장음표시 사용
201쪽
quando anguli Pnius inaequales sim angulis esurius , aut aliquaudo titera circa a uos aequales non sint proportionatia; ita in desinitione I dormana, quia co ni siectiones δι nsur similes in quibus omnes axium abscisae , qua proportionales sunt inter se m ysdi ni stat rationibus ad conterminas potentialis, igitur eriam
sebi ' desinita, idest in duabus fictio ibus conicis similibus, est impol iis,
reperiatur series adigua infinitarum simitium abscissarum in ambus, quae ad comterminas 'tentiales non ut in i dem rationibus , orsiquidem duae passones orpositae eidem sitibiecto desinito conueniant nulla earum erit eius passio essentialis, ct ideo desinitio bona non erit: ut exempli gratia quia in duobus s milibus ei culorum sementis Go trian uti inscripta risiant esse quianguia, er etiam non vatanguia : ergo simititudo inscriptorum triangulorum non est pasto essentialissim nurum circularium similiam inter se, or ideo non eris haec bona de nitio Similia circuloru segmenta sunt in quibus describi possunt duo triangula sina ilia, crratio est. qara per des Dionem nedum natura rei declaratur , or In μCo 6I. catur, sed etiam distineuitur , or diuersisscatur a qualibet alia i or quoniam in rem α. semonibus similibus reperiuntur duae series mitium abscissarum , qua ad con-hWi y- terminas potentiales non sunt in disdem rationibus : or e contra ex desinitionc M oro duae seritis milium ab issarum, quae ad conterminas potentiales sunt in ' em rationibus , essenti ter conuenium desinito ; igitur hae duae 'posis passiones conueniunt eidem subiecto desinito , scilicet siet Dombus I milibus iuxta Myῶτ' sententiam : quapropter tradita desistio sectionum simitium et biisse erit, o manca. Vt autem hoc clarius pateat emponantur duae sectiones A B , E Feiusdem nominis , quarum axes BC, F H, ct ρην situm prim. sis demonstrare sectiones illas esse similes inter sie ; ergo osendendum est pasis Mem desinitionis tradita conuenire I rionibus A si , E F; quod nimirum similes axium abscio ια is dem rationibus debem esse a co-
terminas potentiales , o quia i , desinitione nulti cautio , vel determinatio adhibetur , igitur fumi possunt qualibet avium abscisse R C , F H , O haec secari proportionaliter m R, V , or a punctis diuisionum duci posium ad axes oraenatim applicatae A C, E H , R, T V; ct fu onamos demonstratum esse, quod R C ad C Ast ut F H ad H E, pariterque ut B R ad R sit ut F V ad V T, tum quidem L vi de Dionis deducitur, quia similes sirui sectiones a B, ct E F. At quia demonobari potes si n, si Aonibus sumendo abscissas B C, F H ad libitum, o proportionaliter diuidendo eas in K , or V) quod B C ad C A habet maiorem proportionem, quam F H ad H E; pariterque R R ad R maiorem proportione haseas, quam F V V simper- non poterit deducι similitudo potius quam non sit u . Diiundo; ideoque desinitio milium sectionum eris vitiosa , quandoquidem ex
ea duae contradictoria deducuntur.
Secundo loco se ponantur duae se toris A A , ET E F similes inter se, O pra-ρ , Dum, sit demonstrare quσd amum figura, seu rectangula G B D , or A F I. sist
202쪽
ni similia, quae quidem, es propositio 3. 5bri q. M orgy, ei que praeparatio, seu construmo latis es c, o appono eius verba immutatis tantummodo lueriss
rara sint a sectione A B ordinatim ad axim B C applicatae binae quar quae A C, QR,& ut C B ad B R ita sit, H F ad F V, ordinatimque a sectione E F applicentur E H , T V sessequitur ristea demonstratio '. 'Quoniam igitur similes ponuntur sectiones A B , E F , & sunt H F , F VPortiones portionibus C B , B R similes , iris proportionales 2 ut B Cad C A, ita erit F H ad H E, & vt B R ad R O , ita erit F V ad V T,
Huiusmodi verba sitatibari trutina expendent sunt. In praeparatione , seu confructione assumit abscisias Γ C , o F Hla que viti lege, aut determinationei erra sumi possunt cuiuscunq; longitudinis: quare fieri potes ut C B ad larus rectum B D non habeat eundem proportionem quam hau F H ad F I, ct tunc ibiti . fcet C B , H F Hurdantur proportionaliter , o ducantur potentiales, sec. A C huiud ad C fi habebis maiorem. aut minorem proportionem quam EI H ad H F, ct pariter R ad R A non habebit eandem rationem, quam T V ad V F , o sic et Lurius in tota serie ; sed ex hoc sequitur, quod 'sint esse Dura axium μαμ se Coroll. i. Non milem, Maeorgius auum similes esse concludit i igitur ex eadem hypothcis, Len . s. or ex eadem desinitione deduratur, quod siectiones itis haberi figuras amantas i similes inter se, ct mn similes, quod es impossibile ; non igitur de nitio a MDGrgio tradita legitima , ct persecta est: quod fuerat sendendum. adrod vero ae sinitio a me reformata tribui possit Apollonio conjeitur praeci e ex rimon atione secunda partis propor. ia. iti enim ex hac suppos me, gae
sitieti diu siectiones A P, ct E F sint similes deducit earum figuras similes esse. Ait enim. quia est A C ad C B ut E H ad H F. & eandem proportioni habent earum quadrata', atque quadratum H F ad rectangulum t FH bcandem proportionem habet quam quadratum C B ad rectangulu B C a
curate hae meus perpendamur non poterit hic usurpari vulgara desinitis Eut ry , vel M o di; nam cum sectiones A B , E F supponantur similes, ea rammmmodo quae in desinitione milium fictionum perhibemur concedi pomani, O nihil amplius ; initur si in desini ιιὼne non ineluditur particula Ala s assii is F, C R ad erecta, et es transuersa latera F b, Γ a sint proportionalia J deseram. X a tisp
203쪽
esset dicere. Eo quod H F, ad F b posita suit ut C B ad tuea; et bi nam, aut quando hoc senas tum s , si in definitione nou
re Ue, com in alijs locis reperantur , ct ab eis pendeat tota demonstatio a igitur in de i-tioue vulgata addenda es illa particula , abs ista sint in ea- dc in ratione ad erecta ;Rursus in propos G. ct i. parte i a. quando conclasio demonstrationis es quod sectiones A B, E F Dies sint e tunc quidem quia tenetur ostendere Apollonius desinitionem traditan conuentre sectun/bus A E,E F , non a uuiit incause abscissas homologas C Ε,
Π F , sed a/t m l . propiati e ponamus CB ad BD ut H F ad F I, cris tr. ιnquis, nam posuimus H F ad F ί ut C B ad B a, &e. Postea in ρν positione i6. site .a: ergo M A ad A P , iis absit a ad exedram est ut OC ad C rusio et i homolata asscisia ad latus rectum, & angulus O aequalis est Mi patet igitur , ut diximus in o. ex ε. quod si, &c. Ex quibus locis fatis aperte cactigitur cuι fallor id qνod supra rationibus Mon lembus in nuaui , quod absci ae 'oportunales esse debent erectis in stationibus simitibus.
, T dhu ammadiaei tendum es, eandemi de uisuem no se aequo aptini mc Domi ars conicu, atque segmentis coincis simia sus ,'t per per a censuit Myd. eius: nam in sigmentis conicis siruidibus ABC, e ID EI F Hamororum aeque ad bases melinatarum ab me homologae ex his natura determinatae siunt, quam do idem non pa Ut me maiores, neque Misores quam G S, ct H EI, qua inter basis A C, o D F sigmentorum coicorum, se vertices B, E intercipiuntur propos . at si in contris sectionibus A R S, cse V FG sint aris transuersis a B, 9 b Fa r. huius aE sitii Iarer a recta fi D, cor F I in GVem pro νι one, soc quidem I nrtos ib. I. runt curua lineae A B S, es V F G, qua posiunt habere indeterminatas, ct multiplices longitudones , imma possent in insultum nolungari, si fuerint parabae
204쪽
et ei h perbolae, nec halent bases, a quibus circumscribanIur, igitur in sectionibus simitibus Λ B, ct G F homuera axium assicisse B C, F H non supponuntur iam dis Iae, se determinatae; quare possum e cui anque mensura, ct haberepossunt eandem , ct non ean em proportionem ad conterminas potentiales ; ct ideo ad vitandam incertitudinem adrangi daebet determinatio , quod praedicta hom loga abscisiae B C, F H proportionales sint lateribus rectis B D, F I, at in se mcutis , seu portionibus semonum conicarum similiam inutilis omnino μι ista Huminatio. An vero haec mea sententia omnino resei debeat alys iudicanda relinquo.
Vmque B C ad B L posita sit vi H F ad F N , &c. raria invertendo D B aae R C eandem proportionem habet quam I F ad F H, o C B adsL es vi H F ad F Ni ergo ex aequali ordinata D B ad B L eandem proponi ncm habebis, quam I F ad F N ; esque ordinatim anticam mcdia pro-
205쪽
t 166 Apollonij Pergaei Notae in Propos t. XII
SVpponamus itaque sectiones A B , E F , earum inclinati, vel transuersi B a, F b, & erecti corum B I , F I ordinationes,& propositio- 'ncs, uti diximus, dic. Idest. Sint axes inc senati, siue transuersi E a, F b, ct maneant signa, ordiu.itiones , ct proportiones eaedem, quae in praecedenti propostione i scilicet flat C B ad K D , ut II F ad F I, ct quia D B ad II a es et i IF ad F b propter simibtudinem figurarum D L a, I Fbὰ ergo ex aequali CB ad B a erit vi H F ad F b :cr comparando antecedentes ad summas termis rum in hyperbola, ad disserentias in Hri erit B C ad C a τι F H ad II bisso ea dividantur iam Λ C, quam V II in Urim rationibus se punctis R., L , M, ct educantur ordinatis applicatae, heu ae uidis tes basi bus O P, QR, A X, T V, xi,T X.
Quoniam figura sectionis A B smilis est figurae sectionis E F crit qu, Ldratum H E ad H b in H P, ut quadratum A C ad C 'in C B , & b H in H F ad quadratum H F, ut C a in C B a d quadratum C BY nam po-o fuimus H F ad F b . vi C B ad B a, &c. .eubuiam in figuris, seu rectan-
. sulis similibus D B a , or I F b habet D B ad A a. eandem proportionem, quam dii. lib. i. I F ad F b, ct ut D I ad B a, ita es quadrarum A C ad rectangulum fi C a, pariterque vi I F ad Fli, ita es quadratum E H ad re a uia F H b se fcut in praecedenti nota diisum es C a ad C B, seu rectangulum B C a ad quadratum C B eandem proportionem habet, quam H b ad H F, seu quam re -- gulum F V l, ad quadratum F II; uitar ex aequalita equariatum A C ad qua Gaium C B eandem proportionem habet, quam quadratum E H ad quadrarum
Ides fumatur axium abscis a C A, H F, qua sint proportionales lateribus rectis BD, π F I, seu proportionales sint lauribtis ira uersis B a, oe F b, ct secetur abscisiae B C, ct F II proportionaliter in punctis K, L , M, N , CT per puncta diuisionum ducantur ordinatim applicata A C, a L, E H, X N. G. ciuias ctiones A B, E F supponuntur Ismiles ; ergo ex de nitione a. huius A C ad CBeandem proportionem habebit, quam E H ad H F, nec non , L ad L B reis τι X N a N F ; or ideo qEadratum A C ad quadratum C B eandem proportione
habet . quam quadratum E II is quadratum H F ; es quia ex eo fructione iuxta leges P nisionis a. ut C B ad B a ita erat H F ad F b, ct comparando antecedentes ad terminarus as in hyperialis, ct ad digerentias in tali bus, Labebιι Γ C ad C a ', seu quadraetum A C ad rectangulum B C a eande propora, rionem quam F II habet ad , b , a quam quadratum F H habet ad rectan in Am F H b ; ergo ex aquamate qaadratum A C ad rectangulum A.C a eadem proportionem habet, quam quadratum T II ad rectangulum. F II b; es mero latus rectum D A ad latus transuersum Ana, τι quadratum AC ad recta Hum BC ax
206쪽
A C sBCa, pariterque Laius reuctum I F ad transuerseum Fb es vi quadratum E H a rectangulum F H b , igitur D B ad B a eandem propor nouem habebis quam I F ad F b, ct ideo Agura axium similes erunt.
SInt axes earum B C , & inclinatus , seu transuersus B a , &e. Addidi verba, quae in expositione propositionis desciunt. 'perbiae , seu ellipsis AB sit axis B C, cse inclinatas , seu transuersus B a , o E F sit parabole , cuius
Alioquin sit si poss- F rbile est similis uni earum , & minima similis earum figurae, quae non sunt similes suis figuris: deinde possumus producere in singulis sectioni
bus potentes, &c. Nonnusia verba ex hoc textu expunxi ut superuacanea
eiu*: sensius hic es. Si enim parabola E F similis es h perbolae, aut es se AB sex desinitione similium Aura m ducr ρ unt
in unaquaque duarum Umictum sectunum oraeua dii. lib. I. De α I.
207쪽
natim ad axium applicata, numero pares , qua ad abscissessim proportionales , tum abscisa inter se: Vnde sequisur postrema conclusio, qua in textu habctar , quod nimirum rectangulam a L. R ad rectangulum a fi R eandem proportionem habeat, quam abscio, L B ad abscissam K B esed quotiescunque duo recta mla eandem proportionem habent, quam bases, taga hunt aeque alta: igitur altitudines a L, ct a K aequales sunt inter se, pars, ct totum: quod es absurdum.
ALioquin sequitur, quod quadratum R L ad quadratum K P, &c. In
ps utem πω se. Sint eorum axes Iaura transuersa. ct recta eadem, quae antraecedenti propositime posita sunt . Et squidem sectiones A B, o E F similes credantur, necesiario ex definitione secunda, duci poterunι ad axes ordinatim anticata numero Vres proportion les ab usi: , tuo a
abscissa inter se proportionales: θ ut in praecedenti propositione sensum es , quadratum R L ad quadratum P K, sciticeta l. lib. i. rectan alam a L B ad rectangulum a L B in burebati eandem proportionem habebit, quam quadrMum T N ad ρο-ratum V M , seu quam rectangatum by ' '' N Maais iam b M F in elli , ergo rectangulum a L B ad rectari M a V R easdem proportunem habet, quam recta alum b N F ad rectanguia b M F: sed eorundem recta alorum basio proportionales sunt, eo quod L B a β Κ er, αt N F ad F M ; ι tur es adem altitudises proportionales erunt, scincti a L ad a Κ eandem proportionem haserit, ram o N ad b M, sed in h pergola a L maior es, quam a K ; in elli vero conrea b N minor es, quab M a seitur maior a L ad minorem a K eandem proportionem habebit, qua minor is N ad maiorem b M. ciuis erat absurdum.
Continens sex Propositiones PraemisIas,
SI in triangulis ABC, D E F in duobus circulorum sex mentis A T C , D G F descriptis , a duobus angulis B , E , educantur duae rectae lineae B T H , EGI efficientes cum' basibus A C , D F duos angulos H , I aequales incidentes m
208쪽
ν luod est ut IGMI E, erit B Haclut E I ad I G: similiter, & eorum quadrata; ostendetur igitur ex aequa
prima figura extra duo segmenta , & in secunda intra, at in ter'tia intra duos semicirculos ) , & suerit proportio plani rectanguli ex portionibus lineae basis inter angulum prouenientem, &1 duos angulos reliquos trianguli, nempe A H in H C ad quadratum interceptae inter prouenientem angulum , & circuli peripheriam , nempe ad 'quadratum H B in quolibet casu eadem
sit, quam D I in I F ad quadratum I E , vel H A in H C ad quadratum H T sit, ut D I in I F ad quadratum I G ; siarii je
duo priores anguli, inter se aequales , & prouenientes extra duori triangula positi: vel duo priores recti , & prouenientes intra duos angulos non sint recti ; aut duo priores non recti, &pro uenientes recti intra duo triangula : vel duo priores diuersae , . aut eiusdem speciei, sed duae lineae es sciant duos angulos aequales cum lateribus duorum triangulorum sit btendentibusiangulos prouenientes e utique duo priora triangula sunt similia . Quia C H in H Ai nempe T H in H B ad quadratum H B, quod est, v t H T ad H B eandem proportionem habet, quam D I in 1 F , nempe
209쪽
litate , quod si fuerit A H in H C ad quadratum H B , ut D I in I F ad quadratum I E , quod A H in H C ad quadratum H T. st etiam, ut I Din I F ad quadratum I G. Dico lain , quod triangulum ABC simile est
triangulo I E P. Si enim hoc verum non est, non erit angulus A aequa lis uni duorum an ulorum D, vel F: sitque angulus D maior, quam A, & fiat angulus Κ D P aequalis A. iungaturque F Κ; quia angulus K, Ve' luti E , est aequalis angulo B; similia erunt triangula ABC, DK F,&
rea M L ad L Κ erit ut GI ad 1 E in omnibus fi- . iis: & hoc est absurditio prima figura: in secun '
da vero secentur bifariam E G , Κ M in N , O , &iungatur N O , quae pa'rallela erit L I, quia sunt duae perpendicularcs super K M, E G, quae sunt parallelae ; ergo I N est aequalis L O, & quia E G ad E I iam ostensa est vi K M ad Κ L ; cE N ad E I est, ut O K ad K L : & diuidendo erit N I ad I E , ut O quae est aequalis N I ad L Κ. Et hoc quoque est absurdum. In figura autem tertia educamus duas perpendicularcs E P Q , Κ R Ssuper diametrum D F, cui occurrant in P . R : & iungamus G M S, quia erat G E ad E I , ut M K ad L Κ , & propter similitudinem trian salorum I E P, Κ L R . E I ad E P est, ut L Κ ad Κ R, atque E P ad S
210쪽
quare angulus G aequalis est angulo M. N propterea peripheriae E F Q, & Κ FS, quibus insistunt, a quales erunt, quod est absurdu: est enim E F Q aior, quam K F S ; ergo duo tria-
in omnibus figuris sunt similia. Quod erat ostendendum.
DEinde sint duo anguli B , E qualescunque ; sed angulus A B H , vel C B H aequalis angulo D E I, aut F E I :
& supponantur reliqua omnia iam dicta. Quia proportio C H in H A ad quadratum H B supposita est , vi F Iin I D ad quadratum I E, & H C. vel H A ad H B est, ut F I. vel D Iad I E; erit etiam H A ad H B, ut I D ad I E , & duo anguli H . I sunt aequales ; igitur triangulum H B A , aut H B C simile est triangulo E DI, aut E F I, quare duo triangula ABC, D E F similia: sunt. Et hoc
Afferuntar m b c se mane aliqua prepositiones simul coaceruata , qua lemmatica sunt, se et sum habent in se mentibus propositiombus: sane cov-citur ex hoc titulo PRAEMISSAE rubris characteribus inscripto, in ιδ Π- a Textui Apoliani, ab Arabico Interprete, vel ab aliquo alio seuperaddit urbs alicet Pavus Alexandrinus libro 7. crat eadem fere lemmara, tanqua propria, ct conserentia ad Apollon' sextι libra inresistentiam. Potes tamen propositio uniuersalis breuius exponi Oe ratione. Si a venis bus duorum triangulorum a duobus circulis compraehensorum recta tineae ductae crant cum basi Dus angulos aequales; atque eorundem segmentorum inter basimor peripseriais interceptoram quadrata ad recto ruta subscris segmentis ba-