장음표시 사용
221쪽
portionem habebit, qu.ὶm titus ti insuersam V A ad eius latus rectam: eadem ramone in heictione C D erit rectangulum ' L O ad quariatum ordinatim ap- plicatae D L , ut titus transuersum M C ad eius iarus rectarem ; propterea Poda huncto D ducitur D O sectionem continoens, o D L ordinatim Vplicata ad Zametrum M C , ei occurrentes in L , 5 O . Et quoniam ex ιν thesi latus . transuersum V A ad eius iatus rectum eandem proportionem habet, quam utus' tra aersum M C ad eius titus rectum , cum sigurae harum isamesrorum suprpo ia sint similes , ergo rectangulum G I N ad quadratum I s eandem Hopo rionem habet, quam rectangulum H L O ad quadratum L Dr dein e quia in duobus triangulis G B N , o II O D soni duo anguli G B N OH D O aequales, Moriter . nepe recti cum B N, ct D O sectiones contingentes in terminas axium L E , se ilh- ι- F D e ciant cum ipsis angulos rectos air: a merticalibus an lis B, ct D cuntur ad bases recita lineae B I , D L e cientes an los I, G L aequales , in quod aequales sunt angulis aequalibus R A G ,σ S C H propter quid stantia
. linearum B I, A R, atque linearum D L, S C, or insuper rectangulum G INM quadrarum I B e improportionem habet, quam rectari lium H L O ad qua- Propoc a atam L D; retitur trian-
pterea a Cus G aquato γε rit angalo H. Et proportio uniuscutiusque eorum, nci rape G
P , P R ad P A est , ut proportio H Q , α, ad
C O &c. In triantulis enim similibus G P A, or II a C circa angulos renes P, ct ae erat G P ad P A , ii H α ad .QC r pariter in duobus iriangulis si mitibus R P A, o S habebis R P ad P A eandem porportionem quam , Sadad 4: C; proportio iero recta ab G P R ad quadratum P A componitur exi dem rationibus lateram circa angulum rectum P : pariterque proportio recta guli H a S ad quadratum ex rationibus laterum circa angulum rectum α componitur , suntque osse ae praedictae componentes proportiones eaedem inters ; ibtur Nectantulom G P R ad quadratum P A eandem proportionem has bis , quam rei fangulum H ad quadratum ad C ; sed habet rectangulum Gia, i P R q adratum P A eandem proportioncm , quam axis transuersus E B ad , eius latus rectum propterea quod ab eodem puncto Asemonis ducitur contim ςm gens A R , o ordinatim applicata ad axim A P atque eodem modo recta Miam H II ad quadrat,m a C eandem preportionem habet, quam axis tram fuemus F D ad eius latus rectum a igitur axis transuersus E B ad eius Lus ctum eandem proportionem habet, quam lati s transuersum F D ad eius latus reritum; oz propterea gura axium duarum sectionum A B, C D similes img tr. hii s. tcr se crum; cr ideo conica sectiones similes erum.
222쪽
Sed oportet in ellipsi, ut duo mes sint simul, aut transuersi , aut redii simul,&c. Addidi verba, qua videntur in textu deficere. Sed oportet in euripsi, ut duae diametri, ideoque duo axes sint simul, aut transuersi, aut simul recti. Licet enim mulsoues diametri coniugatae ellipsium aequales se H t, m hilominus eae sumi debent, quae ad easdem paries respiciunt axes transiuersos , .alias constructio, atque demonstratio non sequeretur, ut manifestum est.
intelligentia propos i 6. st i 7. praemitti debent tria haec lem
LEMMA VISI in duobus parabolicis segmentis AS c , D E F basis A C ,
Est D F cum diametris G R, ikr H E aequales angulos G , H non rectos contineant, atque e ciunt alscissus G S , H E di mei, dirum ad latera recta 5 I, ct E.λ proportionalia; erunt segment similia inter se.
223쪽
Secentur diametroram abso a G B, ct H ae in , em rationibus in G, 31,N, O, O ab 'sdem puncIis educamur basibus aequipantes, heu ad diametros o dinatim applicata P R S , T V , X T. Itismam ex spothesi G a ad B IM. b- e τι H E ad E K: esque A G media proportionalis inter G B, o B I; par, terque D H med a proportionalis est inter H E , or E A . igitur A G ad G Bes , ut D II ad H E; Ei quoniam inuertendo L B ad BG es, ut N E ad E H, atque B G ad B I posita fuit, vi H E ad E K , erra ex aequali ordInata L Bad BI erit, τι N A ad E K, quare τι L B ad P L , media proportionale inur L B, o I B, ita eris N E ad N T mediam proportionalem inter N E , or E K. Eodem modo os detur, quod R M ad Is B eandem proportionem habet, quam IO ad O Er cr hoc semper continget in quibuslibet alio diuisionibus proportionatibas abscissa m, suntque anguli G, c H a missς ινων flamenta A B C, oysi: ., Π E F to sum inter se. I sed erat senu dinis.
SI in duobus 'mentis A N C, 6st D E Fh perbolicis, aut ellipti
cis, basis AC, D F cum diametris G F, aedi H E, aequales. angulos G , fio Id obliquos continentes, 4 Fiant abscissas G R, ' HEproportionales laterissus rectis B I, E X, atque transire 1 RE a, erunt segmenta Diba inter se.
224쪽
Secentur abscissae G B, or H E in Urim rationibus , Acanturque ordinar mapplicatae ut in precedenti factum es. Iuoniam G B ad R I es, et i H E aa ΕΚ, ct inuertendo Z B ad B G es , et i a E ad E H, ergo ex aquais ordinata ZR Iulus transuersum ad N I latus rectum erit, τι S E latus transuimum ast rius sectionis ad E K eius latus rectum : es et ero ractangulum Z G Γ ad quadratum ordinatim apphcatae G A , τι latus transuersum Z L ad rectum B I ipam terque rectangulum a H E ad quadratum ordinatim apphcatae D H , etic is a E a Diu transuersum :
atus rectam E Κ, suntque praedicta latera gurarum ostes proportionalia a igitur rectangulum Z G B ad quadratum A G eandem tr portionem habet, quam rectangulum ais E ad quadratum D H ined quaisaltim R G ad rectantulum Z G R eandem proportionem habet , quam G B ad G Z propterea quod G P est isiorum altitudo communis 2 pariterque quadratam EH ata rectangulum a H E es, ut II E ad H a,seu ut G A ad G Z ; igitur quadramm G B ad rectangulum Z G B eandem proportioncm habebit , quam quadratrem E H ad rectangulum a H E; quare ex aequati quadratum G K aae adrarum G A eandem proportionem habuit, quam quadratum E H ad suadrata H D; ideoque inuertendo A G ad G B erit Ct D H ad II E Rursus , quia imuerundo L B ad B G es τι N E ad E H; sed G Γ , atque H E ad Iarixa ira fuersa proportionalia sunt: igitur L B ad B Z erit τι N E ad E a: se propterea, ut praus quadratum L B ad rectangulum Z L B cr. I , ut quadra m ENuae rectangulam a N Ei esque rectangulum Z L B ad quadratum ordinatim
, a applicata P L, ut rectangulum a N E ad quadratum m N, siilicetvit Latera transuersa ad recta, quae proportionalia osen sunt ; ititur ex aequali ordinina quadratsi S L ad quadratum P L eandem proportisne habebit, quam quadrata E N ad quadratum T N; quare et i mrius dirium est, P 'L J L B ea iam 'ν nrtionem habebit, quam T N ad N E; ct hoc semper contingit in reliquis om
225쪽
Apolloni j Pergaei 'E M M A VIII.
C I duo hyperbolica , aut el7iptica segmenta A B C , DEF fuerinto similia, quorum bases A C, D F eoiciam cum arametrorum ab scissis N M , Eo angulos aequales M , Ω O ; sintque eorum transtuersa latera T B , Z E, recta mero DL, E a. Dico figuras eorum; siue redi angula T B L , 9 Z E a similia esis.
Serentur segmentorum absit ae M B , O E proportionaliter in N , P , se per
ea puncta ducantur ord natim ad diametros Vplicatae G N , I P aequidistantes brsibus, escientes Assisses B N, E P , coniunganturq, duae recta lineae T L , κα cantes recras lineas N H , M V , P U , O S aquidisantes lateribus rectis B. . Lo E . n punctis H, V , Κ, S , atque a punctis B, ct A ducantur recta tineae H x, Κ R parallele Hametris occum
.F, atque quadratum A M, sisI . I 3. et aquale rectangulum R MV, lib. I. ad quadramm M B eandem tapisportionem habebit, quam Ibidem. quadratum D O, stu et aequale
rectangulum E O S ad quadratum O E ; sita ιt rca vul- B M V ad quadratum M R ira est 'V ad M B cum M E sit e μ' σο tudo commanis r se terque τι rectangulum E O S ad quadratnm O E , ita es O S aE O Ea quare M V ad II B eandem proportionem habuit, quam O S ad O E; non aliter essem Hur N H ad N B eanaem proportioncm , G B I E habere , quam P K ad P E : eris auteno i Pul M B ad B N τι O E ad E P ; ergo comparando antecedentes, c postea consequentes ad disserentias terminorum erit A M ad Metis E O ad O R, i atque B. N ad N M ea
226쪽
τ a milia, pariterque triangula S R K,θα E Z inter se similia; ideo Merit L B ad ET G V X ad x H , pariterque αμ ad E Z erit it S R aὰ R R ierat autem prius V X ad X H, ut S R ad R K; igitur L B ad B T ea cocta, proportionem halebit, quam V E ad E Z; ct propterea' circa octos angulos B, E, Muraesectionum similes erunt inter se . αuod erat ostendendum .
EReo M A ad A P est ut O C ad C in & angulus o aequalis est M,
ostendetur ut diximus in ii. cx 6. ) quod , &c. Sequitur enim exaequalitate ordinata, quod II A ad A P eandem proportionem habet, quam O Cad C cumque sint duo sigmenta parabolica HAG, oKCI, quoru diam tri A M , ct C O esciunt cum basious G H , ct K I angulos M , ct O aequales inter se cum sint quales angulis R A L, O S C N aequalibus a contingentibus μή - huius.
quia G M potest A P in A M , & similiter I O potest C Q in CO: croo P A ad c. M est, ut C id I O, & G M ad 11 A est, Vt I oad O C ; quia duo se menta sunt i milia, & E A ad A M , est vi I, C ad
C O : Sc. Sensus hv ias textus confusi, talis es. αuia Iemcnta H A G , o Desn. KCI milia supponuntur erit A M ad II G , ut C O ad O I, ct quadratum hunas. A M ad quadratum M G eo ut quadratum C O ad quadratum O I ; es vcro iiii A. i. rectangulum P AM aequale quadrato G M. pariterque recta alum αC O saequale quadrato I O; igitur quadratum A M ad rectandi m PAM eandera proportionem habet, quam quadratum C O ad rectangusim cis O , σ pripi rea af A ad A P eandem proportionem habebit, quam C O ad C ra sed prius io tensa fuit P A ad A S, ιι α C ad C F; igitur ex aequati oriunata erat M A Aa a ad A E,
227쪽
M AE,τι OC ad CF, sumque angui E , σ F aequales, ut d tam est. ει hoc erat propositum.
DEinde sint secitiosi es hyperbolicae , aut ellipticae , & reliqua in suo astatu,&c. Idrs. Supponantnr sectiones h perbolicae , vel Alipticae A B, ct C D similes inter se,scilicet figura axium V B, ct T D sint similes inter se, atque a verticibus A, ct C duarum diametrorum A M, ct C O ducta sint re-C F D aequales, sintque K I orae naim ad diametros aulitate , scit cet quid, antes contingentilus et enicalibus; ct habeat abscisse M A ad porti nem continetentιs A E eandem proportionem , quam absicisia O C habet ad peritionem contingentis C F; Dico segmenta H A G, O V C Isimila sis inter se. Ergo Y e C sit nile est V a A , &c. moniam duae ordinatim ad axes applicatae A a, cst C c serpendiculares sunt ad axes , erunt in triangulo A a E, ct C c F duo anguis a, ct c rem: atque ex spothesiduo reliqui angati E, ct
F aequales quoque honta igitur tertius angulus a A E aequalis es tertio aquis cC F, cumque in duobus triangulis V A E, atque T C F ab eorum verticibus A, ct C discuntur ad basis V E , ct T F dua rectae lineae A a , ct C e continentes cum basiῖus angulos aequales , nempe rectos , ct recIangulum V a E ad qnari eandem proportionem habes , quam rectangulum T c F ad qua ratam arari duo an ii a A E , ct c C F aequales sem
228쪽
aequales erant inter se, se qui δε- inceps A L R, ct C N S sunt aequales inter se: ct ideo triangula A R L, ct Cs N simitia sunt inter se.
Et propterea figurae earundem diametrorum sunt similes , dcc. a uia ex spothesi M A ad A E eras , ut O C ad C F : atque propter similitudinem trianeulorum A E V , ct C F τὰ ut E A ad dupiam ipsius A V , seu ad latus transersum A T, ita es F C ad duplam ipsius C r, seu ad latus transuersum
C X alterius sectionis i ergo ex aequali Θάιnata erit M A ad A T , τι O C ad C X; sensum autem sis latus transuersum T A ad A P latus rectum eius ha- re eandem proportionem , quam alterius sectionis latus transuersum X C ad eius latus rectam C cita ergo ex aequali ordinata M A ad A P eandem pro setionem habet, quam o C ad C quare dua abscissae A M , Ur O C eandem proportionem habent ad latera recra , atque ad transuersa earundem diamur rum, atque esciunt bases H G, ct K I cum Hametris angulos M , ct O quales inter se : propterea quod aequales μοι angulis EA V, or FCT aequalibus De fili. 7. propter quid antlim rectarum H G, cr A E; nec non L I, or C F2 igitur
erunt duo segmenta re A G, o L C I milia inter se. Quia propici similitudinem duorum segmentorum continebunt potentes cum suis abscistis angulos aequales: & erit proportio potetium ad a, scissa eadem, & proportio abscissarum in una earum ad alia similia eade, quia V a in a E ad quadratum A a, est ut Y e in e Ι ad quadratum C e,& duo anguli a . & e sunt aequales ; ergo angulus Y aequalis est angulo V, & angulus C, nempe O aequalis A , nempe M propter similitudinem duorum segmentorum; i*itur A E V simile est Y F C, & angulus E.&c.
In hoc texta nonuulga verba deficiunt, aliqua vero transposita sunt, τι nultas sensus colligi post: tamen eum. resimi pose censeo ut ibidem videre est. αu niam duo segmenta H A G , ct ΚC I supponuntur similia enient diametra AM, OC O c,m basious G H ,9 KI angulos M, cto aequases, licet non rccros; ήerumque sigma earumdem diametrarum similes inter se res propterea habebit sului. T A ad eius erectum tande- proportionem , quam X C ad eius Iraus rectum Iinivr sistroner A A , ct C D miles sunt , iris octis Mibus V β , ct r D o. i b. . erunt figura axium similes inser se : ducuntur vero a punctra A; σ C σή -c ii. ita ui. ordinarim anticari A a, Cr C c , atque centingentes A T, o C F ι θῆι- νς' ιν lib. i.
229쪽
praemisi. 3 o lib. I. Lem S. 2I.lib. I
ctan alum V a E ad quais.sum a A eandem proportionem habebit, quam axis tranquersus ad eius erectum , seu quam axis transiuersus asterius sectionis C Dad eius erectum : sed in eadem proportione es rectangulum T c Fad quadratac C , igitur in duobus triangulis A V EI, ct C T F recta A a, or C c ea basius angulos aequales a, ct c, nempe rectos entum, cum ordinatim applicatae sint ad axes ; atque duo anguli verticales V A E, ct T C F aequales in inter se, cum propier parallelas aequales sint angulis O ,σ M aequalibus in segmentissimatibus: igitur aeuo triantula A E V, σὰ F I aequiangula, ct simitia sunt inter se: ct proster ea V A ad A E erit, τι T C ad C F, eis.
Ponamus lain P A ad duplam A E , ut Q C ad duplam C F : ergo ex ea qualitate A T diameter ad A P erectum eius, &c. In hoc textu nonnulla videntur deficere , eiusq; Afus talis erit. abia veluti supra dictum es, tria gisti R A L, o S C N similia sunt inter se, habebιι R A ad A L eandem proportionem, quam S C ad C.N: Ponamus iam P A ad duplum A E ,τι R A ad A L, O atC ad duplam C F, ut S C ad C N, erunt A P , o C ad latera ν Lia Hametrorum A M , UT O C; sed earundem diametrorum figura ope asMisimiles; igitur lusus transuersum A T ad A P erectum eius est, ut latus tram uersum X C ad C credram eius. Et quia τι latus transuersum ad rectus ita es rectantulum T M A ad quadratum M G, o similiter recta filum X o C ad quadratum o I eandem proportionem habebit, quam latus transversem aIrectum, scilicet eandi m , quam habent latera figuraia earunde Hametrora; quetur rectantulum T M A ad quadratum M G eandem proportione habebit, quam rectangulum X o C ad quadratum D I : habet vero M G ad M A eandem proportionem, quam I O ad O C propter ni istudinem sigmentorum: ergo quadratum G M ad quadratum M A erit τι quadrat,m I O ad quadratum O C r o propterea ex aequali ordinata rectangulum T M A ad quadra m M A, heu T M ad A M
230쪽
rius T A ad AE, ut X C ad C F; igitur ex aequali M A ad A E erit, τι O C ad si F, ct fu rum offensi angati E , se F quales. Iuod erat ostendendum.
Continens Proposit. XVIII. & XIX.
CViuslibet sectionis ABC duo segmenta C F , A E c dentia inter duas ordinationes A C, E F ad utrasque parretes axis B V sunt inter se similia , S similiter posita , nec sunt similia alteri segmento nisi in ellipsi, in qua quatuor segmenta memorata in propositione 8. sunt aequalia, similia,& similiter posita,quae alteri segmeto similia no sunt.
Quoniam unumquodque e rum alteri congruit, nec non co-
gruunt duo segmenta GI, Κ in ellipsi 7. 8. ex ε. at non sunt similia alteri segmento: si enim hoc fieri potest , sit segme Num L M simile segmento F Q. Et quia F C congruit A E . Ergo duo segmenta L M , A E sunt similia, producamus A E, LMquousque Occurrant axi in N, Oi erit angulus N aequalis Oolidemonstrauimus in I 6. & II. D