장음표시 사용
271쪽
λ G , superficies nanquam conueniunt, propterea a quibas genreantur in rata moltitione intersi
dacto , diametro B C , Ο Ε F , fiant duo circuli B V C, E L F, qui sint bases duorum conorum , nucrum vertices sint A, ct D , c in eorum sepe ci iura planum per H I , M K ductum esciat sectiones V H II, 9 L a S: Dico eas esse nua sitas. Iuoniam duo tria uti A B C , DE F similia , c similirer positit in eodem sint plano, pariterque duo circuli basium in uno plano ergo duo coni A B C , ct D E F similes erant ἔ postea quia triangula A B C, or D E F milia siunt, ct communis sectionum diameter H X I aeque inclan tur ad co iacidenses bases M K , S L , ct axi communi A D G aequi isat, crin aurulis aequalibus tutercipiunt GI communem portionem basium triangulorum
Ies inter se , ct Ortim stiris aqualia sunt quadrata ex duplia ιnterceprae G Id scripta. Secundo quia spropter parallelas AO, ct BC 2 triangula H O A , or AG C smilia sunt i igitur quadratum A G ad quadratum G c ,su ad re-EZantulum BG C eandem proportionem habebit, quam quadratum H O ad quod arum o A, seu quam latus transuersum ad rectum Mura Z sed ut qua rara n . tum A G ad rectantulum BG C, ita es latus transuersum ad rectum h en tes V H M ; 'itur dua hi per te Z, ct K HM, habent figurarum Dic: porportionalia ;suntq; praedictae figurae aequales cum sint aequales quadratis ex duplis ipsarum A O , o interceptae G I : quae sunt aequales in parat elogrammo GO , Cr habent angulos a diametris , cr basibus contenti , aequales inter se : erunt hyperbolae VII M. ct X aequales, ors miles inter sero propterea sectis L X S, qua similis , o aequalis ostensa est ipse VIIII, erit quoque aequalis , ct semiti eidem hectioni A. Tertio , qtita in duobus conis simitibus , σ's mi iter posuis
circa communem axim A D Gquod latera A B , cr D E
272쪽
parata a conseruantur ; igitur duae sectiones V HM , ct LX S, existimes in eoa m plano scame duas supersties, quae licet in insinium producamar ubique seZaratae sunt , erunt as uticae. radiarib, quia duae 6perbola H x M , ct LX Ssent aequales,similes, orsimilito positae circa communem diamurum H X pI, earum Hsantia si per magis , ac magis diminuuntur ἔ nunquam tamen mi- ad . . nores effici possunt interuallo duarum aequissistantium, perbolas continentium. Et hoc erat propositum.
Data hyperbola X duos conos similes exhibere mi idem planum in eis PROP. yiciat duas h perlolas sentes, δ' aequales Δω, quae asymptoticae sint, 'γ .st p te Mi ipsis miciniores sunt intertiatio minori quolibet data δεής
to : ex altera et eris parte ad se ipsas propius accedant interualli tame omaiore dato : oportet aut angulus ab a P totis sectionis X contentus si acutus .
nn qu libet I ns sat anguisses perb A X ; o Hr O d extenso quoluet alio plano: ducatur in eo re Ga lin a B d C'ρerpendicularis ad O d G, ct sumpto quolibet alis puncto b in recta linea G O in plano per B G C O ducto , centris d, or b describantur duo circuli
273쪽
circuli GCO B, ct G a P L sese contingentes in communi puncto G recta 5 a GO ducaturque diameter L b α vidistans usi B C : ct ut latus rectam ad transuersum semonis X , ita fiat quadratum G d ad quadratum d A ῆ σconiungantur rectae lineae A G, ct A O, ducaturque ex puncto P recta linea PN parasiela ipsi O A occarrens G A in N, atque Α, ct N fiant vertices duorum conorum ABC, ct N LI ,er secetur D d aequalis semis potentii Auram scrionis X; ducaturque per punctum D planam EMF aquidistans plano communι AGO per axes ducto, eniens in conicis sive ciebus sectiones T V c ; Dico eas esse hyperbolas quaesitas. Vuoniam propter parallelas A O , NP es A G ad G O, vi N G ad G P , ct ad is es conseqWntium, stilicet A Gad G d , atque N G ad G b proportionales erunt, ideoque d , N b erunt phrallela , ct Adadd G, addCest si NbadbG , adb squed C etiam parallela b erga plana ABC , ct N L parallelagunt , c anguo A d C , ct N b α aequales sunt atque triangula A d C , ct N D ilia erunt inter se ; ideoque circa angulos quales C, c V erit A C a C vi N I ad Ab , ct ad consequemitam duplas, filicet A C ad C B, atq A. ad I L proportionales eram o propterea triangula A B GON L crum, se similiter risita, est inter se paratula; ergo scient in duobusrianis A OG, ct M E F inter Re quid sordus sectiona diametros I D, ct Vacenora axibus A d, ct A b, o inter se i quare consitueri cu monuba
274쪽
rataci inibus a tilos aequales I D H , ct V aT ct cum isti D d , ct a b nia parrigetis inur se continebunt angulos aequales I D d , ct V a b , eruntque insercepta D d , a li aequales cum sint latera onosita parasielogrammi D b ' ; igitur hyperbole H I Κ, ct T V e aequales sunt inter se , ct similes atq: earum Es; 'iguris aequalia sunt quadrata ex duplis interceptarum D d , or a b. Et quia huius. reian uti A G 9, N G P sunt mitia in eodem plano , fiuntque pariter duo ci cisti Iasium in uno plano exiens; igitur coni ABC, ct N L I similes siunt i Em. ν. anter se. Secundo quia τι quadratum A d ad rectangulum G d O , seu ad re- linius Gangulum B d C ita est latus transuersum ad rectam sectionis H I K, or ex constructione in eadem proportione erat latus transuersum ad rectum se H Ies X , atque anguli I D Κ , o A d O aequales siunt inter se propterea quod D I , d A parallelae sunt , paruerque D K , d O parasielae sunt inter se', cum communes sectiones simi plani basis , cr duorum planorum qui istantium K IH , ct O A G r se erat angulus inclinationis diametri , or basis sperbola x aqualis an uis A d o ; igitur diametri sectionum x, ct H IK aae suas bases
aeque imii nantur , cst habebam latera earundem figurarum proportionalia; suntq; praedic Iae Durae aequales, cum sint aequales quadrato ex dupla interceptae D d τι
dictum es igitur sectiones H I K , o X similes sunt inter se , o aequales iideoque reliqua sectis T V d , quae aequalis , ct congruens sensa es usi H I K, ivitiis.
erit quoque similis, ct aequalis eidem 'perbolae X. Tenio quoniam plana H IU, O G A O aequidsantia sunt, nunquam conuenient ; or ideo planam H I Knunquam lateri A N G alterius plani occurret: sed seperficies conicae se se tantummodo tantum in communi latere A N G , o alibi perpetuo separatae incedunt: igitur duae sectiones III K , ct T V e in plano E I K existimes , quae insinite producuntur in sum cie fronicis, nunquam se se mutuo secant: igitur secti nes ipsae assuetolicae sunt .. bart. ducantur rectae lineae G E , o F , P R taneentes circulos in extremitatibus communis diametri G P O, quae parallati erunt
inter se cum perpendiculares simi ad communem diametrum G P Ο : postea producantur plana E G A, F O A , R P N tangentia conos in lateribus G A , O A, UT P N, or extendantur quo que secent Hanum conica sectionis HI Kin rectis lineis E S M , F M , R S. Et quoniam duo plana quid antia G.A O, et E M F esciunt in eodem plano EGA, utramque conum contingente , duas rectas sineas G A , E M aequi istantes inter se e pari ratione in plana tangente F O A erunt rectae lineae F M , et O A parasielae ister se e simili modo in plans R P N erant P N . et R S inter se aequidi antes, cumque A O , et N P para lata sint, erum quoque F M , et R S inur se aequii antes ; suntque E M , et M F as toti continentes h perbolen Ez I K pariterq; recta linea E S, S R sunt Maumi. Umptoti h perboles T V er quare duae 'perbola HI K, et T V c , Amiles eri lib. 3. de dem X , et aequales, UrsisHister positae, quarum duae asymptoti F M, R S aequi- distantes sunt; reliquae vero E M , o E S coincidunt cum miseret in eodem plano tangente E A J , CT angulus ab eis contenctus E M F, vel E S R es acutus cum aequalis sit acuto angulo ab asymptotis sectionis X contento , pro res miotudine sectiora , ut ab alys ostensum est): terit ergo duci ramus breui mus si in sectione T V e adpartes V e qui aquidi assis recta lineae VI vertices sectisnu in ἴu . coniungenti: eritque Ebus breti mae rtio interfectiones compraesens disantia omnlu maxima; ct propterea interas a fictionu ad reas; paries maximae di Atia succe ue imi aniario aYpartes quidistantiu cymptotorii F M, R S H-- risui , G g a nuuntur
275쪽
nuuntur quidem Ista non es tuntur minora interuallo quo parrigeti as)mpto idieam inter se; ex altera vero parte perueniri potes ad inu altam minusquesuet dato. Et hoc erat facundum.
pnop. Data ciuiem X praecedentis' propositionis describere duos flai . Add. miles conos, mi idem planum in eis e sciat duas hyperbolas similes datae sectioni , quae asymptoticae sui, bdi vir ste parte siti ipsis mciniores fiant interuallo minora quolibet dato.
quolibet plana fiat angulus basis 'perbola datae X, se per G d extenso quolibet alio plano, ducatur in eo recta linea B d C perpendicularis ad G d O , o sumpto quatibet alis punctob in recta linea B C in plano per B G O extenso, centris is , ct b , describat rduo circuli inter se aequales G C O R, o S ad ' L sesesecantes in duobus puncti R , a: altat latus rectum ad transuersum sectionis data X, ita Di quadrat G d ad quadratu d A, o ducatur recta linea A M in parallela ipse B C , γη se b N aequid ante d A in N, o coniungantur ractae linea A B, A C ,N L, N in , o fiant A ,.se N et retices duora conori; A B C , N L ct in eoru super tacta planum M c T quid os planis A G O , or N S P e iat sectiones H I V, ct T V c, quarum diametri D V I genita a triangulis A B C, ct N L- raris in eodem plano existentibus sunt quid antes axibus conorum A d, N b, propter planorum aequid antiam: Dico, eas esse h perlotis quaesitas. α ρηιαμ propter aequid antiam oppositarum linearum es spatium A b parallelogram'
mum ; igitur conorum axes Ad, ub aequales seni inter se, CT aeque incon-tur ad communem rectam lineam B C propter quid antiam earundem
276쪽
1ιν posita in eodem plano; suntque etiam aeuo circuti basium in uno plura extensiii itur eoni A B C , ct N L. Osmios sunt inter se ; ct quoniam , et i latus Lem. transuersum ad rectum sectionis datae X, ita es quadrarum A d ad Dadratum Mix's. Vadis G d , ct ita es latus tra uersum ad rectum sectionis H I K ; pariterque is quadratum N b ad quadratum ra6 L b ira es latus transuersum ad N IAH Molae T V c; Et quadrata axium ad quadrata radiorum baseos eandem proportionem habet ideo latus transuersum ad rectum sectionis NIK eandem proportionem habebit, quam latus transuersum ad rectum alterius sectionis TV c, siti eandem , quam babel latus transuersum ad rectum datae sectionis xi atque diametri I V D , ct diameterfectionis X aeque inclinantur ad bases , G
sed jtiam inur fAmiles sunt. Secundo quoniam duae peripheria circulorum. hasium circa communem diametrum B C a see se mutuo secant in duobus pum cIis R, or a , quae necessario cadunt mur duas eιrculorum diametros G O,S P perpendiculares ad communem dis Irum B C rgitur superficies conorun
micissim se secant semper inur aeuo triangula , per conorum axes A G O , or NS P , in reliquis autem locis separatae sunt I planum vero efficiens sectiones Η IK , T V c cadit no inter axes A d, o N b ; igitur duae semones H I K, TV c ex stentes in duabus conicis superficiebus, non se secantibus, nunquam comnentem, or asymptotica erunt. Tertio quoniam recta linea N.A M per verti res conorum ducta parallela es communi basi B Qtriangulorum per axes , ct secat Hamuram communem D V I in M: ergo sicuti ouensum es inprop. Io. addit. huius erit punctum M centrum sectionis H I K, atq; centrum alterius sectionis T V c; ergo duae sectiones HI K , o T V c similes sunt inter scis, concentricae , or militer psita circa communem diametris D VIa igitur se. Propos. ρ.ctionum murualia sem'r magis , ac magis in infinitum minuumur , or repe- Udix risi ρ uni minora quolibet interualla dato. Et hoc erat ostini,dism.
Continens Propos t. XXVI. XXVII.
IN cono recto . cuius triangulum per axim sit A B C reperire sectionem datae parabola: D E aequalem , cuius axis E F, N erectum E G.
277쪽
Vt quadratum A C ad C B in B A,
ita ponatur E G ad B H : & educamus H I parallelam B C , & extendatur per H I planum cleuatum super triangulum A B C ad angulos rectos efficiens in cono sectionem ΚHL. Dico eam aequalem esse sectioni DE. Quia quadratum A C ad C B in BA est , ut E G ad B H ; ergo potentes eductae ad axim H I in sectionGK HL possunt applicata contenta ab abscissis illarum potentium , & ab EG : quare E erit erectum sectionis K H idem etiam cst erectum sectionis D E; ergo duo erecta duarum sectionum sunt aequalia . dc proptcrea sectiones aequales sunt r. ex 6. Et dico , quod in cono ABC reperiri non potest sectio alia parabo- olica , cuius vertex sit super A B , quae eidem D E sit aequalis . Si enii
hoc est possibile , sit axis illius sectionis M N, qui quidem cadet in tria gulo ABC; quia conus est rectus,& erectum illius sit M o I atq; M OG M B erit, ut G E ad B H ; estque B H maior, quam B M; ergo M OI minor est, quam G E ; quare sectio, cuius axis est M N non est aequalis hiasu,' sectioni D E ; & tamen supposita fuit aequalis illi, quod est absurdum.
It deinde hyperbole A B , cuius axis C D , inclinatus B aD , S erectus B E ; atque quadratum axis F G dati conirecti F H I ad quadratum G H semidiametri bass eius , non habeat maiorem proportionem , quam habet figura , scilicet quam habet D B ad B E.
Sit prius proportio eadem , & producamus I F ad K ; & ducamus ΚL subtendentem angulum H F Κ, quae parallela sit ipsi F G , & aequalis existat ipsi D B : & per Κ L planum extendatur eleuatum ad angulos rectos super planum trianguli H F I, quod efficiet in superficie conica sectionem hyperbolicam , cuius axis erit L M , & inclinatus Κ L. Et quia i se F G parallela est Κ L , erit quadratum F G ad G I in G H , vi K L inclinatus ad illius erectum , sue ut D B ad B E a facta autem suit K L ae- .a- huiu4. qualis D B ; ergo erectus inclinati Κ L aequaliae est B E; & propterea se- Octio, cuius axis est L M aequalis est sectioni Α B. Nec reperiri poterit in cono H F I alia sectio hyperbolica , cuius vertex sit super H F , quπaequalis sit A B: quia, si reperiri pollet esset illius axis in plano trianguli H F I, & eius inclinatus, subtendens angulum H F Κ aequalis esset D B, nec tamen esset Κ L , neque ipsi aequi distans eo quod , si aequi distaret
278쪽
ipsi Κ L, non esset eidem aequalis. His positis si educatur ex F linea ipsi parallela cadet inter F G , 'F id , aut inter F I , F G; sitque F N i igitur Q. lib. i. suadratum F N ad I N in N H est, ut D B ad B E: quod est absurdum: quia quadratum F N maius est , quam quadratum F G , & N H in N Iminus est , quam quadratum G H. Postea habeat quadratum F G ad quadratum G H minorem proportionem quam habet D B ad B E ; & circumscribamus circa triangulum H F I circulum: & producamus F G quousque occurrat circuli circumscrentis in O ; er o quadratum F G ad quadratum G H , nempe ad F Gin G O habet minorem proportionem , quam D B ad B E : & ponamus Γ G ad G P, ut D B ad B E ἱ & per P ducamus P . parallellam H I;& coniungamus F R , F in quae occurrant H I in S,N : quare D B ad B E est , ut F G ad G P . quae est , ut F N ad N nempe ut quadratum F N ad F N in N Q aequale ipsi I N in N H , atque ut quadra tum F S ad F S in S R , nempe ut quadratum F S ad I S in S Hi & edincamus T V. Κ L , quae subtendant duos angulos H F Κ , I F T, & sint parallelae ipsis F N, & F S , & aequales ipsi D B ; igitur duo plana per ΚΙ , T V extensa super triangulum H F I ad angulos rectos eleuata , producunt in cono H F I sectiones hyperbolicas , quarum axes LM,VX,& inclinati ipsarum L Κ, T V, & singuli earum ad suos erectos eandem roportionem habent, quam D B ad B E , & propterea figurae sectionum sinu . similes sunt, & aequales , ideoque sectiones , quarum axes sint L M, VX sunt aequales sedi ioni A B. Nec reperitur sectio praeter iam dictas , cuius vertex sit super aliquam duarum linearum H F, F I, & sit aequalis sectioni A B. Quia si reperiri posset, caderet eius axis in planum trianguli H F I, illiusque axi cduc tur parallela F Za , qRae non cadct super F R, neque super F in, Pritq;
quadratum V Z ad I Z in Z H , quod est aequale ipsi F Z in Z a, nempe F Z ad Z a citidem proportionem haberet, quoi in D B ad B E i sed DB ad B E est , ut F G ad G P , nempe F Z ad Z ι ι ergo proportio F Z ad
279쪽
ud Z ι, & ad Z a est eadems & propterea Zabsurdum. Ponamus iam quadratum P G ad G H in G I maiorem proportionem habere , quam D B ad B E. Dico in cono id F I exhiberi non posse s ctionem aequalem hyperbolae A B. Si enim exhiberi posset illius axi aliqua parallela reperiretur ut F N : & quadratum F N ad I N in N il insiorem proportionem habens, quam quadratum F G ad quadratum G H. erit ut D B ad B E ; quae minor est proportione quadrati F G ad quadratum G H: quod est absurdum. Non ergo reperitur in cono H F I sectio aequalis hyperbolae A B. Et hoc erat ostendendum.
SIt iam sectio elliptica A B , cuius axis transuersus B D , & erectus illius B E , S circa coni triangulum H F I descri- a
280쪽
bamus circulum, & ex F ducamus lineam ad H I, occurrentem ipsi extra circulum in Κ, & occurrat circulo in L, ita ut sit F Κad Κ L , ut D B ad B E & hoc est facile , uti demonstraui-b mus in 19. ex I. , S educamus in triangulo chordam M Nc parallela in F K , & aequalem D B ; Aio quod planum transiens per M N erectum super triangulum coni producit in cono H FIsectionem ellipticam , aequalem sectioni AB.
Quia D B transuersus ad eius erectum B E eandem proportionem habebat , quam F Κ ad K L , nempe quam quadratum F Κ habet ad F Κ ii Κ L , quod est aequale ipsi I Κ in Κ H; estque ut M N parallela ipsi F Κad illius erectum: quare D B ad B E eandem proportionem habet, quam M N ad illius erectum ; & M N aequalis est D B ; igitur figurae dua-d rum sectionum A B D , M O N P sunt aequales , & similes , & ideo duae illae sectiones sunt aequales . Dico insuper, quod non reperitur in e cono H F I vlla alia sectio elliptica , habens verticem super F I, cuius axis non aequid istet alicui duarum F L Κ, quae aequalis sit eidem B A D. Quia si pomi bile esset, ostenderetur axis eius cadere in planum trianguli H F I, quia sectio est elliptica , & aequalis sectioni A B , utiq; eius axis occurret F I , F H , & aequalis est D B ; cumque vertex illius sit super FI, non cadet axis eius super M N , nec ipsi erit parallelus; & ideo educta F in parallela axi eius non cadet F QIuper F Κ , & secabit arcum P H in R ; eritque proportio axis illius sectionis ad eius erectum, nempe quadratum F Q ad I in Q H, quod est aequale ipsi in F in Q R , nu-pe vi F Q ad Q R , ita erit D B ad B E , quae eandem proportionem h f bet quam F Κ ad Κ L , & diuidendo permutandoq; F R maior subtensa ad minorem F L ean scin proportionem habebit, quam R Q inor intercepta ad maiorem Κ L; quod est absurdum e non ergo reperitur in cono H F I sectio elliptica , verticem habens in F I, quae sit aequalis sectioni A B, praeter superius expositam. Et hoc erat propositum.
aERgo potentes egredientes ex seiactione L H Κ ad axim H I pote-unt applicatum . quod continet atatissum illius potentis cum G E; ergo
I E est erectus sectionis L H& est
tia erectus sectionis D Ei igitur duolpplicata duarum sectionu sunt aequaia , & ideo sectio D E congruit s 2ioni K H L, & propterea aequalesimi, &c. Ex eo quod quadratum A C asis trianguis per axim coni recti ad Manulum CSA, sub eius la eribus illi con