장음표시 사용
241쪽
Sed tangens in V perueniens ad L Ο, &c. Si enim expunctis , V δε- cantur V e , se T stangentes parabolas , o producamur quo que secent axes in e , ct fessistentur duo parasita gramma V e O R, is T 1 de , in quibas ta- gentes V e , o T i e cientur aequatis iam O R , ct a s e ct propterea inuem tendo R V assicisse ad contingentem V e aequalem usi R O eandem mom Itonem habebit, quam abscisia S T ad contingentem T s aequalem ipsi S ac , atque e cium praedIcta contingentes cum axibus angulas e , i Maales Vsis O . O a- Prop. i6. Pasibus propter parallelas; igitur Amema N V A, o P T D milia seni in-
Et pariter duo segmenta A B C, D E F, atque duo segmenta N B, P sE sunt similia inter se, & similiter posita , &c. Hoc manifesum es, si enim
coniungantur rectae linea N C, or P F, o bifariam diuidanor , atque ducam tur Hametri , ere, et ii fecimus in siectione N A , ostendetur similiscr ex e dem 16. propositione I segmenta N C , P F similia esse inter se. Non se cui si coniungantur rectae lineae N B, O P E, o bifarsam diuidanor , atque iuriam tur diametri, o reliqna persciantur, et tprius, ostendentur eodem modo,hC-M N B, ct P E similia inter se. Deinde ponamus segmentu P d; quia non abscindunt illa duae ordina' ntiones unius axis s 18. ex 6. ), & hoc erat, &c. Sed legendum puto ut intextu apparet. O horum et rebo sensus erit ineri non potes , et i sigmenta P d fit simile ipsi N A, et ei N R . propteria quod in sectione P F segmenta P d i ta tummodo portioni simile est pr. ter quam in elii ), O ambo intercipi debent a duabus ordinatim applicatis ad axim E espropterea segmenta P D, vel P Enon erunt milia ipsi P d, ct quia N A ostensum est simile P D, pariterque X B sensum es simile P E i litor segmentum P d simile non est , neque N A , neque Amento N B ; quod erat ostendundum.
242쪽
ad B G ex φpothesi erat, ut M E ad E H , o istiertendo G B ad B Ierat vi H E ad E K; ergo ex aquatitate L B ad B I eris ut M E ad E K εἰ se per conuersionem rationis B L ad L I erit ut E M a M K. Et propter similitudinem duarum sectionum N L ad A I , nempe L Oad O I est, ut P M ad F Κ, nempe M Q ad QJ. &c. a uoniam duae s mones N B cr P E iles suppositae sunt, ct m abscissa L E , M E , nccnon I R. x E ad latera recta B G , o H E proportionales fiunt; igitur N L ad A I eandem'oportionem habebit, quam P Mad D Ke ct quia triangula NL O , ct AIO similia hunt propter parallelas N L , Gr I A , pariterque triangula P MO D L adsimitia sum; igitur L G ad O I erit τι N L ad IA ; pariterque M ad di a eris τι P M ad D K , seu τι N L ad A I r es propterea LO ad O I erit τι M id
Et ex aequalitate L Ο ad L B erit vi a xl ad M E, sed L B ad L N cst ut M E ad
M P , cum ex suppolition lectiones sint sinulas , &c.
243쪽
Iuoniam O L ad L I sensa fuit, ut ad M A ; atque prius sensa fuisa L is L I , τι E M is II K a ergo initi runcis I L ad L B eris, O K M ad M E ; o propterea ex aequalitate O L ad L B erit τι ad II E i sed B Lad L N est , τι E M ad M P ; igitur ex aequalitate O L ad L N erit is a M' 'i' ad M pi sent e diso anguli L, O M recti; ergo triangula O L N, ct V M Passu angula erunt propterea anguli O , o aequales inter se erunt ;sed quia contingentes verticales V e. oe y f parasielae sunt ordinatim applicatis N A, PD ad diametros V R, ct T S; igitur angulus V e B aequalis erat anguis N O L: pariterque angultis T s E aequatis eris angulo P pro erea anati e , Is aquales erant inter s. .
Ergo propter similitudinem duarum lectionum T Z in Z e ad quadra- dtum Z V eandem proportionem habebit quam X a in a fad quadratuma Y, & angulus e a qtialis cit angulos; igitur V e T simile est Y fX ,& pariter, dcc. . um iam in pectionibus simitibus V B, ct T E axes ira ues
' 'l' lateriatis rectis propori onales sunt, ct ducta sunt ad axes ordinatim applicata 37. b. V Z , T a, ct contingentes V e , T s, es que rectangulum T Z e ad quadratam Z V ,τι latus transuersum ad rectum , pariterque rectangulum X a t ad quadratum a T, ut axis transuersus ad erectum; igitur rectangulis T Z e ad qua dratum Z V eandem proportionem habet, quam rectangulim X a s ad quadra tum a. I, ct a verticibus V , T duorum tr angulorum V e T , se T i X ducta sunt a bases r. Ia lina V Z , T a e cientes angulos. rectos , cum ordinui
applicata sim ad axes ; atque angulus V e Z sensus est aequalis an o T s a ,
propo 6. igitur tertius angulus XV C aequalis erit tertio angulo a T si or ludo duo tri
praemissi V T e , or X milia erunt inter se: o propterea circa an ulos aequales P , ct X latus e T ad T V eandem proportionem habebit, quam f x ad X T : camque duae continetentes venicales V e,T f parauelae sint ordinatim applicaris N A, o P D ad Zametros V R, T S, erit O e ad R V, τι e T ad T V: ρο- raterque . f ad S I erit, τι f X ad X T: erat datem e T ad T V , et in f X adi 1. Eulu . X r ς igitur Zaritcr 9 e ad RV eandem proportionem halebit, quam aes ad
244쪽
Sed B T ad B I erat ut X E ad E K propter similitudinem duarum s
ctionum , &c. Oniam ex se thesi abscisia axis I B ad titus recyam B Geras ut assii a L E ad latus rectum E H; O propter similitudinem sectionum ra. Dura erecta G R, O H E ad axes transiuersos, ese ideo ad eorum Iem es T RCT E X eandem proponionem habebunt; ergo ex aequati I B ad B T erit τι ΚE ad E X. inuertendo τ R
E ad E X, ct inuertendo T Rad B I erit ut X E ad E K . Sed libet aliam expositionem afferre frigoni principisectaenientiore. Ibia ex desinitionea .huius I bra legitime Interpretata , ct sicutico, rex a atro'. huius. In sic anibus simitibus non qualibet axium abscisiae ad conterminas potentiales habent eandem rationem; sed illae tam tummodo , quae Durae lateribus proportionales sunt: itaq; in se momitis simitibus A N , D Evt qualibet axium , abscisiae BI. E K ad contremmas potentiales I A, Κ D sint proporti nates, nec e est, ut eaedem I Ro F Κ lateribus figurarum BT, E X proportionales sint
Et quadratum V Z ad quadratum Z e est, ut quadratum a Y ad qua dratum a s dcc. Ostensa enim fuerunt duo trian la V A e , o T af similia inter θ ; or ideo titera circa angulos rectos Z , cr a proportionalia erunt; se
Insuper dico non esse similia alicui alteri segmento,&e. Sicuti in stra-c eniι propositione factum est ostendetur , quod minentum N C non es simile alicui alio sumento is altera fictione P E , quando non compraehenduntur ab ordinatim ad axes applicatis, ct in ei sibus aequaliter a centris di m.
T propterea duo sectiones A B C , D E F similes erunt, &c. αὐ- LM . . niam segmenta G B C, ct H E F posita sunt similia , erunt diametrorum huius.
245쪽
seu axium m hoc casu 2 L B, o M Esigura similes inter se ; ct ideo secti aut a ' As C, O DEF miles erum. Itaque propter similitudimem duorum legmetorum linalia erunt IIN L. DEUM, de pariter L B P , & M E iaciaque quadratum B P ad L P in PN nempe, &c. Huius securari partu demons tunem, quam nonsinceram Pa raphrases Arabicus nobis transmisit om ture opere pretium cru, eandemqi se uius demonstrare hae ratione. I uia sigmenta C B GF Γ Π milia ponum Lem. 8. tur; ergo erunt figura diametrorum B I, E miles inter si in angulis I , X
SI enim similia essent haberent conditiones similitudinis, quo est im- a
possibile, &c. Si enim concedantur segmenta G R C in parabola , o H EDefin. r. F in hyperbole, via ellipsi, ilia infer se; igitur in unaquaque earu duci pes huius sent ad diametros ordinatim applicata numero aequales, escientes angulos
246쪽
les cum diametris, quae ab D sint proportionales, o abscissae queque inter se. Vnde sequitur , quod portiones eiusdem Zametri E A a cenoo M ad omnes o Hnatim ad diametros applicatas sint aequales interse et i sensum es m propositione i 3. huius: quod es impossibile. Guando vero sectio A C es sperbole , ac sectio D F es elli is , militer, ut in I q. propositione huius, sendetur ζ, quo abscissa in h perbola , or emessint
proportionales ; ct propterea omnes habebunt rationes maiorIs in quatitaras, aut omnes habisunt, proportiones maequalitatis minoras, quod tamen in pria Ia I
propositione impo He esse ostenditur.
SI enim hoc verum non est , dec. Od quaelibet pretio B A D sectionis
conicae ABG nasio pacto circumferentia circuli esse pollit sc ostendetur. Guia in circulo rectae lineae druidentes bifariam duas parallelas inter se sint necessario diametri circuli, qui perpendiculariter secant praedictas parallelas antis tas i igitur si curua linea B G D fuerat ei culi peripheria rectae tineae K I, L M , ct N O diametri circuli , erunt perpendiculi res ad ordinatim applicatas aequid antes inter se i sed quia etiam ABG svponitur sectio conica , erunt K I, L M , N 8 axes praedictae sectionis conicae eo quod bifariam, Plor ad angulos rectos diuidunt ordinatim ap- hylicatas. Rursus quia praedictae oraenaitiab Iapplicatae non siunt omnes inter se parasidia, eo quod ex co/ structione applicatae A B, A C, C D nauserunt ducta aequid potes ; eritur tres axes IK , L M , N O indirectum . non coincidunt; quare insectione conica S A G reperiri possent tres axes; quod
SI duo plana aequid istantia conum aliquem secuerint , atquem eo ei sciant duas hyperbolas, aut ellipses; utique sectio
nes ii miles inter se erunt, sed non erunt necessiario aequales. Effetant
247쪽
Ericiant duo plana parallela DE N F, G H P I in basim coni AC duas rectas lineas D F, G I,&planum per axim coni ductum' essiciat triangulum ABC perpendiculare ad duo illa plana parallela ; quae ab illo secentur in E K. H L . Erunt D IJ, I G perpendiculares ad A C,& educamus B M parallelam ipsis E Κ, H L: & ut quadratum B M ad A M in M C; ita ponatur N E ad E Ο, & ita P bl fiat ad H QU. erunt
c, IJ N E. P H inclinata duaru sectionuF E D, I H G, aut eorum transiic saei igitur O E , H aerunt eoru in hii u. erecta,& propterea figurae duarum sectionu sunt similesi igitur duae secti
1 δ: to. nes similes sunt. Et si quidem fuerint N E, P H aequales; ipsar quoquo hu aequales erunt , alias non; Et hoc erat propositum.
immutanda re ui τι in textu videre e Sint abscisnones duorum planorum aequi distantium cum basi I G, FD, b& secet conum planum transiens per eius axim , &c. Adiuri verba , quae in textu derantur, que expositionem persciunt. Animaduertendum est, hanc propositionem conuertibilem non esse ; licet enim plana paraltila in eodem conoes δει sectiones similes, verum non es , quod quotiescunque in eodem cono duaeso Iunce
248쪽
sectiones sunt aequales, ve smiles inter se, tune qui em earum ma sime aquis antia: Sicuti enim in eodem cono periens designari Hy At Grexti aequales φώubcontrarie positi , c etiam reliquae coni Dones siγίcontrari. constitutae e cimssunt aequales , or similes inter se e haec autem , sicuti etiam quamplurima uri oriri possunt in D is heatericorum . . a Sed non alienum erit a nostro in is, o his muris considerare flasones, ct d .friptiones sectionum conicarum simitum , vel aequatiam , quae quid antes , seu a' totica vocantur. Et licet hae M alys inuenia, ct tradit ni, non nubia tamen noua in medium asseram: non enim rerum nouitas ex subiectι novis u tantummodo arguitur, imo de subiecto antiquo possunt nara speculMiones in aferri , atque corrigi , ct copleri ea , quae apicem persectionIs non attingum, O haec quidem omnia noua dici poterunt, O possunt, or Hbem Gis veritatis
Primus itaque omnium c quod sciam Panus Alexandrinus libro septimo eoAlectionum Mathematicarum propositione a og. lemmate sexu in quintum tisrum Sosiony, considerauit concenDicas h perbolas inter miles, eunde axim habentes, λὰ easdem partes cauis inter se se non concurrere , sed semper ad se ipsas v, cinius acciaere. Psea Gregorius a Samo Vincentio senit, quod duae parabola inter se quales, similiser positae circa communem axim, vel diametrum,Ρ- η 'riter nunquam conueniunt, cir paria laesum intres, se in infinitum proin rasemper magis ad inuicem accedunt; atque proposi. 139. de 'perbola consider uis duas h perbolas aequales, o similes, quae pariter in insinissi extensa nunquam Πηemunt, ct simul cum Pano putat, rite concludi posse, quodpraedicta secti nes, in in itum extensa, sint asymptogi, se semper magis , ac magis aὸ inu rem Vpropinquentur ex eo , quoὰ rectae linea inires aequidsantes inter duas sectiones interceptae inuecesue semper diminuantur. PrvositIones quidem recom t nditae, cy stitu iucunda , sed an aeque certae , or indubitata censeri debeant, i I: Pimmus, aliquibus tamen praemio . i. In qualuet sperbola I E, cuius asymptoti C A a , Larem rectarum linem DEFINITIO Addita. T
πνο- F I , G x inter se quid avitum , as una as Nura A C ad hyperbolen eductarum , sit F I propinquior centro, quam G M, quando ambo cadam infra centrum A ad partes C; vel F I magis a centro recedas , quando ambo cadum
249쪽
ultra centruis in eadem πιν toti productione AZ; aut F Is ra, ct G K -- fra centrum A existit: Iis quot bracasu Hotur, I moerius tendere ad pari scentri, et eI asymptoti A B, Pam G Κ. . H λNon Ieca, s ab eadem asν toro A C e cantur quaruor recta tinea inter se aequissipantes F I, G Κ, H L, CE, quarum. duae priores F I, G K, centro ' 'nquiores sint, quando omnes 1 ra xen um . A cediscantur i vel metu a cens rorecedant, quando omnes an productione A Z exbunt; aut certe duae F I, G supra centrum, ct H L, C E infra centrum existant: Tuncs iter in quia bet easa ducentur reme tinea FI , G Κ vrums tendere ad parte centra , ct 2 a Impora A B, quam duae alia H L, C E. ROP. Addit.
s lii ii iis asymptoto A C , hyperbolas D A Iumantur auo Igmenta aqualia F G , H C , P a punnis diuisionum ducantur quatuor rectae lineae F I , G x , H L, C E parallela inter se, , que ad , perbolen: Dico quod disserentia duarum aequidistantium F I, G K ad partes centri , s alterius ab toti A Z mlterius tendentium, maior erit disserentia reliquarum H L , C E.
Ducantnr a punctis Ε, Κ recta linea E S, K R parassela as)mpto- λυ AC, qua efficiant paralleo'ama C S, G R. Pater I R esse differentiam aquidistantium F I, o
tiam aerataistantium H L, C E ;
er coniungantur recte linea E I,
250쪽
ister E, ct I existit; ergo recta linea I V posita intra conicus mentum E V Isina eius basin E I cadis ; ct ideo ei parauela E O cadit infra eandem se menti coici basim E I, ct propterea occurret Vsi II L intra conisectione , ct infra panctum L in sectione positum, ut in O ; ct ideo O S maior erat, quari
S L. Et quoniam S E, ese R A sum inter se paratulae quia eidem A C aequia distant 2 pariterque E O , o K IscI ae sunt parata ae , atque S O , 9 R I ex 'pubes aequi istantes erant, igitur duo triangula E S O , o K R I similia sunt inter se, eoia latera homologa E S, ct L R aequalia sunt inter se quia in para elogramim S, ct G R latera E S , R V aequalia sunt oppositis C H , GF inter se aequalibus, ex spothesi igitur redi a latera homologa S O , o R I aequalia sunt inter se; ct propterea R I disseremia quid santium F I , G K ad
partes centri A, or asymptoti A A vlterius tendentium, maior erit, quam SL,
qua portio es iasius S O , o es disserentia aequidistantiam H L, o C E al serius segmenti H C. od erat Gendendum. Ex constructione , se demonstratione huius propositionis caliditur , quod si a COROLAobus punctis eiusdem asymptoti A C ad 0perbolen ducantur duae rectae lineae LAR. inter se para elae: Aia, quae ad partes centri A , or asymptoti A B viserius temdit, maior es reliqua. Nam recta tinea K R, asymptoto A C parallela cadit e traiectionem , ct ideo secat interceptam parat iam F I, qua eris maior, quam F R. su G L; igitur F I ad partes centri A viseritis tendens maior est qualiabet aba parasi a G V ad partes oppositas tendente. Eadem ratione F I maior eris quam II L, ct H L maior, quam C E. Vnde patet propositum.
Si fuerint di pernia AB, s D E aequales, di similes ad eas PROP. y. dem partes cattae , quarum centra H, s L, O G ptoti G H I, 9 β de L. Ad , nec non axes A H, ct D L sint paralleia inter se, se reetae linea B E , ct C F ab l perbolis interceptae parat L fuerint recLe HL centra cornuvgenti ; erunt B E , O CF aequales ipse H L , ct imter se. Si autem parallela sint alicui rectae linea L f diuidenti angulum x LΗ contentum a recta linea L H cem tra coniungente, interiore a Impto
sunt: Dico B E Ulterius tendentem
ad partes reliquae gymptoti L Ad maiorem ese , quam C F. Si mero B E , is C F paralleia sinit alicui reetae lineae H g diuidenti angulum L H G a recta linea L Hcentra coniungente ; se eadem uomptoto H G contentum: Dico RE LUterius tendente ad partes reliquae aOmptoti H I minorem esse , quam C F.