장음표시 사용
261쪽
o onor eadem G N ; igitur Hstantia serionum G D minor erit quacunque recra onea proposita. Gia vero τι canseat ex demonstratione cassis a. propos. 3. addit. huius 2 qualibet recta linea G D intercepta inter seperbis conueniens cum axi intra sectiones maior est portione eiusdem recta Dnea C D G inter ἀ- qui antes asymptotos E P, se Κ α trecepta a igitur muruallum inter di as perbatis , licet se cessive semper ni is , ac niagis diminuatur , nunquam' ta men minor c ι poterat intenialia duarum aequi antium h perbolas contincra itum E P , or Λ od Diaeis est perpendiculare ad utramque rectam con tinentem E P , or Uiniesque podicta perpenicularis mInima omnium ira
PROP.8. Duarum parabolarum, mel hyperbolarum AB, D E aequaliμm, Ω 'd i ' si, Bibum , quarum axes A O , D , me non a mptoti H I x , L MN sint parasitae inter se , similiter positae: Sectionum distantia maxima
parallela erit mertices coniungenti, δ' ei propinquiores ex rutraq; parre maiores sunt remotioribus et sq; ad concursum e s mero distantiam maximam mn habent semper augentur quo magis a concursu recedunt.
das concursius siri ιοuum Z inter axes AG 9 DT,cta -- tu i ἔ Κ, M N coincidant, aut sibi sini vic/niores, quam i Η, ML. Et primo an ulus T D A A. axe T D , ct D A mertices cm iungente contemus sim,recto minor non su in horia , sitque rectas in parabola , est ultra concursum Z , ad paries avis D T, o at m- pistorum magis distorum H I,
L M: fumantur m compraebens Actione A B quaelybet puncta, P, P, a qui et ad axim
262쪽
ad axim ducantur rami breui mi O B , praeter axim A O , or secem ein ' ternam cumam in G , E , R , or occursui Z , vel communi asymptoto I M N, a. licinioribus as)mptotis I K M Nst A G propinquior, quam E B, or E B propinquior , quam R P: Ostendendum est curuarum Hstantiam A G minarem 6 , quum B E, ct B E, quam P R. DWantur interceptae G S parat L E R , o E X paralgeti R P. Et quia in parabola angulus T D A rectas Funoni r , scuo est is hverbola non est minor semirecto , ergo quilibet ramus breuismus E R , I 1vM. OA R p aequiae iam erit recta linea diuidenti an tum 'A D T in paraboli , or Prop. 6. o lum M I H in hyperbola ; sed duarum para Harum E B , G S , et I R p . - ix X X est G S vertici propinquior , vel ulterius tendit ad partes as p uti I K , yis,m E B: ergo G S minor est, quam E B; es que G A minor, qua G S, quia Prop. '.
ilia es portio, vel productio lineae breuis AE O A; igitur G A adhuc minis eniquam E B. Eadem ratione E B minor ostendetur , quam R P. Possea. 7 occ-sus Z cadit extra duos axes, inter axim A G, ct occursum aut ad sartes asymptotorum
263쪽
t olorum coincidemm . et ei propinquiorum, ad onos tas partes cirra arim G A. omantur Ao pumT. C, T , ct ab eis ducamur ad axura rami se i mi OC ,. secantes externam sectionem in F , V, occursu, vel communι asymptoto, vel ab as3mptotis vicinioribus I K, M N magis recedat A G, quam CF, G C F, quam T V; Dico G A maiorem esse , quam C F, Gr C F maurems , quam T V. Ducamur interceptae F a parallata G A , ct V b parallela C F.
;8. lib. s. Propos. 6. addit. huius. 8 Q. & Io. lib. I Propos addit. huius. 38. lib. 3.
Et quia in parabola F a propinquior es occursui sectionum , separaPela es in
mraro G A I at m hyperbola F a parasiela es axi G A , mel DT diuidenti amoutam II I H, o F a et sterius tendit ad partes uis I x, quam G A; e qF a minor es , quis G A r es que C F produms rami breui paμι minor quam F a; ergo A. G maior eris, quam C F. Eodem ratiocinio essendetur C F mater,' Iritin iis risur T D A sit acutus in paratoses , at in hyperbolis m/π' se mirecto M M I H ab asymptoto I H , o recta linea centra coniungeme cen tentassii acutus e Manis um s duci ptis ramum breuissimum , ut O B U Ic ctionem interiorem A B Qui para elus i rectae lineae D A et retices com numit, vel I M centra coniungenti ἔ ct ex utraque parte ipsius rami O B praetcr AExim A G ducantur quilibet breuismi rami P , d e , t l, O C , qui secent exic nam peripheriam in R,s,m, F. Ostendendum modo es in eisdem conisectiornibus E B esse distanti. omnium maxi-am , ct R P propinquiorem maxima maiorem esse remotiore f e; paraterque m l maiorem esse quis G A. DucantVrintercepta R g , m n parasielae E B, ct f h paralgelu R P , nec non G S para 'lela in i , ct F a parallela G a. moniam intercepta Rg, mn paratura I eidem E B , ct recta linea D A vertices coniungens , vel I M centra conto tens parallela facta fuit eidem E R ; ergo E B , R g , m n erunt omnes intersee AEquales ; es que R P minor, quam R g I paraterque in i minor , quam in Π, quta ilia seunt productiones breui morum ramorum αP , ct i l , i Dirlibet distantia a P , vel l in ex et traque parte ipsius E A sumpta minor U , qua- E R ; ideoque E B eris omnitim maxima. Deinde quia O A paraticia UA D , vel M I , ct rami brevisimi O A , s P se secant vltra axim A O , σν re a linea R P redacta secubis quoque reliquam paralletarem D I ,
264쪽
IM aὰ partes O A M; ideoque intercepta R P , f h paria lae erunt a Feri re
m tinea diuidenti angulum D A O ab axe interioris flarabola , σ et emces coniungente contentum , vel angulum IM L ab aymptoto interraro h perbo e , ct centra coniungente contentum ς igitur R P propinquire verticibus , Celmo
rias tendens ad partes reliquae asymptoti M N maior eris quam f h : es is f h 3 g sti maior c quae esproductio rami breui mi tergo di arta RP propinquior maximae 38. lib. 1,
E R maior erat, quam 1 e. E contra quia Ireuissimus ramus i I m cassit inter ...
ergo i in occurrit AD , vel M I ad partes D , vel I; Meoque Aitercepta in I , or ei parallela G S erunt quid pantes alicui rectae tince dius genes angulum TD A, in parabolis, vel H I M in ιν Molis: cr propterea G S propinquior ver- ''tici parabolae , vel ulterius tendens ad sartes re uae asmproti M N minor erit, quam in l; estque G A producZio rami breu simi minor quam G S i ergo m l maior erit, quam G A ; cr sic et lienus G A mur erit CF, quando o cursus A sectionum cadu ultra interceptam ad partes T V i ut in prima parse offensum est, Iisdem manentibus : dico postea , quod Hira distantiam maximam E R ad partes R P, distantiae , licet semper dimιnuantur non esciuntur minores iste uallo diametrorum aequid fantium D T, A O in parabolis, via interva o a' protorum collateralium I H, M L m hi perbolis, ut facile deducitur ex 3. σε. additarum . At ad sartes asymptotorum contruentium fuerbole ad se se ipsas propius accedunt, interuallo minori quolibet dator Nam in Deum as h perbole A A C , Or asymptoto M N contemtim extendistir astera sper D E D F ; sidd, antia ι perbole R. A C ab aumprofo M N escisur minor qualibet data οῦ 1 Itur distantia μ'Hoia DG F compriscns ab hyperbole intercipiente mmor requia bet data distantia.
265쪽
Tandem a dem positis durantur ex altera parte concursus Z rami breui io C , IGI , qui e clari distantias F C , T V . Dico F C propinquiorem concursu Z minorem eme, quam T V. αuoniam ungulus T D A, via r I MDp ponitur acutus: sintque I D Υ,M A O inter se,parallelae; ergo angulus D A N, ,- vel I M O, cr multo maris I M N eris obrusus; sed Pilitii ramus breui mustio. 1. V VT parauelus F a e cis cum axi A O anguis acuiui igitur ramus breuis iae , sir ei parasielus F a sum aequidsanies alicui rectae lineae diuidenti angm propos iam D A I M N; ideoque F a propinquior concursui , vel ulterius tem& . add. dens M partes reliquae aymptoti I H minor es , quam T V ; esque F C minor A. , quam F a s quia illa es portio rami breui mi ergo F C minor es, quam TH. Ia id aeis, erat A, positum.
PROP. . In duabus h pertilis C AD, Addit. H G I si libus , concentricis , sist similiter positis circa communem axim B A G p idest
consistant circa comunta MPmptotos E B F : Dico sectionum C A D, H G I interualla S per minui, quo magis ab axis vertice recedunt; atque enici posse minora interuallo quolibet
dato. ir. huiu1. Describatur sperbole M G N& ex 33. aequalis, micis,c similiter posita
266쪽
ipsi C A D circa commanem axim A G. Et quon am 6peMesa HG I laxis transuersus R G maior es transiersos mi axe B A, s verboles C A D, parite que latus recum litius maius erit huius latere recto cum latera figurartim sint i huiu proportionalia in otissimilibus : igitur h perbiae HG I maior es h pe hiau M G N quia ab Hys offensum es), o con sunt circa commune axim A G, O vertex G es communis et igitur 6perbole H G I compraehendit hyperbolen MG N ; ct ideo hyperbole HG I cadit inter duas seperiatas G M , se A C r est propterea Hyerbole G H multo magis successive vicinior e citur ι perbolae A C, quam sperbole G M; sed dua seperbolae aequales, o ititer po tae AC, est o PQp' 'Msmper magis , ac magis ad inuicem approximantur , igitur musto magis his μή i 'perbolae concentricae AC, ct G H semper magis , ac magis adsese i as απυ- lib. I. pinquamur, ct interse non conuenient ut Panus demons auis. Tandem, quonia P p*Ja Mneae breuissimae , quae perpendicularis es ad laventem sperialem G H pretio Τ' ab as1mptoto E B, o sectione H G com ahensa efflat potes minor qaium Leta, Τ recta λυ proposita; cadit et reo hyperbole AC inter seZionem G Π , se continen- Pr0p C rem B E ; igitur multo magis Hsantia inter seper tis G H , ct AC minis -- erit quacunque recta linea proposita. aeuod erat Ufendendum.
Si in duobus conis duciti fuerint duo triangula per axes AB C, DE 'ROP F smilia, or similiter posita, atq; sectionum I G H, o PQ L ad dia ' Λή '
metri G O, L L aeque ad bases inclinatae intercipiant cu triangulorum i reribus AB, D E eridemGO, Lxparalleli portiones ON, LEaequales et et cum axibus conorum AT , DA diametris aequidistantibus intercipiant
portiones OT , Κ A aequales , sciant angulos Ar C , D Z F . aquales : erunt conicae seditiones inter se aequales , or in qualibet earum Aulum interceptae poterit figuram sectionis . .
Primo m para tis , quia triangula A R C , D E F sint similia , erit B CH C Aut EF ad F D , ct G O , L L sunt parallelae homolotis AB, DE; ergo OC ad C G B O ad G A eandem proportionem habesint, quam B C. . C A ea iam , quam habet E F ad F D i est que E K ad L D G E FH F D; ergo B O ad G A est τι E K ad L D ; sintque R O , E K aequales ,
267쪽
i or G A aequalis es L D : se quia in triangulis simitibus re angulum BAit lib. t C ad quadratum B C, seu A G ad tisus rectu- G R eandem proportio bet; quam rectangulum E D F ad quadratum E F, seu quam D L halet ad I tus rectum L S ; ititur A G ad G R erit τι D L ad L S ; suntq; AG , Dostense quales ergo G R, ct L S latera recta aequalia sunt, σnum efficiunt angulos GOH, LY M aequales; ergo parabolae HGI, ML Nysi. '' aequales fiunt inter se .
h perbolis verὸ , quoniam P G parallela est axi A T , ct AV paraseras basi BC, ct latera PR, ct A C sunt communia: igitur P V ad V A es et t rLr s.ctsi ad V A es τι I A ad T C habet et ero
ac uatis Tu , T C eandem rationem ergo P V , ct G V ad eandem V A habeeandem proportionem , ct ideo P V aequatis es V G atq: punctum Vre re reum siectionis , ct quadratum A T aequale erit quadrato U O propter par fletis ammum UTP, et quadratum V O aequale es rectangulo P O G cum quadrato V G I pariterque quadratum C T aequale est rectangulo C O B com qua drato Or, o habet quadratum A T ad quadratum C T eandem proportionem, M lib. i. quam latus transuersum P G ad iratis rectum G R , seu eandem , quam harirectangulam P O G ad rectangulam C OB, ergo diuidendo quadratum V G ad quadratu O Υ eandem proportionem Lbebit, quam quadratum A I ad quaa T C, sim ut PG ad G R. seu τι quadratum P G ad rectangulum P G R, ct ideo quadratam dupla V G , seu P G eandem preportlonem habens au rectangulum P G R, atq; ad quadratum dupla usius T O; quare quadratum/Vipsius O T aequale erit figurae sectionis seu rectangulo P G R . Eodem modo Pendetur X centrum hyperbolae MLN, ct quadratum L ra id quadratum d ple Κ Z esse ut quadratum D Z ad quadratum Z F, seu τι I L au L S , Orideo quadrarum duplae ipsius K Z aequale erit Dura sectionis, seu rectangulo
L S . Tandem, quia propter semititudinem resangulorum per axes, sunt angui C, F aequales, ct anguli T, Z pariter aequales um ex 'pubes diametrio O, L Κ parasielae axibus AT, D Z esciant angulos G O C, L K F aequales θ:erg. A T ad y C eris τι D Z ad Z F , earum quadrata etiam proportionalia
erunt ;s PG ad G Res τι quadratum A T ad quadratum T C, atque
268쪽
M L S es τι huadrarum D Z ad quadratum Z F ; igitur P G ad G R Omiam proportionem habet , quam L ad L S , ct propter ca figurae sectumno ex itierunt miles; dis aute guris aequalia osens sint qua rata domesu O r, ct K huius. z. qua supposita fuerunt aequato ς igitur gura P G R , ct S similis , ct aequales sunt inter se , atque diametri aequa inclisata sunt ad ordinatim ad eas 'plurias H I, M N ; igitur sectiones II G I, M L N aequales sunt inter se , dismiles, ct congruentes, quarum Aura aequales sunt quariatis da uiam intem situ ceptarum Or,σ K Z, quod erat propositum.
SI in duobus conis A F C, D E F, bases set in eodem plano , ci
duo triangula per axes A Z C, D E F Iuerint similia , dest similiter posita, di in eodem plano existentia, erunt conis miles inter se.
Ducantur a verticibus A, o D dua rectae A G , o D Η perpendiculares ad bases conora, ct a.terminis axium A T, or D Z eoniungantur recta lineae T G , o Z H. a Monia planam , in quo existum duo triangula A R C, D E F secat anum, in quo basis conorum iacent in una recta linea, quae basis es viri quetrianguli per axes conorum ducti: ideoque B C , ct E F in directam constitura erunt, or circa angulos aequales B , , E latera A B ad B C , atque D E ad EF sunt proportionalia propter triangulistim AB C , ct D E F militudinem erunt quoque ad consequetium semissis propo tionales,scit et A B ad B r erit, ut D E ad E Z circa angulos aequales , oe propterea triangula A B T, o D EZ similia erunt: or ideo duo anguis B T A, O E Z D, externus interno, assumus erunt inrer se a igitur T A , or Z D in eodem plano existentes , parallelerunt inter se; sunt quoque A G, D H inter se parallelae cum sint perpendiculares ad idem planum basium ergo dua a titi r AG , or Z D H aequales sunt inter se I atque anguli G , ct Η aequales sunt, nempe recti ; igitur in triangu-I, A I G , or D Z H , diso postremi aetoli A T G , o D Z H quales snt
269쪽
In quolibet plano Lar gulos I Η C aequalis anguis inclinationis diametri, ct basii parabolae Z μγ II C extenso alio quolibet plano ducatur in eo B Η G perpendicularis ad X H Cyi se mi quodlibet triangulum H G Κ, ct et i qua ratum H G ad rectangulum HEG, ita fies latus rectam parabola Z ad '
inter se hi autem anguli inclinationes sunt axium conorum adsuas lases; e tur avis AT , D Zaque siunt inclinati adsuas basis: suntque proportion os ad basium semidiametros T B , o Z E cum triangula AB T , D E ZID milia ostensa i ; igitur coni A BC, O DE F iussum inter se.
ristob i Data parabola Z duos conos similes exhibere , mi idem planum efii. sciat in eis duas parabolas aequales eidem δεμ parabolae , quae GH hq i tieae situ, sibi ipsis mciniores fiant distantia minore quacunquC
270쪽
duerionem T E , ct ab E ducatur A E R parasiela I H , quae secet G II in B et postea producatur H U , ut cumq; in I, or per I ducatur AID parata a E G, quae secet BG in D ; or in plano B X D C , diametris B G , R D , Lani Hocirculi , qui sint bases duorum conorum , quorum et enices A , o E , se in eorum super ciebus planum per X I C ductum , esciat secZiones C I X , o F ΚT. Dico eas esse parabolas quaesitas. Guoniam recta E G facta es parallela usi A D i igitur duo triangula A B D , o E B G per axes conorum due a s milia , σὴ militer posita in eodem sunt plano ; or duo circuis basium in eodem funt plano a ergo coni A B D , or E B G similes erunt: postea quia tria uno Lem RA B D ,er E B G milia sunt , ct I K II communis diameter sectio m ad ii GR 'coincidentes bases C x, FT aeque inclinara, ct recta linea A E B a verticibus conorum ducta paralliti sunt mur se , atque intercipiunt in angulis aequalibus A B H , ct E B II communem portionem B H basium triangulorum similium per axes; ergo parabolae C I X, se F KT aequales sunt inter se. Secundo, quia Prost io. propter parallelas E S , Κ H sunt triangula E RG , H KG similia; ergo qua- addit dratum A G ad rectangulum B E G scilicet latus rectum parabolae F Κ T ad TZ es , ut quadratum H G ad rectangulum H K G ; sed cuius rutam paristiti a ad K E fuit τι qta ratum H G ad rectangulum H U G ; iritur duo laterrecta , parabole Z , atq; parabole F x T ad eandem K E haem eandem proportionem , se propterea aequalia sunt, or diametri, ad bases aeque inclinata funt ex conseructione ; igitur parabole F U T , ct ei aequalis C I X eris aequa- Prop. ro. os eidem parabolae Z . Tertio quia sectionum plano , ct commani diametro I i 'K H aequi istu cummune laseris A E B, in quo duo coni se se contingunt; ergo latus A E B nunquam occurret plano C I X: sed duae superficies conicae tantummodo se se tangunt in latere A E S, O reliquis omiabus in locis separatae sunt: igitur duae parabole C I X , F V T in Ego pono positae per coma Ium A E B
non transeunte, se extensae in duabus conicis super ciebus nunquam conueniem
tibus , erunt a mptoticae . quarto quia duae parabolae C I X , F V T aequalessent, or simiaiter posita circa communem diametrum I U H ς ergo earum aeL photos santiae semper magis , ac magis diminuuntur quo que sint minores qualibet addit. recta luea data. Iuηd erat faciendum.
Data se dola Z duos conos similes exhibere, it idem planum in ApROP.
eis obiciat duas h perbolas aequales , or similes datae , quae asymptoticae t , si di sibi ipsis semper miciniores fiant, non tamen interuallo minore δεψή μ
In qualibet plano fiat angulus H I M aequalis angulo inclinationis diametri , o basis datae perboles Z , o per M I extenso quolibet alio plano ducatur in eo B I C perpendicularis ad N I x torsempto quolibet mncto O in rem tinea I H producta , ducatur a puncto D in plano per O I B extenso recta linea O Apara gela ipse B I, or secetur O A aequalis semissi potentis guram sectionis Z ,
cuius rectam latus ad transuersum eandem proportionem habeat quam quadra' i , .
tum A 6 ad quadratum D H : atque a puncto A ducatur recta linea A D Gparallelu i H , se coniungatur A H, quae secent rectam lineam G I in pumis G , σ C , o secetur recta linea G B aequalis G C iungaturq; A B , or aquolibet puncto D in recta A G sumpto ducatur in eodem plano ABC duae re