장음표시 사용
231쪽
P, Q : quare erit diamez8.2b- ter lectionis o r. CX z. & educatur R V parallela A N, quae sectionur' sib, I continget i 8. cxi Et quia duo segmenta L M , A E sunt similia habebit maior QR ad eandem R Ueandem proportionc,
quam habet minor RP ; quod est absurdum.
F alteri segmento . Quod erat ostenden-
Notae in Proposit. XVIII. & XIX.
. huiuς hverbole. uomam dua A C, ct E F ordia tim ad axim B D anticata ab sindunt ex utraque parte axis duo feren-- ra A E , O C s rangruentia , propterea fmilia erunt, atque militerposita. Secundo, in elli ricta Antad axim quatuor ordinatim applicarae, quarum binae extremae EF, or I K aequaliter a centro D distens; pariter ae binae intermedia A C ,σ G H qua-8. buta , liter d seni ab eodem centro: quare quamor sigmenta G I, II K, C F, ct A E aequalia erunt, tar sibi mutuo congruent , propterea
- similia quoque inter se crη-- . . Erit angulus N aequalis O , uti demostrauimus, &c. aere niam duo segmenta LM, 9 A E, ponuntur similia, atque eorum
- bases L M, O A E productae occurrunt axiis O , ct N r igitur vi demonseratum eli, 7 huiu outi a contingentibus verticalibus segmentorum ilium L M,Cr A E cum ara com- At B D eiusdem sotionis continebunt an-
232쪽
gulos aequales, ἐν vero anguo aequales sunt angulis O, ct N, cum bases L M, ct A E parasi aestat contingentibus verticalibus eorundem segmentorum , igitur ammti L O B, ct A N B aequales sum inter se I or propterea duorum segmentora bases L M, G- A E parasi a sum inter se.
. Continens Proposit. XX. & XXI. Apollonij.
SI in quibuslibet similibus conisectionibus A B C,& D EF
ductae fuerint ad axes B O, E Q ordinatim applicatae A C, DF,NL, P M, quarum illae , quae ad easdem partes verticum B , & E ducuntur es sciant abscistas erectis proportionales , scilicet I B ad B G sit, vi K E ad E H, nec non L B ad B M E ad E H: Dico segmenta facta ab ordinatis similitetis esse inter se similia, aciunt liter posita, L . sintque primo sectiones parabolae: & educamus N A ad B L in Ο, &Ρ D ad M E in Q . Et quia G B ad B I est, ut H E ad E K , & B L ad B G est ut M E ad L H ι ergo L B ad B I, nempe L N ad I A potentias i9. ex r. 9 nempe L N ad O I eandem propoxtionem habet, quam M EB b ad E Κ,
233쪽
ad E Κ, nempe P M ad D K potentia, nempe M Q id . ,& perco uersionem rationis O L ad I. I erit, ut Q M ad 34 Κ estque I L ad L B, vi K M ad M E ; ergo O L ad L B est, ut Q M ad 11 E, & L B ad L Nin, ut E M ad M P c propier similitudinem duarum sectionum ergo ex Caequalitate O L ad L N erit, ut Q M ad 11 P ; suntque M , & L duo anguli recti; ergo N L O simile est P M in& per R, S semipartitiones ip- satum N A, D P ducamus ipsas T V, X Y parallelas duobus axibus, &cx duobus punistis V, Υ, educamus perpendiculares V L, Y a super duos axes. Et quia N O ad O A est, ut P Q ad Q D comparando antecedo dies ad seniisses disserentiarum terminorum vel ad semisit minas eoru fiet NO ad R O , nempe N L ad L T , quae est aequalis ipsi V Z , nempe L Bad B Z longitudine 19. Og a. vi P Q ad QI, nempe P M ad X M X- qualem ipsi Y a , nempe longitudine , ut M E ad E a s 19. ex 12 igitur comparando differentias terminorum ad antecedentes , crit Z L ad L B, Vt a M ad M E, & L B ad L O est, ut M E ad M in ergo ex aequalitate L Z ad L O, nempe N b ad N O est, ut M a ad M Q, nempe P c ad PQ erat autem prius N R ad N O , ut S P ad P Q, & comparando semisu- emas , vel semidisserentias terminorum ad eorundem differentias O R ad R b erit, ut Q S ad S c , & R b ad II V est, ut S c ad S Y ; quia duo triangula V R b. Y S c sunt similia; ergo R Ο ad R V eandem proportionem habet, quam Q S aci S Y; sed tangens in V perueniens ad Lo saequalis est O R, cui parallela est; quia cadit inter duas lineas parallelas;& iii niliter tangens in Y parallela est S Q, & ei aequalis ; ergo V R a, scissa ad tangentem est, ut abscissa S Y ad eius tangentem, & angulus aequalis est angulo O: igitur duo segmenta NI V A, PYD sunt similia .c 16. ex is. & pariter duo segmenta A B C, D E F, atque duo segmem Sta N B, P E sunt similia inter se, & similiter posita. Deinde ponamus aliud segmentum P . . Dico non esse simile alicui lapraedictorum segmentorum, quia non abscinduntur a duabus ordinationbbus unius axis 18. ex 6. . Et hoc crat ostendendum. PROP.
234쪽
SInt postea duae illae sectiones hyperbolicae, & ellipticae similes , & earum centra T, X remanentibus lineis gnis, Ut a
CQuoniam B G ad B I supposita est, ut H E ad E Κ, & pariter G B ad B L, ut H E ad E M ; ergo ex aequalitate, & per conuersionem rationis B L ad L I est ut E M ad Μ Κ i & propter similitudinem duarum secti num N L ad A I nempe L O ad O I est , ut M P ad D Κ , nempe M in ad M , & antecedentes ad summas vel differentias terminorum , scilicet Lmur. O I. ad L I eandem proportionem habebit, quam Q M ad 11 Κ , & ex hy Τ aequalitate O L ad L B erit, ut Q M ad 31 E, sed B L ad L N est, ut Elia ad M P, cum ex suppositione sectiones sint similes; ergo O L ad L Nest, ut Q M ad 34 P; suntque L, M duo anguli recti: ergo anguli O, Q, Bb a ne pe
235쪽
nempe e , sunt aequales: deinde ducantur V Z, Y a ad axes ordinatae iergo propter ii militudinem duarum secti onum T Z in Z e ad quadratum Z V eandem proportionem habebit, quam X a in a ad quadratuma Υ, dc angulus e aequalis est angulos igitur V e T simile est Υ fX,&hiemis ' pariter O T R , Qx S ; & propterea Oe ad RV candem proportionem habebit, quam Q ad Y S , & propter similitudinem duarum icctionum B I ad I A est, ut E K ad K D, & A I ad I O, ut D K ad K QI ropteriem. i. similitudinem duorum triangulorum: ergo cx aequalitate, & comparanitru . do antecedentes ad suminas vel differentias terminorum erit B I ad B O,
ut ΕΚ ad E Q. sed B T ad B I erat, ut X E ad E K dinem duarum sectionum
ergo cx aequalitate,& rursus comparando antecedetes ad n d m. summas vel differentias temminorum B T ad T O erit, ut X E ad X in cumque T37. lib. i. Z in Z e ad quadratum V Zsit ut X a in af ad quadratum a V 39. ex i. 2 & quadratum V Z ad quadrat Z e est, ut quadratum a quadratu a ferit T Z in ad quadratu 2 e, nempe ad L e ut X a in a I ad quadratum a faenipe G a ad a L &comparado antecedentes ad lidit seriantias terminoru in hyperbola, & ad corum summas mellipsi, fiet Z Tad T e,nc- . Pe quadratum B T quod estis idi i aequale ipsi L T in T e 39 ex 1. ad quadratnm Τ e est,' nempe a X in XL quod est aequale quadrato E X 0. ex
236쪽
T B ad T e erit, ut E X ad X & iam ostendimus, quod B T ad T Oest , ut E X ad X igitur ex aequalitate , & comparando terminorum diiserentias ad consequentes erit O e ad e T, ut ad X; sed T e ad e Lem. , V eandem proportionem habet quam X ad Y , eo quod ostensa sunt , . I similia triangula V T e , Y X fi quare o e ad e V est ut Q. ad Y ; &iam ostendimus , quod O e ad R V eandem proportionem habet, quam Q. ad S Y i ergo R V ad V e est, ut S Y ad Y f, & angulus e aequalis est angulo f; igitur duo segmenta NVA, PYD similia sunt inter stac r7. ex 6. tu similiter posita. Insuper dico, non esse similia alicui alteri segmento ; quia non abscinduntur ab una ordinatione , aut duabus, &carum distantia in ellipsi a centro non est aequalis 18. cx 6. , & hoc erat ostendendum.
SEctionum non similium A B C , D E F unum segmenturi tavnius non est simile alicui segmento algesus. 'R :
Si enim hoc verum non est , sit segmentum G C sectionis A B C si fieri potest simile ipsi H F alterius sectionis D E F , & iungamus G C ,
H F, eas deq; bifariam secemus in I, Κ; iuneamusque L I, M K; quae sint ψ lib- duae diametri, & secent segmenta in B, E: si itaque suerint duo axes, cuduo segmenta sint similia, utique egrederentur in eorum singulis ordin, Defin. 7.tiones ad duos axes, numero aequales , continentes cum axibus angulos irim rectos, & proportiones ordinationum ad sua abscissa in qualibet earum essent aeedem , ac abscissae ad abscissas proportionales quoque essent. Et Delin. a.
propterea duae sectiones A B C , D E F similes erunt, sed iam suppositae huiM fuerunt non similes t quod est absurdum. Si vero I L , M Κ non fuerint axes , educamus ex B, E ad duos axes L P , M induas perpendiculares B P, E in & duas tangentes B N, & E O itaque propter similitudinuduorum 1egmentorum similia erunt B N L , E O M ; & pariter L B P, M E in atque quadratum B P ad L B in P N, nempe in eadem propor
237쪽
tione figurae diametri A L o. ex t. J erit ut quadratum E Q ad M Q in O Q, nempe in eadem proportione figurae diametri D M o. ex x. quapropter duae proportiones figurarum earundem sectionum sunt eaedem inter se;& propterea duae sectiones sunt similes ia. ex 6. at suppositae fuerunt non similes. Quod est absurdum.
SI autem sectio ABC suerit parabola , & sectio D E F hy
perbola, aut ellipsis: manifestum est, sectiones non esse ii ter se similes. Et dico quod duo segmenta G C, H F non sunt similia.
Si enim similia essent haberent conditiones similitudinis, quod est impossibile, quemadmodum ost sum est in omnibus sectionibus ad propositionem 13. si vero una carum fuerit hyperbole, altera vero ellipsis, id ipsum ostensum est ad propositionem 1 . Et hoc erat propositum.
CViuslibet conisectionis A C D portio B A C D non erit
arcus circuli. Si enim hoc verum non est educamus in illa chordas A B. C D. AC, quarum nulla alteri sit parallela: & educamus E F paraliciam A IB. &EG parallelam A C , atque G H parallelam C D , & per ungularum duarum aequi distantium semipartitiones iungamus KI, L M, NO, quae qui'
238쪽
lena lineae perpendiculares sunt ad praedictas chordas , suntque etiam diametri sectionis, eroo I Κ, L M,Nosunt axes, nee sibi in directum coincidunt; quia chordae primo eductae inter se parallelae non e ant : hoc autem est absurdunia, quia in qualibet sectione reperiri non postiant plures, quam duo axes a. exa. ; ergo fieri non potest , ut sectionis Sconicae portio sit arcus circuli. Quod erat ostendendlim. n
, Vodlibet duorum segmentorum , ut A B C, D E F in duobus segmentis similibus , ut N A C, P D F abscissa sint ab ordinatis duorum axium sectionum, ut A C, D F, N L, P M , A M . AS, K M ad latus suarum verticum ut B, E sique proportio earum abscisi sarum ad crecta duorum segmentorum eadem, nempe I B ad B G , ut KE ad EH,&LBad BG, vi ME ad EHi utique duo segmenta A BC, DEF,N B, PE similia sunt, & similia positione : M. Textus hic Vodo meradeo eorruptus est, ut ne Apollonius quidem,s reuiuiscreet, 'sum ex verbi tam inconcinnis , o non coherentitus elicere possis. Itaque Quinando eam ess veram lectionem censeo; quam in texis apristi. Educ,
239쪽
rando antecedentes ad aesseremtas, vel fummas terminorum O L ad L I eandem proportionem habebit , quam M ad M K.
Et B L ad L N est vi E M ad M P propter similitudinem duorum
segmentorum ) ergo ex aequalitate O L ad L N, dec. Sequitur quissim hoc non propter similituάinem sigmentorum , quandoquidem segmenta milia noc suppan ntur sed quia semper parabola sunt miles , cse in eis positae sunt axium lui u . abscisse L B, ct M E proportionales Duribus rectis B G , ct E H , propterea' sit in prop. ii. huius ostensum es J B L ad L N eandem proportionem habebit quam E M ad II P ; sed prius L B ad R I erat τι M E ad E Κ, ergo comparari disserentias term norum ad antecedentes erit I L ad L B vi K M ad M E . sq: se a s L ad LI τι χ d ad II K, erga ex aerarii ordinata O L MLA' eru rat ad M E.
240쪽
Et quia N O ad O A est ut P Q ad Q D invertamus proportionem , deinde bifariam secemus duas tertias partes, & in uertamus eas quoquo siet N O ad O R, nempe N L ad L T in eadem ratione ipsi V Z, nempe L B ad B Z , ut D QIid Q r, nempe P M ad P X aequalem ipsi Υ a, nempe M E ad E a , &c. πι-- LO ad O I sensa suis it M ad GK, tar propter parallelas I A, L N, nec non DY,M P est NO ad O A, ut LO ad O I; paritero: P a ad est ut M ta adta L; igitur N O ad O A eanae proportione habet, quam P ad a D, ct comparando antecedentes ad semidis frent as, zelsemisumas terminora eris N O ad R A, ut P ad id S D: O pr psere a N O ad O R summa, vel erentia consequentium eandem proportionem
habebit, quam P a ad Us; sed propter parauetus R T , or O L es L N ad T L, τι N O ad O R : pariterque propter parallelas S X, ct est e M ad x
M. et i P ad πις; igitur N L ad L T eandem proportionem habet, quam P M ad M X: siautque in parallelogrammis V L, ct T M latera 'posita aequalia V Z is T L, atque a T ipsi x M; igitur N L ad V Z eandem proporti nem habet, quam P M ad T a, or ita erunt earum quadrata; sed τι quadratu N L ad quadratum V Z ita est abscissa L B ad abscisam B Z pariterque τι quadratum P M ad quadratum T a, ita es abscissa M E ad abscisiam E a ; e go L B ad B κ eandem proportionem habet, quam M E ad E a. Et occurrere faciamus par pari remanet O Rad R b, ut Q S ad S e , &c. 2-oniam ostensa fuit O N ad O R, τι a P ad ae S, per comersionem rationiss N ad N R erit τι ad P ad P S , pariterque sensa fuit b N ad N O, Uc P ad P α; ergo ex aequali b N ad N R es et i c P ad S P, or Hold ndu b Rad K N eris ut c S ad S P ;sederat invertendo R N a N O, et i S P ad P IU
quare comparando antecedentes ad disserentias terminorum eris N R ad R O ut