장음표시 사용
191쪽
entes ; ideoque si us eorum, nempe Z T extrinsecὰs tangit commvncm portionem coniram B c , reliquus V X extrinscius quoque eam ranget, seu ex conseructione intrinsecus sectionem tangebat, quad est absurdum et Non ergo duae portiones Γ C , ct E F non aequὸ a verticibus axiam remotas bι mutuo congruent. disd erat sendendum .
Si autem cadit in ellipsi axis AC transuersus super axim rectum illius; utique excedit illam,& non sibi mutuo congruunt sectiones,& quaedam coneruunt, &c. Sensus est. Si inultigantur duae rei es, habeates axes transuersos A B , o G H aequales inter se, pariterque axes rectos C D, I K aquales: ct axis A N tram suersus unius ponatur si per I Κ axim rectum aDurius, ita vi centras i muttio congruant ιn E trunc quid m , quia axes in ellipsi inaequales sent γ alia, esu circulus 2 igitur extremitates axis tram os fies A B non cadunt supcr extremisates axis rem K I, neque G , H cadunt se per C, D a se id a circumferemiae est: am se is tuis in locis, et i in libro φ
SI per centrum E cllipsis A B , C D transeat C usque ad sectionem ; utique bifariam diuidit superficiem sectionis, S circumferentiam illius , scilicet erit superficies A BC aequalis superficiei A D C.
Nam si A C suerit axis sectio nis, utique circumserentia ABC congruet A D C , nam si non co-vruit signemus locum B, quod albteri sectioni no coincidat,&pro ducamus ex illo perpendicularem
B F super A C usque ad D. Ergo B D ordinata est ad C. A , &propterea B F superposita e ru- ei ipsi D F , & eadet B super D, quia B F aequalis est D F 8. exi D, sed non cadebat super illum ; quod est absurdum. Igitur circumlee
192쪽
Conicor. Lib. VI i y srentia A BG 'qualis est circumferentiae A D C , & superficies illius ae qualis superficiei. Iam linea G id transiens per centrum ellipsis non sit axis . Ducamus ex G, H super axim C A duas perpendiculares G I, H K , quae pertingant ad L, M. Et quia si ponatur A D C super ABC, congruit G Iiuper LI s 7. ex s. 2 & cadet G super L , quia G I. aequalis est I L , &endit eircumferentia C G super circumferentiam C L; ergo superficies Ct G aequalis est superficies C I L : & quia B C D congruit B A D, &si perficies superficiei, cadet C I super A Κ, & L I super Κ H , & circumierentia C L super circumserentiam A H quia E I aequalis est ΕΚ &superficies C I L congruit superficiei A K Hi & propterea superficies AK H aequalis est G I C,&triangulum EGI aequale est triangulo E ΚΗ: itur superficies A E H xqualis est superficiei G E C,& circumferentia A H aequalis est circumferentiae G C, eritque circumferentia C D H, &superficies eius aequalis AB G, & superficiei illius. Quare G H transiens per centrum sectionis A B C D bifariam eam diuidit. Et hoc erat osten
SI militer constat, quod si ex quolibet quadrante ellipsis se-
centur circumferentiae, per quarum extremitates recta lineae coniuncta sint ad eundem axim ordinatim applicatae , &aeque a centro remotae; utique sunt congruentes , & aequales, nec alicui portioni eiusdem sectionis una illarum aequalis est.
Nam demonstrauimus , quod duae superficies G I C, L I C sibi congruunt, nec non congruunt , duabus superficiebus H AK,M A Κ s. ex 6.9; dc si eduxerimus duas ordinationes NO , P Q, quarum distantiae in centro sint aequales , simili modo ostendetur, quod superficies N R C , O R C, A S Q, A S P sint congruen-O , A Q , A P sint congruentes, remanebunt quatuor segmenta G N , L O , H Q, M P congruentia , & superficies quoque eorum congru-cntes. Et insuper dico, quod quodlibet horum segmentorum non congruit alicui alio stamentia; nam sequeretur , quod in eadem ellipsi sint tres axes, uti dictum est. Quare patet propositum. N Z
193쪽
ATque B C D congruit B A I , & superficies superficiei, &c. aniam ras Aura B D es axis et sis per censrum E ductus; ergo ut in prima parte huius tropositiems dictam effossi mutuo congruent semitatiraei A C D, ct B A D.
NAm demonstrauimus, &c. Exposito huius
propositionis haec erit. Sit ellipsis A A C D, euius axes C A , ct B D , ct in quolibet eius quadrantesignentur tales circumferentiae N G, O L, Ha , M P , τι coniunctis recta lineae O N , G L, Has , a P sint ad axim A C orae natim anticat e- cantes eum in R, I, K,S; sintque binarum extrema=um N O, P a a centro E HRantiae aequales E R, E S,Cr binarum intermessiarum LG,HMaequales arentro di antia E I, E Kolendendum es segmenta G N. L O, H α, M P aequaliae e.
Et insuper dico, quod quodlibet horum sese
a Vriantibus humantur segmenta G N , cst 'M P non aeque ab axis Certice B vel averticibus A, C eiusdem axis remota, non erant congruentia, τι deducitur ex propos r. additarum huius.
Continens Proposit. XI. XII. XIII. R XIV.
Vaelibet sectio parabolica, ut A B, cuius axis B C, & ere ctum B D similis est cuilibet sectioni parabolicae, ut E F, cuius axis F H, & erectum FI.
194쪽
Ponamus itaque C Bad B D, vi H F ad p I, & dividantur tam B C, quam F H in punctis Κ , L , M, N in eisdem rationibus, & educamus super eas ordinationes OP, R, AS, TV, XY, E L. Quia B C ad B D est vi H F ad F I, & A C est media proportionalis inter C η, B D .ex r. pariterque E H inter H F, F l ir. ex i. 9 igitur AC ad CB est, ut E H ad H F , & A S dupla ipsius A C ad C B est , ut E Z ada H Fi cumque B C ad B L posita sit, vi H s ad F N , erit B D ad B L, ut I F ad F N: igitur Q R ad L B est ut X Y ad N p; atque sic ostendetur,
Quod o P ad K B est , ut T V ad 11 F , quare proportio Ordinationum axis unius sectionum ad sua abscilla est, ut proportio ordinationum alterius ad sita abscissa,& proportiones abscissarum unius sectionis ad abs eissa alterius sectionis caedem sunt. Quare sectio A B similis est secticini EF. Quod erat Ostendendum.
SI duarum hyperbolarum , aut ellipsum duae axium fgurae fuerint similes , utique sectiones similes crunt: Si vero suerint sectiones similes, figurae etiam similes erunt.
Sint sectiones A B, E F, earum axes inclinati, vel transuersi B a. F b,& erecti earum B D , F I, & maneant signa, ordinditiones,& proportio-o nes caedem, quae in praecedenti propositione ὶ Quoniam figura sectionis
Ex Ir. lib. I. Desita huius. I a
195쪽
Arabola non est similis hyperbolae , neque ellipsi.
Hyperbolae, seu ellipsis A B sit axis B C, & inclinatus, seu transuersus a B a, & E F sit sectio parabolae, cuius axis F H. Dico, quod sectio E Fnon est similis sectioni A B hyperbolicae, aut ellipticae, alioquin sit simi,
A B similis est figurae sectionis E F, erit quadratum H E ad H b in Id P, vi quadratum A C ad Cain C B;&bH in H l, ad quadratum H F , ut a C in C B ad quadratum C B nam posuimus H F ad F b, ut C B ad B a ergo ex aequalitate, quadratu E H ad quadratu H F est , ut quadratum A C ad quadratum C B : & propterea E Z ad Id F est ut A S ad CB; Atque sic ostendetur , quod X Y ad N F sit ut QR ad L B , & T Vad M F sit ut o P ad K B ; ergo proportiones ordinationum axis unius carum ad sua abscissa sunt eaedem rationibus aliarum ordinationum axis ad sua abscissa , & alternative. Quare duae sectiones sunt similes. E contra ostendetur, quod si duae sectiones fuerint sim, les, earu figurae similes qu Ex def. que erunt. Quia est A Cadi,vi C B ut E H ad H F,&eandem proportionem habent
quadratum H F ad Id F in H b est, ut quadratum C had C B in C a quodH F ad F b posita fuit, ut C B ad B a J ; .ergo CX ae qualitate quadratum E H adb H in H F , nempe I Fad F b ao. ex' 1. est', ut quadratum A C ad a C in C B, nempe ut DB ad Baceto. exi. ; quare figurae duarum sectionum sunt similes. Et hoc erat ostendendum.
196쪽
lis alicui earum iri possibile est ergo possumus educere in singulis sectionibus potentes , quae habeant ad sua abscissa axium casde pr Portiones , & abscissae inter se sint proportiona
M V in potentia, nempe N F ad. M F cum sectio sit parabola I9. cx 1. 9 nempe L B ad B Κ ex contructione erit, ut R L ad Κ P potentia, Mib iquae candem proportionem habent , quam a L in L B ad a K in Κ B ;quia sectio est hyperbolae aut ellipsis Z ao. ex i. ) quare a L in L B ad a Κ in Κ B est, ut L B ad B Κ; quare a L est aequalis a K: quod est absurdum. Igitur parabole non est limitis vlli reliquarum sectionum. Et hoc
Τ sic ostendetur, quod hyperbolae non est sinulis ellipsi.
Alioquin sequitur , quod quadratum R L ad quadratum K P, nempe a L in L B ad a Κ in Κ B in hyperbola est, ut quadratum Y N ad quadratum M U , seu ut ι N in N F ad b M in M F in eblipsi. His positis i quia L B ad B Κ posita fuit, ut N F ad M F ι ergo a L ad ga Κ candem proportionem habet,qllam 2b N ad ι Mi de hoc est absurdum. Quare sectio A B non est similis E F; visu rat propositum.
197쪽
is 8 Apolloni j Pergaei. M O N I T V M.
principio huius libri monuimus , desinitionem similiam conicarum stationum , t e circunfertur, mitiosam esse ; quod hic ostendendum
juscepimus : sed prius Lec demon inanda sunt.
IN duabus conisectionibus AS , E F eiusdem nominis sint axium si tirae G R D , x F I similes inter se, idest transuersa latera GB, X F proportionalia sint latexibus rectis 'B D, F I: duci debent in singistis sectionibus series appl tarum ad axes , ita et i axium abscissae proportionales sunt inter se ad conterminas potentiales non sint in itidem
His duae abstima PC, FH, reorum C s ad B D habeat maiorem ' portiouem, quam haber H F ad F I, ct c R , H F secentur pr portionaeliter in R, V , o ter e sua D ducantur ad axes ordinatim appocatae AC , E H , R, T V. Doniam 1,adratam A C ad recta gulum GC B eodem proporti
nem babet, quam latus rectum D B ad trans sum G R , partu quadratum E H ad rectantulum L H F es τι DF ad F A; atq; D R ad B G ex ει thesis τι I F ad F Κ : erga quad num a C ad recta fulum G C B eandem portionem habet quam quadratum E H ad recta utam A H F : or quia G Rad B D est ii K F ady I , ct D B ad B c minorem proportune habes quam I F ad F H, ergo ex aequali G B ad BC, minorem Proponoonem habet quain F F ad F H,ς componendo in h*erbola , ct diuidendo in eli G C ad C Rhu recta alum G C B ad quadratum B C minorem proportione tabi bit quam si H ad H F, seu quam rectangulum K H F ad quadratum F H : erat autem quadratum A C ad rectangulum G C R τι quadratum E H ad rectangulum ΚH F : ieitur ex aequat quadratum A C , ad quadratum C B minorem prop'r-tioncm habet quam quadratum E H ad quadratum H F, ct ideo A C a c d
198쪽
minorem proportionem habebit, quam E II ad H F. Pe ea quia o R ad B Rerat vi H F ad F V, ct prius G B ad B C minore proportionem habebat, quam K F ad F H, ergo ex aequati G R ad B R minorem proportionem habet, quam K F - F V, ct componendo is 6 Mola, o diuidendo in empsi G Riad R R, seu rectangulum G R B is quadratum B R minorem proportionem habet, quam .K V ad V F , seu rectangulum V V F ad quadramm V F : sed propter simiuintudinem Durarum, Gyrius quadrarum I R adrectangulum G R B es ut Maerata T V ad rectan ulum L V Fi ergo ex aequali qua ratum QR ad quadratum R R minorem proportionem habet, quam quadratum T V ad quadratum V F , o ad R B minorem proportionem habebit, quam T V ad V F. Et sic reliqua omnes abscissae: quapropter patet propositum.
HLnc constar in duabus similibus confectionibus duci pose duas series V Acataram ad axes, Daut abscissae axium, quae inter se proportionales sunt, ad Das potentiales non ι in i dem rationibus. uandoquide ex prima parte
propositionis i a. quotiescunque axium Aura smiles seni etiam sectiones et sint similes.
IN iisdem si uris habeat G B ad F D maiorem Proportionem, quam
X F ad F I disti debent duae. ordinatim ad axes applicatae , quae ad contai minas alsci illis eandem proportionem habeant.
Dacatur quaelibet ordinata E H , producanturq; τι fecet coniunctam L, ct τι DR ad B Gua Di L H ad H N , atq; Lat G C ad B C, et iN RH F, ducaturque ordinata A C; quae producta secet coniunctam G D in P. co A C, ct E H me quaesitas. riuoniam quadratum A C ad rectangulum G C. , B eandem poportionem habet, quim D B ad A G, seu L H ad H N, Oμ recta. suLm G C B ad quadratum BCes τι G C ad C B, seu is N H ad HF , ergo ex aequalitate quadratum A C ad quadratum C B es τι L Had H F , seu vi rectangulum L HF ad quadratum H F ; vel potius τι quadratum E H ad quadratum H F i ideoque A C ad C B erit τι E H ad H F . Vuod erat proposi
199쪽
i B D maiorem proportionem hasi erit, cuam x F ad Fin si ubi sectombiis reperiri non pese binas axitim οἷ-
dem rationibus. Si enim ieri potes. sit A C ad C E, ut E H ad H F, R ad Ir B sit, ut T V ad V F, atque CB ad B assi ii H F ad F V ; eou- At
tu antur recta G D, Κ I quae sicei ordinatas ιn S, P, X, L ;cr secentur C a aequatis RS,θα b aequilis V X, seu is aequii antes ergo coniung ntes S a, R C aequales Iunt, Ur parallelae , o sie etiam coniun. ontes X b, cse V H, quare quadratum A C, seu rectangulum P C B ad quadratum C S eandem proportionem habet, quam quadratum E H, seu rectaneu iam L H F ad quadrarum H F; ideoque P C ad C B eandem proportionem habet, quam L H ad H F; est vero C E ad B R, ut H F ad F V , operconuersi nem rationis C B ad C R est τι H F ad H V , ergo ex aequali C P ad C R es mi L H ad H Vr Eodem modo ostendetur, quia S R , seu a C ad R C es, et tX V, seu b N ad V H erat autem P C ad C R τι L H ad II V terga a P aes ferentia ipsarum S R, P C ad G R , seu ad S a es ut b L disierentia ipsarum T V , L H ad N V, seu ad X b; esque D B ad B G to P a M S a propter paralditis a S , C G, or parat las a P, or B D 2 parueroue ι F ad F K es vi L hiaba , ergo D B ad B G eandem proportionem habes, quam i F ad F K ;quod es contra 'pothesin, non ergo bina axium abscissae inter se proportionales reperiri Vssunt in sectionisius A B, ct E F, quae is conterminas potentiales istin eisdem rationibus; quod erat ostendendum.
HInc constit in duabus femoribus ei, em nominis si axi Durae G I nct L F I non fuero is miles, neque sectiones A B, ct E F -- ίes esse. Nam es imp bile , ut omnes , idest insinitae axium abscissae inter se proporti nates ad conterminas potentiales stat in eisdem rationibus, cum neque binae , Ita θs reperiri possint ex hac propositione.
200쪽
IN ibrim figuris rursus G S ais B D maiorem proportionem habeat,
nam x F ad F I: Dico quod minime reperiri possunt axium ab scisae erectis proportionales , quae habeant eandem rationem ad conterminas potentiales. centur quaelibet assicissa, B C , F Η ara ut C B MR DμτtΗFad FI . se ducantur ordinatim ad axes anticata A C, E Η, qua produc a secent, comtunctas G D , K I in P, L , atque μι 'r B ad B D mi K F ad F I, iungaturque T D secans A P in M. Manisi um es rectam C M inaequalem esse C P , cpropterea quod T B minor es, quam G R, cum ad eanaem B D minorem ' portionem haseat, quam G B,rdeoque punctum T, se recta T D cadent intra triangulum G R D. is punctum M intra ipsum cadet, aut extra G D pr ductam P. maniam D B ad B T es is I F ad F X , is eras C R ad B D ut H F ad F I ; ergo ex aequali C B ad B r eris τι H F ia F Κ, ct comparando terminorum summas in perbola, o digerentias in eltiasi ad antecedentes, T C-C Berli is K H ad H F i es vero M C ad C Tvi L Had ΗΚ eo quod magula M C T, cse L H A miliastini trianguas idibus B D T,I F V, ergo ex aequab M C ad C B erit τι L H ad H F o rectangulum M C R ad quadratum C B eandem proportionem habuit , quais rectangulum L H F ad quadratu es Fined rectan uia M C B aequale no es rectangulo P C B cum M C sens fit inaequalis P CJ ; ergo rectangulum PC B, seu quadratum A C adquadratum l. G B non eandem proportionem haset, quam rectangulum L H F, seu quadratum lib. I. E H ad quadratum H F ; o propterea A C ad C B non eandem proportionem habebit quam E H ad Η F. Idem ostendetis in reliquis omnibus abscisis Aliter positis. 'uare patet propositum.
Manissum es in confectionibus non simitibus duci posse duas series applicataram ad axes, itaut absissae ius, si proportionales inter se adcxterminas potentiales non sint in Udem rationibus.
Colligitur pariter ea retendo, quod in duabus sectionibus eiusdem nominiss ae series abscissarum simitium in axibus posita fuerint, se in una se
ris abscissa ad conterminas potenιιales maiorem proportionem habeant, quam ru
ri era serie, fieri potes ut Dura axium non sint inter se similes: a uod veriscatur saltem in ca praecedentis propositionis. His praemissis, quoniam passio in definitione posita essentiatiter conuenit desiniato est impossibile , τι eissim subiecto definito competani duae parones diuersae, o Mur se Frisiia, exempli gratia eri non potes, ut in triangulis similibus au-X quando