장음표시 사용
281쪽
contentum , habet eande rationem, quam
G E ad II B, fuscienter deducitur, quod ii . lib. I. G Est latus rectum tam parabolae L Ho - Γ , quam D E ; es ideo erit paratio L'huius. H aequatis D E. Non igitor necesse es,
rectis aequalibus essendatar aequaba intras , ct inde eliciatur aquabias, mementia sectionum. apropter casu i ta verba o Codice Arabico irrepsi eis . puto.
Et dico , quod non reperiatur in sectione ABC alia sectio parabolica; quia si reperiretur, &c. Verba , qaeae in hoc textu adridi ex serie demonstra- tionis facile col guntur Sed animaduertendum es , quod nedum in cono recto, sed in qOolibet cona scatena quomodolibet per axim fieretur triangulo A B C , d signari potes m eius supersitae Iarabole aequalis data D E. Ducatur C P contingens circulum basis in C , ct in parabola D E ricatur: b. , diameter E F , o contingens verticalis , quae contineat angulum F E G aequalem angoo B C P : sitque G E latus rectam diametri F Ei atque τι quadratum a C A ad rectangulum C B A , ita sat G E ad H B , O per H extendarur Ha- num L H N aequi di sans plano per B C P duoD. Dico fictionem L H V es parabolen quaesitam. Vigia plana vetuisantia L Η Γ , ct B C P efiunt incise tuo basis rectas P C , L K inter se para eius , ct in plano ABC esciunt rectas H I, B C inter se parallelas ; ergo anguli B C P , o H I L aequales sunt, sed in parabola D E iameter E F cscst cum ordinatis ad eam anticatis angulos Conu. s. aequales F E G, si licet ei, qui cum tangente verticali conuituis, seu an o B Clib. i. P ; ergo duarum sectionum L II K. D E , diametri H I, or E F quesistinclinatae adstias basis , cumque latus rectum parasolae L H K ad H B sit, et tquadratum C A ad rectangulum C B A , seu is G E ad II B ; igitur dis lat i ra recta similium diametrorum I H, or F E ad H B eandem proportionem habeni ; ct ideo aequalia snt inter se ; quare se Iunes ipsae aequales, ct congrue
io. huius. Vs erunt. Δuod erat sendendum.
. Multoties in eodem cono duae parabolae aequales Iucontraria duci poseunt, τι Myaeorgius demonstrauit.
DEinde si hyperbole , ut A B , & axis illius C D, & inclinatus B aD , & erectus B E , ita ut non sit proportio quadrati axis coni ad quadratum diiiiiiiij diametri illius basis, ut quadratum F G ad quadratum G H , maior, quam proportio figurae sectionis e &e. Sensus huius propositionis hic erit. In cono recto F H I, catus triangulum per axim H F I reperire semonem aequalem 'perbose datae A R , cuias transuersas axis D B , es latus rectum B E. vortet autem , τι quadratum F G axis dati coni ad D aetatum Oae, G H circuli basi non habeant maiorem proportionem , quam h lent
282쪽
bens figura Dura , fibret, quam habet D B ad B E. At quom o duci do heri subtensa K L quae aequalis sit is D B , ct paralleia altera F G, ostendetur inferius. Et non reperitur in cono II FI alia sectio hyperbolica super F H , &aequalis A B, &c. Ad iri verba qua ad huius textus integrisatem facere uri
Et educamus T V, Κ L , quae subtendant duos angulos L F Κ , I FT . & sint parallelae ipsis F N , F S , & aequales D B , dic. tauomodo au. tem hoc meri possit nudo sendemus. Sumatur in rem tinea H F quod1bet punctum c inter F , ct H ; atque a iuncto c ducatur recta linea e d parauisi, F N . vel F S , quae secet productiomm alterius tauris I F in d , o quam proportionem halet c d ad D B , eandem habeae C F ad F L , ct per ρ nctum L ducatis recta L L parasim ipse c d . Manife um es c d ad L Κ eandem' portionem habere , quam c F ad F L , sea quam c d ad B D ; cst ideo K L mquatis erit B D , o subtendit angulum L F A , sque parasidia ipsi c d , seu
283쪽
Igiti r duo plana transeu tia per K. L , T V eleuata super triangulum dH F I ad angulos rectos producunt in cono N F I duas lectiones hypo bolicas , quarum axes L M , v X , & inclinati ipsarum L Κ , V T , &singuli eorum ad suos erectos sunt, ut D B ad B E : ergo figurae trium sectionum sunt similes , & aquales ; & propterea du. e sectiones , quarum axes sunt L M , V X sunt aequales sectioni A B , M. Eu rextu men-His expungi AEcbent sue acan aliqua verba , scut in contextu Lasetur. son enim vertim est, quod duae' tantummodo h perbole aequales eidem A B ducipabsunt in cono recta 'H I , virlites habentes in lateribus II F , o F I , saequatuor inter se ,equales esse ρ mul: nam sper latus F H duci possent duae 'perbole , quarum paris fraUUM Y L aequales sint ipsi B D , ct qai santes sidit retris lineis F N , ct F N . . Odyse ostendetur. Vuoniam recta tinea. TR ducta est furat cla vvi H erum duo arcus circuli intercepti H in , I Ra reales inter se : se ideo duo anuli ad peripherium II F et, se I F st aequales erunt inter se : pes ta autem serit K L aequalis , o para elu i F N ; igitur
duo anguli aberni U L F , ct H F N quales fiant inter se: pari ratione; quia reliqua Κ L ducta es parallela i 'F S , eris. Figulus externus S F I aequatas interno , o opposito, or ad easdem paries iL U F; ct ideo duo triangula L F I habent angulum F , communem , o duos ariolos in gulis triangulis Γ, o L aequales ; igitur sunt aequiangula , o similia , ct , τι antea dictum es , Aripossunt duae rectae linea K L aequales eidem D A , or inter se r si igitur per duas rectas lineas K L durantur plana perpend uiaria ad planum trianguli per axim H F I , escientur in cono recro duae hverbole, quarum bini axes transues Y L sunt aequales : se quia, propter pares las H I, Q e , es F N ad N a seu quadratum F N ad rectangulum F δἰ aco F S ad S R seu et i Dadratum F S ad rectavum F S R ; sed rectangulum H N I aequale est rectanguo F N a ,
rectangulum HS I aequale es rectangulo F S R : ergo quadratum F N ad rectangatum H N I eodem proportionem habet, Mam quadratum F S ad rectar A. r. gulum HSI: estque latus transuersum K L ad Hum latus rectum, ut qua h. . . tum F N ad rectangulum H N I, pariterque latus transuersum T L alterius V ' suum latus rectum es τι quadratum F S ad rectangulum H S I:
284쪽
igitur duo aquai a latera tra uersa K L ad si lauro recta eandem proporti nem salens iudo toto sae Dura recta isqualia fori inire se ; id gue duae perbiae geni .e, habentes vertices in redem Iarere F H, aequales seunt inter', quas vocat M orgius falcontrarias. Simili modo duae aliae L perbole inter se, h o.prioribos aequales in eodem cono duci positim , et enices halenses in I sere, Nec reperitur tertia , cuius vertex sit super aliqua duarum linearum H F. , F I, & sit aequalis sectioni AB, quia, &c. Immmaui particulam , quae prepositionem rediba amam, id quod eo igitur ex constructione, se progresudemon rationis: maelibet enim alia feririo , praeter quatuor assignatas , habuit axem aquIH antem alicui recta ut F Z , quae cadit inter FN , cr F S ; ct
haec ostendetur inaequalis praedictis sectionibus , ct usi A R. Deinde ponamus quadratum F G ad GH maius , quam D B ad B E. Dico, non reperiri in cono H F I sectioncm aequalem sciditioni A B: nam, si reperiretur , esset vel aequalis parallela suo axi, & erit quadratum NF ad I N in N H , &c. Legendum me ut in textu dixi consat ex progressu
totius propositionis. Iam facili nc tio demonstratio per ci potes , nam axis FG minor es quam F N , quae sistendit angulum rectum G , quadratum vero G H semissis totius II I maius es rectangulo I N H , sub inaequalibus segmemtis contentum; propterea quadratum F N ad rectangulum I N H maiorem ' portionem habebis , quam quadramm G F - quadrarum G H r es que D B ad A E , ut quadratum F N ad re Lyangulum I N H propterea quod F N HOL la', ikla es 'am illius sectionis , quae postra fuiι aDatis A B i igitor D B ad A Emaiorem proportionem habet, quam quadraram F G ad quadratum G Has contra H thesin habebat enim quadratum F Grem proportι-- , quam D E ad B E.
Sicuti in praecedenti propositione factum est, nedum in cena recto , sed etiam in quolibet cono scaleno , quomodobbetper axim spinio a triangulo H F I dete
minari posita, quando, se quomodo in eo risignari posset sectio aequalis duae 6-perbole A A. God ab abs factum es.
285쪽
Dtaniae sit sectio elliptica , ut A B . & axis eius transue sus B D , dierectus illius B E ; de sit triagulum coni H F I, & circumducamus caca illum circulum , & educamus ex 'F lineam FLΚ occurrentem ipsi ea tra circulum in Κ ; & occurrat circulo in L ita ut sit F K ad K L . ut D B ad B E ; de est facile uti demonstrauimus in Ist. I. I, dic.
Sensu propositionis hac erat. lum per axim ΗFIreperire semonem aqualem data 'el si A B , cuius axis transuersus D B , o latus rectam B E. In constructione postea duci debet recta linea FLx extra circulum,intriangulum ad Graissae partes . alias confractio non esset perfecta: Lemma vero , quod reposuisse , dicit Arabicus interpres in i . libro , ab hoc sequentissam diuersum non eris.
246 Apollonij Perstaei Notae in Proposi
ad I S in eadem ratione , quam habet axis transiuersius D B ad latus roetum B E : ἄν ducatur S L aequidistans trianguli basti H I, sis secet circulum ex traque parte in L , δ' coniungantur re cita lineae F L , produc--que quo quesecent lasim H I in punctis L.
Iuoniam in triangulo FI K ducitur recta tima S L quidistans bas I K , erit F I aderis
286쪽
IS , vi P K ad K L sed erat D B ad B E, V F I ad I Ss igitur F Γ ad x Leandem proportionem habebit: quam D B ad D E. Et educamus in triangulo chordam M N parallelam Κ F, & aequalem D B , &c. Non una , sed duplex recta linea M N duci potes parallela cuilibet duarum F Κ , qua interius subtendat angulum verticis F man θ H F I per axim dacti. Et potes etiam Ulai M N aqualis i D B, ut in expositione' cedentis propositionis ostensum es. Itaque planum, transiens per M N, producit in cono H F I sectionem ellipticam aequalem sectioni A B ; quia , &c. Aaetari verba , qua in textu desiderantur , ut sensus perfectus sit. Ergo duae illa sectiones sunt aequales , &c. Concipi debet sectis N O MP , duplex , quia nimirum duae sectiones sub contrariae , aeqvitis sint , ut faciale cum Udorgio seni potest. Et dico , quod non reperiatur in cono H F I sectio elliptica , habens verticem super F I; quia si possibile esset, dic. Textus valde corruptus exposito modo resilui debere constat ex progressu demanserationis. Et diuidendo F R maior ad minorem R Q est ut F L minor ad mai rem Κ L &c. Supplenda fuerunt particula abruae ad trigendam equivocatio
Continens Propos t. XXIX. XXX. i& XXXI. PROPOSITIO XXIX.
DAto cono recto A B C, conum exhibere ei similem, qui datam sectionem D E F contineat, cuius axis E G , &erectus E H; sitque prius sectio parabole.
Super E G educatur planum ad sectionem DE F ad angulos rectos eleuatum , in quo duc tur E I K , ouae contineat cum E G angulum aequalem ipsi angulo C : & ponamus E H ad EΚ, vi A C ad CB,& faciamus super E K triti angulum E L Κ simile triangulo A B C, ut angulus verticalis L aequalis sit angulo B. Faci, mus Ctiam conum , cuius vertex sit L, eiusque basis circulus, cuius diameter sit E Κ , qui sit eleuatus super triangulum E L Κ ad angulos rectos: erit igitur angulus E Κ L aequalis ipsi C,
287쪽
sed angulus Κ E G factus fuit etiam eide aeqlia lis ; igitur L Κ , quod est latus trianguli per a-xim coni transeuntis , parallelum erit ipsi E Gi& propterea planum , in quo est sectio D E Fproducit in cono sectionem parabolicam ; de
quia A C ad C B est , ut is E ad E Κ, & ut EΚ ad Κ L; igitur H E ad E L quae est aequalis ipsi Κ L eandem p portionem habet, quam
quadratum E Κ ad quadratum K L , nempe adii. lib. i. Κ L in L E: quaproptor H E est erectus secti nis prouenientis in cono, sed cst etiam erectus sectionis D E F ; igitur D E F existit in supersi-Des. 8 cie coni, cuius vertex est L , qui similis est c hv R ' no A B C : eo quod triangulum ABC simi te est triangulo E L Κ. Dico etiam, quod sectio D E F contineri non epotest ab aliquo alio cono , simili cono ABC, cuius vertex sit ex eadeparte sectionis praeter eonum iam exhibitum . Nam si possibile est sit conus habens verticem M , dc triangulum eius erectum sit super planum sectionis D E F , de communis sectio illius, de coni sectionis erit axis eius: estque E G illius axis ; ergo haec est abscisso communis eorundem planorum a sed est E G abscissio communis plani sectionis, Sc plani trianguli Κ E L , super quod cst etiam erectum ; igitur duo triangula E L Κ, E MDet q. I sunt in eodem plano , dc angulus L aequalis est M propter similitudine duorum conorum ; crgo E M est indirectum ipsi E L , & educta E Κ ad sinc ', I sectio D E F continebitur in cono, cuius vertex est M : si autem ponamus proportionem lineae alicuius ad E M . eantam quam habet quadraii. libi. tum E I ad I M in M E , linea illa esset erectus sectionis D E F ; sed HE erat erectus sectionis D E F i igitur H E est illa linea , haec autem ad E L eandem proportionem habebat, quam quadratum E K ad K L in L E ; ergo quadratum E K ad K I. in I. E candem proportionem habet, uam quadratu E I ad I M in 11 E ; igitur H E ad E M , de ad E L eamem proportionem habet: quod est absurdum. Non ergo in aliquo alio cono sectio contineri potest , ut diximus. Et hoc erat propositum.
I sectio hyperboliea D E F, cuius axis E G inclinatus E H, & erectus aE I oportet autem, ut quadratum axis B Q coni recti ad quadrarii semidiametri basis illius A Q non maiore reportione habeat, quam habent Ggurae latera . Et habeat prius eandem proportione, quam H E ad E I, de producamus A B ad 14 , de super H E in plano erecto ad sectionED E Fdescribamus segmentu circuli E L H, quod capiat angulum aequalem a gulo M B C, de bifariam secemus arcum E O H in O, de educamus perpendicularcm O N super H Ei de producamus illam , quousque occur
288쪽
9rat circumferentiae in L , & iungamus E L , & L H , quae occurrat in Κperpendiculari ex puncto E super lineam E H. Et quia E K parallela est L O erit angulus Κ aequalis H L O , qui est semissis anguli H L E, & hic est aequalis duobus angulis Κ, Κ E L ; igitur sunt aequales; quare KLE est aequic rus, & angulus Κ L E aequalis est AB C; quia angulus H L EC aequalis est M B C ; quapropter ΚLE simile est A B C., quia aequali
crura etiam habet i Si autem ponamus KLE triangulum coni, cuius vertex L , & planum illius trianguli erectum ad planum DEF; utique Planum sectionis producit in cono hyperbolen , cuius axis E G, inclinatus E H ; eo quod sit educamus L P, BG perpendiculares in duobus triangulis, habebit quadratum B ut C mn Q A quod est vi H Ead E IJ candem proportioncm, quam quadratum L P ad P Κ in P E :quare potentes aeductae tu illa sectione ad axim E G, poterunt comparata, applicata ad E I erectum; sed potentes, eductae in sectione DEF, possum quoque illa applicata ; ergo sectio D EF aequalis est sectioni .
Prouenienti in cono , cuius vertex est L ,α cxistit in eodem plano , h, betque eundem axim : quare conus , cuius vertex L conti het sectionem
D E F, & est similis cono ABC. Dico rursus , quod nullus alius conus similis cono ABC, cuius ver rex sit in ea parte , in qua est L , praeter iam dictum , eontinebit hanc d eandem sectionem. Si enim hoc verum non est , contineat illam alius conus similis cono ABC, cuius vertex R in plano L E G ; atque latera illius sint E R , R T . Quia angulus E R T aequalis est E L Κ, & eorum consequentes aequales inter se in eodem circuli segmento E L H existent, eo quod T R pro iusta occurrit axi transuerso E H in H , & iungamus RO, & ex E educamus E T, quae sit parallela coniunctae rectae lineae o R; unde angulus o R H aequalis est o R E propter aequalitatem arcuum suorum,& sunt aequales duobus angulis R T E , R E T , ergo E R T cst aequic rus , &j angulus T R E aequalis est A B C i educatur iam R S parallela H E , tunc quadratum B S ad T S in S E eandem proportionem habebit , quam E H inclinatus sectionis D E F ad E I erectum illius ; coquod sectionem DEF continet conus, cuius vertex est ὀ ; sed H E ad
289쪽
EI tandem proportione habet, quam quadratum B Q ad C mn Q A estq: C equalis Q A, atq; T S aequalis SE,&T S ad SE eande proportione habet, qua T R ad R H, se ii quam E V ad V H; igitur E V aequalis est VH; quod est absurdum ; propterea quo L O diameter, quae ad illa perpendicularis est, bifariam secat eam in N. ostensum igitur est, non rep riri conum alium continentem sectionem D E F , praeter superius expositum. Tandem supponamus, quadratum B inrel quadratum Q A habere minorem proportionem , quam E H ad E I. Patet quadratum L P , ne-pe N E , seu O N in N L ad quadratum E P , nempe ad quadratum NL , scilicet O N ad N L habere minorem proportionem , quam H E ad E It ponamus iam O N ad N X , ut H E ad E I, & per X ducamus RX Y parallelam H E , & iungamus E R , O R , & H R producatur ad Tquoulque secet E T parallelam ipsi o R. Ostendetur quemadmodum supra dictum est 2 quod E T R, B A C sunt i scelia, & similia. Et quia E H ad E I est ut O N ad N X: nempe ut O V ad V R, nempe ut O Vin V R, quod est aequale ipsi E V in V H ad quadratum U R ; haec autem proportio componitur ex E V , nempe S R ad U R , nempe ad E S,& ex proportione V H ad V R , nempe S R ad S T , ex quibus componitur proportio quadrati R S ad S T in S E i igitur quadratum R S ad ES in S T eando proportionem habet, quam H E ad E I s & propterea
planum sectionis D E F in cono , cuius vertex est R , & illius trianguli latera Ri , R T, producit sectionem hyperbolicam , cuius inclinatus est E H, do erectus E I; quare conus cuius vertex est R, continet scistione D EF , nec non continet illam alius conus, huic cono similis , cuius vertexest Y i & hi duo coni sunt similes cono A B C , nec continet illam te tius alius conus, qui similis sit cono ABC, nam si hoe sieri possibile est 2 contineat illam alius conus , cuius vertex Z , & punctum verit cis
290쪽
aequalem angulo F, eumque bifariam diuidamus in H,& iungamus AH, C H . & ex H educamus H Ι, quae secet circulum in Κ, de raccurrat sub tensae extra circulum in I i sitque HI ad I K , ut A C ad A D :& ει ducamus HLM easdem conditiones habens ; & iungamus C Κ , A K , ducatuique Κ N parallela A C . & A N parallela H I, quae secet Κ Cin O. Quia H I in I K quod est aequale ipsi C I in A I ad quadratum I Κ est ut A C ed A D ; & proportio C I in A I ad quadratum I Κcomponitur ex ratione C I ad I K , nempe K N ad N O propter limuse Ii a tudinem
Inde demonstrabitur, quod H E ad E I habebit necessario eandem proportionem , quam O e ad e Z a quod est ablurdum, quia haberet eandem proportionem , quam O N ad N X. Quapropter non continet illam te tius alius conus similis cono ABC. Supponamus iam , quadratum B inad quadratum . A maiorem proportiqnem habere , quam H E ad E I. Dico, exhiberi non polle conum 1 ulcm cono A Dc , qui contineat sectionem D E F. Alioquin contineat illana conus potitus vertex est R , demonstrabitur , quod O V ad V s sit, ut HE ad E I, quae habet minorem proportionem, quam qua dratum B Q a quadratum Q A quae ostensa est eadem, quam O N ad N L . ergo O V ad V R nempe O N ad N X minorem , proportionem habet, quam cade Ο N a PN L , quod est absurdum. Non igitur continebit sectionem D E F conus similis cono ABC. Vt propositu fuerat.
SIt tandem semo elliptica ABC, eiusque transuersus axis AC, &erectus A D', in plano perpendiculariter erecto ad sectionis planum ABC, fiat super A C segmentum cuculi, quod capiat angulum ,