures axes : quod est absurdum ; r. Sa. CX a. igitur non cadit H A nisi super C G. Vt fuerat propositum.
Anifestum est ex demostratis, quod portiones sectionum a aequalium non congruunt sibi inuicem , nisii carum distantiae a verticibus sint aequales.
Ostensum enim est sibi non congruere, quarum distantiae a verticibuς non sunt aequales, quia portio H A , si caderet super portionem C Κ, &carum distantiae a B non ossiciat aequales, consequitur, quod in hyperbola sint duo aves , & in ellipsi tres axes : quod est absurdum i. 32. 33. ex 2. Si autem in ellipsi cadit axis A E transuem sus super axi in rectum illius , utique differunt intcr se, & non sibi inuicem congruunt sectio
Constat etiam , quod in sectionibus inaequalibus, ut A B C , D E F portio unius carum non congruit portioni alterius. Alioqui congruet B A ipsi DE, & congrueret etiam E F ipsi B C 6. ex s. essetque sedito C B A aequalis sectioni F E D: at supposuimus, non esse aequales, quod est absurdum:
188쪽
ergo non congruit portio alicuius 1ectionis portioni alterius sectionis, cui aequalis non est. Et hoc erat ostendendum.
ETenim ellipsis non est aequalis alicui hyperbolae, ece. Suppleri debetia
textu verbum parabolae dicendo. Etenim Agusis non est aes ualis alietii parabola, aut fperbolae, quia ilia es determinata; hae vero sunt indeterminatis, scilicet elli s est sinita parabole vero , ct fperbole in infinitum exiendi possent, ct propterea nulla ratione aequales seniantur.
ORdinationes axis in qualibet hype
holarum abscindunt a sectione ex utraque parte axis duo segmenta , quae, si cadit unum super alterum , sibi mutuo congruunt, nec eXcedunt, nec deficiunt, nec congruunt alicui portioni sectionis,&c. Expungi debem verba aliqua suius t xtus superuacanea , ct aliqua adiungi, ut sensus continuus talis M. Duaordinariones axis in qualibet confectione abscindunt a sectione ex τtraque parte , axis duas portiones , quarum una asteri superposita sibi mutuo congruent, nec cogruunt at cui aba portioni sectionis Quoniam axis B D bifariam diuidit G H , AC, dcc. Ex eo enim quod omnes applicatae ad axim B D secantur bifariam ab Eo,
Vaelibet duae sectiones A B C, DEF, quarum unaquaeque literarum , superposita literis alterius congruit : utique sunt aequales, &c. Laegendum puto. ualibet duae seriones A B C , o DE F , quarum portio unius, alterius portioni superposita congruit sunt aequales inter se.
189쪽
Agis, o ad angulus fictus , s inie igatur super Pus B I G, superpassa seper
eiecB I H, II aut axis fit per axim cadat, atque vertex Esit communis necessario punctum I commune erit, atque recta I G caau super i H, cum an uti GI B , ct H I R HED ι , atque punctam G cadet Is si , propter aquatitatem duarum ordinatim applicatarum I G, I He eadem ratione quaelibet aha puncta
sectionis G B inire G , o B sumpta cadent super B H ; or ideo ρσν io sectionis conicae G B contruet portioni R H, o eidem aequatis erit. Simili modo consis, portionem G C aequalem me portioni H A , orsit superficies ipsae. od et ero portio H A non conis gruat alicui alteri segmento C L praeter G C, conflat ex eo, quod si portiones X C, O A H sibi mutuo congruunt, ut nimirum punctum C super H, o punctum K super A cadat: ct concipiatur puncyti C irim ac te, est R idem ac O , o portio O N L. aquatis immo eadem sectio Κ C A , ori iluus axis iL M omnino idem ac axu B De tunc quidem precedenti prop. 6. siectiones ipsae A B , UT K B, sea O L aequaos erunt, ossis mutuo ccngruentes : or propierea H B cadet super portionem maiorem C Rhea ei aequalem N B L c cum H B aequalis senissit ipsi G B ct ideo vertices R , ct L Haram axium B D , o L M in duabus sectionibus A B , ct Κ S seu . O N L inaequatibus non conueniente quapropter in duabus co ruentibus, seu meadem se Zιone duo axes B D , o L M exsent, quod es absurdum , quia es. contra propos 48. MN a.
MAnifestum est ex demonstratis , quod portiones sectionum a qu, alium non congruunt, &c. Sicura ιν pro f. 7. Eictum es, quod duaportiones non aequaliter a vertice axis aei stantes bι mutuo congruere no possunt, ita his in duabus quibuslibet aequalibus confectionibus idem veri scara o M tur, quoΗ nimirum duae portiones cuiuslibet sectionis conicae, ves duarum aequolium sectionum inaequaliter a vertice axis distantes non sint congruentes. Hae autem alia ratione demonstrare superuacaneum non erit, cum demonstratio, quae in textu Arabico corrupio assertur non omnino fissiciens videatur , sed prius ostendendum es.
IN duabus aequalibus confectionibus ABC, 7 DEF, quarum
axes A G , D H describere duos circulos aequales contingentes em cas sectiones , quorum is , qui propinquior est cortici extrinsecus , resequus mer. intrinsecus sectionem tangat.
190쪽
. p. lib. . g. Adclit. dib. s.
In siectione A BC ducatur ramus ίreuis cins gularis I L secans axem in G, Atque I punctam concursus perpendis laris I K ,ε breui cantis I cr a quot bet punc Io A inter L , or verticem A ducatur altas ramas br nisecans B M , qui occurret L I et sera aximi, at, or inter puncta G , UT II coniungatumque recta linea B I. quoniam angulus L G A a Ius es, erit a rius G M Ninternus , or oppositus in triangulo G M N minor illa , ct ideo acutus , se H U t purea qui Hinceps es angulus B M I eris sit os , ct idis in triangulo IRM νψ latus I B subtendens maximum angulum obtusum maius erit latera B M in ramus I L mator es, quam I S , propterea quod remor or ess a vertice A , igitur 67 ἰse s ramus I L. maior erat, quam B M: Secari ergo poterunt aequales rectae dineae L R, A S , quae sint minores quinde , quam I L, sed maiores, quam M E :ὐ desicribantur duo circuli, quorum rao sint S R, ct R L aequales, atque centra sim S, es R; Manifestam es circulum , cuius radius A S comin ere confectionem A C ια ' . puncto B, ct extrinsecus incedere, propterea quod rarius B S maior es max: breuisecantum M R a concursu M educto ; e contra circuias radio R L descri- . Addita plus intrinsecus continget eandem confectionem in L cum ramus M L minor sit a singulari breuisecante L I. Tanis in sectione D E F secetur axis abscisa D Haequalis A N, cr in angulo D H P aequali angulo A N B ducatur radios T H P, qui flat aequalis S R , circeiro T radio vero T P circulus aescribatur. Et quia infectionibus aequalibus abscissae, breuisecantes, anguli ab eis contenti, o circa δε descripti sunt aequales, Cr congruentes ; igitur circulus radio T P desicriptus , contingit confectionem D E F extrinsecus: Acusa circubis radiν S E lauciat sectione' A R C in B extrinsecus. Vt erat proposittim.
t demonstrat o ostendetur , quod in duabus confectionilus ASC , PROP. r. D E F aequalibus, quarum axes A G , D H distae portiones B C. , έν δ '
E F non aeque ab axium merticibus remotae non erunt fili congruentes. Si enim ρ sibile es B C, o E F i mutuo congruant , o sumatur interm
dium punctum commune, vel duo Iuncta coincidentia L , O P, es quia porti nes B C , E F inaequaliter distant a verticibus, ergo puncta coincidentia L , Pnon erunt aequin a venicibus remota; sit ergo P propinquius vertici D, quam est L et retici A, or per L, or P ducamur re r.etineae L O, P tangentes sectiones, ct ex Iomatae praecedenti describantur duo circuti
P , quorum Z T extrinsecus tangat sectione in P , or V X intrinsecus in L , cumque e ram rady I L, S P sint breuisere res, re γnt perpendiculares ad Lo , P contingentes sectionem in L , o P ; atque portiones B C , E Figi mutuo congruuAt, Hesrconytituunt unicam communim peripherram , ergo rectae tineae L O , P contingentes eandem sectionem sibi mutuo con ruent , pariterque breuisecantes aequales L I , P M ad illas perpendiculariter in entes erunt congruentes quoque rict propterea circuti V X, Z T ab dis O s geniti erunt quo7ue congru