장음표시 사용
211쪽
iam eandem propora onem habeant, fuerintque anguli verticales inter se aequales, vel qui a lateribus , se a vertice ductis continentur, sint aequales: semper tra-sula erunt sim tia.
Dico iam, quod triangulum ABC simile est triangulo D E F, si enim a
hoc verum non est, sit angulus D maior , quam angulus A , &c. Textus asterari debuit, nam duo triangula B A C , ct E D F ponuntur non ilia , o propterea quianrula non erunt, si ilicet non habebant duos angulos aequales Eu bus angulis alter us trianguli; sed exspothes an umenicales A B C, o D EF aequales erant; ergo angulus B A C non erit aequalis angulo 'E D F, neque , angulo E F D : alias dicta triangula essent aequi gula, oe similia , quod novi penitvr i igitur Mcesse est , ut antulus A non sit aequalis et ni duorum angulorum D, vel F, postea rectanguloram A H C , ct D I F tam latus A H ipsius H Gnon si matus , quam D I Usitis I F , o ad pundia D flat angulus F D K aequatis angulo A.
Quare K. L.F simile quoq: erit B H C , dec. Idnonia angulus F D V aequalis bes factus angulis C A B, ct angulos F Γ D seu et aequalis E E D es Vsi an
D A A C aequalis cum in sim tibias circulorum sigmentis exsant , igitur in triangulis F Γ D , o C R A tertius angulus V F D aequalis erit tertio angulo C; ct prFur paraucias K L, E I est a Mus D L K aequalis angulo D I E; es vero angulus A H B ex sepotuersi aequalis eidem angulo D I E; ergo angulus DL L aequalis es angulo A H B, o F L Κ κ)ualis angulo C H B: at sensimultangulus K F L aquatis aneuti R C H ; ergo angulo C B H aequalis es angulas F A L ; ideoque tria ala C B H, cse F V L similia erunt. Pariserq; duo trian sola A A H, ct L D L similia erunt, tum angulus L aequalis fit angulo H, cst angulus L D L aequatis sis interno R A H. Et hoc est absurduin in prima figura,&c. rauoniam fiunt rectae tineae ista, celacuis applicatae X M, E d parat te inter se; ereo comuncta rectae lineae E A ,
. M parathia erunt inrer ρ , aut conuenient extra circulum cum diametro sis-rtam, es ad angulos rectos aeuidente applicatas EG, K M; sed eadem rectae lineae G M sereat tria uti bahim F AI intra circuia, aut extra Usum inter puncta I, A, est F ἰ propterea queae angulus EI F constituistir a duabus m circulo anticatis extra Vfam concurrenIιbus : ergo tres coniunctae recta lineae Ε Ε, M G, o I L, nec sunt
212쪽
secta non erum proportionaliter in punctis G, M , sed prias Mensa fuit EI MIGUXL ad LM; quod es absurdum. In secunda vero secentur bifariam E G , Κ M in N Ο, &e. sunt enim in tertio casu K M , ct E G perpendiculares ad basim D F s igitur si se centur
bifariam in O , or N coniuncta recta linea N O diameter circuli erit, quod quidem diuidis bifariam duas equidistantes in circulo anticatas i se ideo eas secat ad angulos rectos, secuti D F easdem perpendiculamur secabami ct propterea INO Lρarallio ser
posita N I, ct O L aequalia erunt. Posea quia ostensa fuit I G ad I E , ut L Mad L Κ, ergosummae ter 'norum ad consequentes proportionales erunt i stilice LG EMEI I erit ut M V ad KL, ct antecedentiu semiffs N E ad E I, ut O UMIT Lo est diuidendo, duae aequales N I, O t eandem proportionem habebunt HI A , ct L Vι ideoq; I E qariis es Lx. V quonatriangulum A B H simile es triangulo DKL; ergo A H ad H R eandem pro portionem habet, quam D L ad L V : esque triangulum B H C mile trians o C L F ; ergo si H ad H C es τι XL ad L F .cr ex aequalitate τι A H ad H Cita es D L ad L F ; erat autem figmentum A H non maius figmento H C ; ergo D L maius non erit Amoro L F; sed erat segmentam II I non maius Am to I F , igitur duo segmenta D I, π D L nonsunt maiora, iis non sunt 'iora medietate totius D F, sed diameter paria tu ibis K M, O E G secat D FH araam; ergo Κ M, E G ad Osiam pones diametri carini mersu D,ὐμη inter se par gelat, ergo inaequaliter a centro distans; ideoque inaequales erunt 1 rer se, ct earum nuditates N E, O K inaequales crant; ct ablatis aequalibus N
213쪽
runt prius aequales intre si . . In figura autem tertia ducamus duas perpendiculares , dcc. In quarto caD supponuntur bases A C , ct D F per centra circulorum transire , eo quod an uti A BC, ct D E F recti supponuntur, atque rectae mea B H , E I nom sunt perpendicatim super easdem bases , θω intra circulos sciant angulos BHC,σ E I F luter se aea uir perfecta igitur conseructione. o prius ad diameri si DF, ducitur expunctis E, O K perpendiculares EV S, quae diuidetur ιι- faria, o ad angulos rectos in P, ct R. Et quoniam
ut in praecedenti casu oste- sum es) G E ad E I eamdem proportionem habet ,
propterea I E ad E P erat, ut L K ad K R e es et ero P E ad eius duplam E ,. vi R V ad eius duplam Κ S t cum d ameter secet eas bifariam, quas perpent ulariter prius secabat ergo, ex aequali ordinata, erit G E ad E VO, τι M K ac Κ S: Funt': anguli verticales G E M K S aequales ,propterea Psiaco ratanetur a rectu lineis quae bina binis sunt quidistantes; ergo 1riangula GENUS similiasiani inire ser o propterea angulas E G aequalis erit angulo A M S. Et propterea segmentuin E F Q maius sinite erit segmento K I di minori: quod est absurdum, &c. Legendum puto. Et propterea 'riphertae Fer K. F S, quibus instant aequales erunt: quod es absurdum. EF enim EF I naior, quam K F S.
Notae in Proposit. Praemisis Q.
sint duo anguli B, E qualescumque; sed angulus A B H, vel H aequalis an ulo DEI vel F E 1, & condictiones , uti ducin
214쪽
mus , M. Expositio, atque demanseratio holus propontionis οὐ cura eos propter nimiam eius breuiratem: Daque duo eius casus in fingat deberit hac ratione. In . Guus triangulis A B C, D E F supponantur an uis H, or I aequales, 'rite que anguli H B A , I E D aequages inter se; ideoque duo triangula A B H , ct DEI similia erunt, or propterea A H ad II B eandem proportιonem habetis, quam D I ad I E; sed ex et niuersali 0 thes rectangulum C A H ad quadratum H B eandem proportionem salet, quam rectangulum F I D ad quadratum I E, ct componuntur proportiones rectangulorum ad quadrata iam dicta ex Orionibus laterum circa angulos aequales H , se I, suntque offense proportiones AH ad N B , atque D I ad I E eaedem inter se a igitur reliqua componentes'
pari,anes,scilicet C H ad Η Γ, atque F I ad I E eaedem quoque eruist inter se, ct compraesendunt a nos aequales H, o I , igitur triangula C H R, O F I Esimilia sunt inter se di se propterea angulus B C A aequalis erit angulo E in D , sed an θ B A C , ct E D F aequales sunt inter se , quia eorum consequenus aequales erant in triangulis quiangulis B A H, UT E D I, igitur duo triangu-D B A C, ct E D F aequiangula, oesimilia inter se erunt. Simili modo si supponantur a uti C A H , o F E aequales, cam an 6 H, Hr I aequales sint , erunt triangula B C H, or E F I milia inter se, or ut ius, esiendentur quoque triangula ablata B A H, E D I aequiangula, se simitia inter se 8ropterea quod circa angulos aequales H , o I babent latera proportion Ira i or ideo residua relangula C A B , se F D E erunt quoque si Mitia , τιμή situm fuerat.
Continens Propos t. XV. XVI. & XVII.
D Varum hyperbolarum , aut ellipsum, si figurae diametro
rum, quae axes non sint, fuerint similes , atque potentes contineant cum diametris angulos aequales.: utique sectiones sunt simileS.
Sint sectiones A B , C D hyperbolicae , vel ellipticae carum diametri, quae non sint axes IA Κ , L C M , & earum centra G, H , & duo axes sint E B , F D : & educamus duas tangentes A R , C S ad duos aXes, quae continebunt cum duabus diametris A Κ, C M duos angulos, a qualus, eo quod parallelae sunt potentialibus ad diametros eductis ; & cducamus a B, D ad duabus diametros A Κ , QM tangentes B N, D O, de circumducamus super triangula B N G, H D O duos circulos, ' ex A, C educamus ad axes duas potentiales A P , C & per B, D ducamus
I B T, I. D V parallelas ipsis A R, C S quae secent duos circulos in B, 3 T , D, V : eritque G I in I N , scilicet ci aequale TI in I B ad quadro
215쪽
tum potentialis I B , ut H L in L O , seu L V in L D ad quadratum L D, eo quod quaelibet ex dictis proportionibus eadem est proportionita 37.lib. i. gurae Κ A, & M C f 39. ex 1. ), ergo T I ad I B est. vi V L ad L D, α angulus I, qui aequalis est ipsi R A G aequalis est angulo L. qui aequalis Propos , cst SCH; igitur angulus G aequalis etiam est angulo H & proptorea primit L G A R simile est H C S,& pariter GAP,HCQ sunt smilia, quia P, Q sunt recti, unde A P R, C Q S sunt etia similia, & proportio uniuscuiusq; corum, nempe P, P R ad P A , est, ut proportio H Q , S Q ad C em igitur G P in P R ad quadratum P A, nempe B E ad erectum illius f 39. E ex i. est ut id inii QS ad quadratum C in nempe D F ad erectumam lib. . . illius f 39. ex r. ); igitur
fgurae duorum axiu sunt similes, & duae sectiones similes sunt si a. ex 6. sed oportet in ellipsi, ut duae diametri, ideoquo duo axes sint sinul aut transuersi , aut simul recti. Et hoc erat proposi
216쪽
SI sectiones A B, C D similes inter se, quae sint prius parabolae, tangant lineae A E , C F terminatae ad earum axes E B , F D, S contineant cum illis angulos aequales E, F , &in qualibet earum educantur ordinationes G H, I K ad diam tros LAM, NCO transeuntes per puncta contactus axibus E Paequidistantes , & fuerit proportio suarum abscissarum A M , CO ad lineas tangentes A E , C F eadem ; utique ordinationes abscindent ex sectionibus similia se menta,&similiter posita, ut GAH, I CK. Si vero ordinationes secuerint similia segmemta 3 Vtique sectiones similes erunt , & abscissarum ad lineas tangentes proportio erit eadem, atque lineae tangentes continebunt cum axibus angulos aequales. Educamus enim duas B L, D N super duos axes B E , F D perpendiculares, Quae tangent sectiones in B , D : & ponamus A P ad duplam A 3 E, ut R A assumpta ad A L ei similem , nec non C Q ad duplam C F, vi assi impia S C ad C N; igitur P A, QS sunt erecti duarum diametro- .rum L M , N O si . ex i. ergo G M potest P A in A M, i r. ex r. Α' & similiter I O potest O C in C ini tr. ex i. & propter aequidistan- tiam E B , L A , atque F D , C N sunt similia E R B , R L A , atque i ' S F, S N C i & duo anguli E , F suppositi sunt aequales; igitur angulus RA L aequalis est S C N , & N . L sunt recti; quare R A ad A L , nempe Ρ A ad duplam A E est , ut S C ad N C , nempe ut Que ad duplam CF,&MA ad A E supposita est, ut o C ad C F: ergo M A ad A Pa est, ut o C ad C & angulus O aequalis est M. Ostendctur igitur cvtZ diximus
217쪽
diximus in i i. ex 6. quod si ad abscissas A M,C O egrediantur ouaelibet potentes, ad sua abscissa eande proportione habebunt ii abicissae ad abicit fas sint iis cadem proportione , di quod anguli a potentialibus , & a, scissis contenti, crunt aequales in duabus sectionibus: quare erit se emtum H AG simile segmento I C Κ atque similiter positum .
Deinde ijsdem suilis in eisdem figuris manetibus, ut prius designatis supponatur, segmentum H AG simile ipsi K C I. Dico, quod angulus E aequalis erit F, S M A ad AE erit, ut O C ad C F.
Quoniam duo segmenta sunt similia erit angulus O aequalis M, & duo an uli E A L , F C N illis aequales , sunt quoque inter se aequales; ergo duo anguli F. E , qui illis aquales sunt, crunt inter se aequales , eoquod A E, C F parallelae sunt G H, I Κ, & anguli N, L sunt recti; ergo duo ... triangula proportionis sunt similia, ideoque R A ad A L, nempe P A ad
ritu. duplam A E est, ut C S ad C N, nempe QC ad duplana C F : & qiua G M potest P A in A M Q. ex i. & similiter I O potest QC in C O; ergo P A ad G M est . ut QC ad O I, & G M ad 11 A est , vi I O ad O C; quia duo segmenta sunt similia, & x A. ad A M est, ut C F ad CO: & iam ostensum est, quod duo anguli E, F sunt aequales. Et hoc erat
DEinde sectiones sint hypei bolicae, aut ellipticae,& reliqua
supponantur, Ut prius. Educamus C e perpendiculare super axim D F , & A a perpendicula rem super axim B E; atque V , Y sint duo ccntra. Ergo propter sui, litudinem duarum sectionui erit V a in a E ad quadratum A a potentis,
218쪽
ut Y e in e F ad quadratum C e fa . ex r. 2 quae habent eandem proportionem, quam figurae axis habent ,& angulus F suppositus est aequalis E : ergo Y e C simile est V a A t & propterea angulus V aequalis est V, & angulus F C Y a qualis E A Ut & propter similitudinem N D Y, LBV aequales sunt duo anguli C N S, A L Rierso similia sunt CNS, ALR. Quare CS assumpta ad ei coniugatam C Nest ut R A ad A L: dc p namus C id duplam C F , ut C S ad C N , nec non A P ad duplam A E, ut A R ad A L: igitur QC, A P sunt erecti duarum diametrorum C V X, A V T 13. 1 . ex i. sed C F ad C X duplam ipsius C Y est ut A E ad AT duplam ipsius A V, propter similitudinem C F Y, A E V: ergo ex aequalitate Q C ad C X diametrum inclinatam , seu transuersam C est ut A P ad A T; & propterea figurae earundem diametrorumsunt sim, les,&quia CO et ad C F supposita est , ut A Mad A E: ergo exaequalitate Q Cad C O est , ut P A ad A M tQuare potentes ad duo eius ab-
se ili a Co, A M, a quibus diuidit.
turbifariam, eadem proporti nem habent: &proportio abstis
219쪽
sarum in una sectionum ad homologa abscissa alterius est eadem Q. ex s. ), & anguli compraehensi a potent:bus , δε abscissis sunt aequales; quia aequales sunt duobus angulis R A L, s C N aequalibus,& propterea duo segmenta sunt similia.
Postea ostendetur, quod si duo segmenta suerim similia, erit .angulus F aequalis E, & A M ad A E, ut O C ad C F.
Quia propter similitudinem duorum segmentorum continebunt pote tes cum suis abscistis angulos aequales, crit proportio potentium adat scissas cadem, & proportio abscissarum, in una carum ad tua homologa ia altera, erit eadem . t quia V a in a E ad quadratu a A eandem proportionem habet, quam Y e in e F ad quadratum c C, & duo anguli a , & esunt rem, atque angulus C, nempe O aequalis est A , nempe M propter similitudinem segmentorum ergo triangulum A E V simile est CF Υ,& angulus V aequalis est angulo Yipariterque angulus E aequalis est F, de A V ad A E eandem proportionem habct, quam Y C ad C F. Po. namus iam P A ad duplam A E, ut Q C ad duplam C F; ergo aequalitate A T diameter ad A P ereditum eius est , ut C X diameter ad C QU*i iii, credium eius a. s . ex 1. & T M in M A ad quadratum M G eandeproportionem habet , quam X O in O C ad quadratum O I: at suppositum est quadratum A M ad quadratum M G, ut quadratum C O ad quadratum O 1; ergo ex aequalitate T M in M A ad quadratum A M, nempe T M ad M A, eandem proportionem habet, quam X O ia O C ad
220쪽
quadratu O C, nempe X O ad O C; quare di-
uiciendo, vel coponendo, & exaequalitate A Mad A E est vi CO ad C F: & ia ostensii est quod ἰduo anguli F ,& E sunt aequa las. Quare phici propositum.
similium axium, & potentes illarum diametrorum contineant sinauiangulos rectos , utique sectiones similes sunt, M. Textus mendosus huius
niam a puncro B sectionis A si ad diametrum K A I ducuntur ordinatim applicata B I , ct B N conti ens sectionem in B seantes diametrum in I , ct N; igitur rectangulum G I N ad quadratum ordinatim applicatae I B eandem pro- 37