장음표시 사용
291쪽
E I eandem proportione habet, quam quadratum B Q ad C mn Q Aestq: C mequalis Q A, atq; T S aequalis S E, & T S ad S E eande pro- e
portione habet, qua T R ad R H, seu quam E V ad V H igitur E U aequalis est V H; quod est absurdum ; propterea quo L O diameter, quae ad illa
perpendicularis est, bifariam secat eam in N. Ostensum igitur est, non reperiri conum alium continentem sectionem D E F, praeter superius exposi-itum. Tandem supponamus, quadratum B Q ad quadratum Q A habere a minorem proportionem , quam E H ad E I. Patet quadratum L P , ne. Ipe N E , seu O N in N L ad quadratum E P , nempe ad quadratum NL , scilicet Ο N ad N L habere minorem proportionem , quam H E ad E I: ponamus iam O N ad N X , ut H E ad E I, & per X ducamus RX Y parallelam H E , & iungamus E R , O R , & H R producatur ad Tquoulque secet E Τ parallelam ipsi O R. Ostendetur quemadmodunta g. supra dictum est 2 quod E T R, B A C sunt isoscelia, & similia. Et quia E H ad E I est ut O N ad N X i nempe ut O V ad V R, nempe ut O Vin V R, quod est aequale ipsi E V in V H ad quadratum V R ; haec a
tem proportio componitur ex E V , nempe S R ad U R , nempe ad E S, & ex proportione V H ad V R , nempe S R ad S T , ex quibus compinnitur proportio quadrati R S ad S T in S E i igitur quadratum R S ad ES in S T eande proportionem habet, quam H E ad E I; & propterea
planum sectionis D E F in cono , cuius vertex est R , & illius trianguli latera R E , R T, producit sectionem hyperbolicam , cuius inclinatus est E H,&όrectus E I ; quare conus cuius vertex est R, continet sectione D EF , nec non continet illam alius conus , huic: cono similis , cuius vertexest Y i & hi duo coni sunt similes cono A B C , nec continet illam te tius alius conus, qui similis sit cono ABC, nam si hoe sieti possibile est y contineat illam alius conus , cuius vertex Z , & putidium verticis
292쪽
Inde demonstrabitur , quod H E ad E I habebit necessario eandem proportionem , quam O e ad e Z ; quod est absurdum, quia haberet eandem proportionem , quam O N ad N X. Quapropter non continet illam te tius alius conus similis cono ABC. Supponamus iam , quadratum B QM quadratum Q A maiorem pro- . porriqnem habere , quam H E ad E I. Dico, exhiberi non poste conum I si mycm cono A , qui contineat sectionem D E F. Alioquin contiano 'lam conus uius venex est R demonstrabitur , quod o V ad V Rdit . ut H E ad E. I, quae tabet minorem proportionem. quam qua dratum B Quia quadratum Q A4 quae ostensa est cadem, quam O N ad N L i ergo O V ad V R nempe O N ad N X minorem , proportionem habet, quam eade Ο N aia N L , quod est absurdum. Non igitur continebit sectionem D E F conus similis cono ABC. Vt propositu fuerat.b aequalem angulo F, eumque bifariam diuidamus in H,& iungamus A H, C H . & ex H educamus H I, quae secet circulum in K, dc Uccurrat tu, tensae extra circulum in I i sitque H I ad I Κ , ut A C ad A D t & ει ducamus Id L M easdem conditiones habens ; & iungamus C Κ , A K ,
ducaturque Κ N parallela A C . & A N parallela H I, quae secet Κ Cin O. Quia H I in I K quod est aequale ipsi C I in A I ad quadratum IK est ut A C ed AD; & proportio C I in A I ad quadratum Ι Κcomponitur ex ratione C I ad I Κ , nempe K N ad N O propter simit
SIt tandem sectio elliptica ABC, eiusque transuersus axis AC, &erectus A D & in plano perpendiculariter erecto ad sectionis plunum ABC, fiat super Ac segmentum circuli, quod capiat angulum
293쪽
tudinem duorum triangulorum , & ex ratione A Icti eripe K N ad I cnempe ad AN propter parallelas γ , & ex his duabus propor lambus componitur proportio quadrati Κ N ad A N in N O ; ergo huadratum Κ N ad A N in N O eandem proportionem habet, quam A C transue sus ad A D erectum ; igitur planum , influo est sectio A B C , in conoti cuius vertex est Κ , & basis circulus , cuius diameter A O producit s 'L b. t.' ctionem ellipticam , cuius transuersus est A C , & erectus A D : quare iDefin. s. sectionem B A C continet; & quia angulus H Κ C , nempe AΟΚm si qualis est H A C, & angulus C H A aequalis est C Κ Α, remanet angulus H C A aequalis O A K I eritque H C A , quod simila est F E G, simila quoque O K Aiquapropter Ο Κ A isosceleum , & simila est ipsi
uis, ' igitur conus , cuius vertex est Κ , similis est dato cono F E G ,& quidem continet sectionem A B C, uti di ximus . Similiter quoque, ostendemus , quod eandem sectionem continebit alius conus , cuius ve ' lex est L , si educantur A L , L C. Et alius conus , praeter hos duos, iuxta hanc hypothesia non continebit illama: Alioquin contineat illam , datius conus , cuius vertex sit Q , & triangulum A ' : & ostendetur, ς inadmodum supra dictum est, quod communis sectio plani, per aximas coni ducti, erecti ad planum sectionis A B C , & plani sectionis est A C , & quod punctum verticis illius coni sit in circumserentia sepinenti A H C , & sit ducamus per H Q rectam H R , & iungamus C Q, A Q , & educamus A S parallelam H QR, & QS parallelam AC , erit QAP triangulum illius coni, & est isosceleum, crit quadratum , ad A S in S I', ut C R in R A i quod est aequale ipsi H R in R in ad quadratuiti R nempe H R ad R Qi ergo H R ad R dest, ut A C cad 4 D, quae est , vi H I ad I K i ergo diuidendo permutandoq: H Κmaior ad H QIninorem . eandem proportionem habebit, quam Κ I minor ad I maiorem . & hoc est absurdum. Non ergo reperiri potest tertius conus, continens sectionem B A C. Et hoc erat ostendendum. Note
294쪽
Conicor. Lib. VI. 233Notae in Proposit. XXIX.
a TZ T saciamus super E K triangulum simile triangulo ABC, &c. Ni C. mirum , fiat angulus K E L aequalis an is A , ct angulus L fiat aequalis
Ergo L K , quae est latus trianguli transeuntis per axim E G para Iletu
est EG, &c. Legi debet, τι in texta fidere s . Hoc constat ex ιonstructi ne ; nam duo anguli alterni G E L , , ct L L E quales sunt cirim angulo C.
C Et propterea planum , in quo est sectio D EF producit in cono sectionem parabolicam,&c. oniam planam circuli , cuius diameter E Vperpendiculare es ad planum trianguli LE Kr e tur si ducatur planum N FO aequid stans circulo EU secans planum D E F in recta tinea D G F, erit quoque circulus, ct perpendiculms ad planum tria-guli per axim LEU: sed ex cynfructione planum D EF perpendiculare quoque erat ad idem triam gulum her axim E L K; igitur D F communis sectio eorundem planorum perpendicularis quoque erit ad idem planum L N O, is esciet angulos rectis eum diamuro circuli N O, ct cum E G, quae in eode ano exidunt, ocu isti conueniunt in ρ uncto G suntq; EG, ct L O paralget eripitur ir tib r. anum sectionis D EF producit necessario in cono LN O producto parabolam.
cI Igitur H E ad E I. , quae est aequalis ipsi L Κ eamdem proportionem habet, quam quadratum E ad quadratum Κ L , &c. moniam conus L E Vsimilis es cono recto ABC erit quoque rectus r se propterea duo latera trianguli per axim E L, ct L V aequutia ant inter se, o ideo E K ad K L, atque ad E L eandem Vspertionem habuit , cte. fe Et dico , quod sectio D E F non reperitur in alio cono simili cono AB C , cuius vertex sit ex parte plani sectionis praeter hunc conum , &c.
Idest. Nullus alius conus rectus continebit eandem parabolam DEF, qui sit milis ceno A BC , or vertex E parabole magis , aut minus recedat a verticeroni, quam E L.
s Ergo E M est indirectum ipsi E L . M. Tloia D G lasis sectionis conicae
perpendicularis me delet ad GO, cst ad G E ct ideo ad triangulum per aximviri que coni recti L E U , ct MEI; ct conueniunt plana eorundem triam gulorum in E G axi conicae sectionis geniti ab eis a ergo dicta triangula in e dem plano existunt per rectas E G , o G O Heu ; ct in viroque cono triangulorum per axes tatera L T , ct III parallata sint eidem axι E G paraboles :ergo L Κ , M I paralgeti sunt inter se , es anguli L , o M aquales sunt 'ν-yur militudinem triangulorum per axes in conis sim libus r igitur L E, O ME sunt quoq; parallelae , ct conueniunt m E vertice parabolo 1, ergo m Hrectum unt constratae.
295쪽
ΙTa ut non sit proportio quadrati axis coni, B Q ad quadratum sem, diametri basis illius ut C Q minor proportione figurae semonis , &c.
Rursus datus si conus rectus A B C , cuius axis B I semidiameter circuli ba-F contineat; oportet autem , ut quadratum axis coni B ta ad quadratum semidiametra illius ad A non habeat maiorem proportionem , quam habet axis transuersus H E ad latus rectum EI.
Et producamus L H ad E Ioccurret in K perpendiculari rectae ad punctum E linea H . dcc. Id si due .r recta linea E A in plano circuli H L Eperpendicularis ad II E , seu parativa ias a N coniuncta recta linea H L secabit reliquam aequid antium E M in K.
Quapropter Κ L E simile est A B C , quia a quierus etiam est : si autem ponamus Κ L E triangulum coni, cuius vertex L , & planum trianguli illius erectum ad planum D E F; utique planum, quod est iii sectione producit in cono sectione hyperbolica, cuius axis E G,& inclinatus E H. Sc. Guoniam in duobus triangulis ABC, ct ELU sunt anguli verticales B, ct L aequales inter se, cu externi M R C , ct H L E aequales facti sint: o angulus HL N aequalis sit interna, se opposito Κ, ct angulus N L E aequalis es asterno anguis L E K propter parallelas N L, E K, ct quilibet eora es me tuas externi anguli
H L E; ergo angulus L aequalis erit angulo L E K, ct trianguia LEA erit is celtu, sed triangulum ABC per axim coni recti ductum es quoque se celium I igitur aesta a Iuli H a basim A , o C aequales sunt inter se i erant autem prius verticales an is S, ct L aequalis ; igitur triangula A L C, o E L Κ ae)uiangula, ct similia fori. Ducatur postea recta tinea L P perpend cularis ad basim E A , quae eam secabis bifariam m P , cst aeucatur plaisum per E K perpendiculare ad planum E L K , o in eo diametro E K at circulus , qui sit basis coni , cuius venex L , cst ducarar planum F D a quid ans plano circati E K; e cieturo alias
296쪽
alius tirculus P D a perpendicularis ad manum trianguli per axim L E V; erat autem ex constructione planum hyperboles D E F perpendiculare ad idem planum per axim E L K; igitur duorum planorum communis sectio, quae sit F G D pe pendicularis quoque erit ad planum trianguli L E Ν : ct ideo efficiet angulos FG E , o F G a rectos , o G E H producta histendit angulum externum triam guli conici E L K ; quapropter planum D E F esciet in cono E L A fperbolen,
cuius axis transuersus erit H E.
d Alias eontineat illam alius conus similis cono ABC, sitque vertex eius R in plano L E G , & duo latera trianguli illius sint E R, Τ R; ergo angulus E R T aequalis est E L Κ , & est in circumferentia arcus E L H;
ergo T R si producatur , occurret H : &c. Sensus huius textus corrupti ta tis es: Si enim fieri potes , ut aliquis alius conus, ut E R T , qui similis sit cono ABC, vel E L K , contineat eandem perbolam D E F , o conora mertices R, ct L ad easdem partes tendant, erunt duo plana triangulorum per axes conorum ducta perpendicularia ad planum iectionis D E F; atius E G non essu axis h perbole D E F , Et quia coni supponuntur smiles erum quoque triangula per axes E L Κ, ct E R T similia inter se: ct ideo anguia verticales E ex Def. s. L Κ, ct E RT aequales inter se erunt, atquesubsequentes anguli E L H , ct ERH aequales quoque inter se erunt, o subtendunt commune latus transuersum HE ; igitur duo anguli E L H , ct E R H in eodem circuli segmento consisunt. Textus igitur corrigi debebat υt dictum es.
c Atque T S a qualis est ipsi E, & T S ad S E est , ut T R ad R H, qua
est ut E V ad V N ; ergo E V aeo ualis est V H , &c. In duobus tria tilisis celdis inter se similibus ABC, ct E RT ab aequalibus angulis verticatibus ABC , ct E R T ducuntur rectae lineae B a , R S secantes bases in se S resque quadratum R S ad rectangulum E S T, τι quadratum B αad rectarim Lm A , or sicatur A C bifariam in a d seMenaeum es ET in duas parites aequales in S quoque secari. Si enim hoc verum non es ET in alio puncta
bifariam diuidetur ut in b iungaturque Rh. deroniam a verticibus trianguloru
A B C , O R ET i se siritum ducuntur rectae linea B a , R b diuidentes bases bifariam in b , ergo anguli ad a. o bsunt recZi, o erant anguli A, o E aequales propter similitudinem eorundem trIangu-Iorum igitur triangula A B at, or E R bsimilia sunt, id ars B . ad . A erit ut R badbE, ct quadratu B a ad quadratum d A erit ut quadrata R b ad quadratub E; erat autem quadratum R S ad rectangulum E ST ut quadratum R. tard adratum a A; ergo quadratum R b ad quadratum b E eandem proportionem habet, quam quadratum R S ad recta ulum EST: esque quadratum R bminus quadrato R S eum perpendicularis R b minor his quam RSP quare quadratum ex b E semi se totius E T minus eris rectaneulo ESτ fusegmentis inaequatibus eiusdem E T contento ; quod es absurdum i quare necessario E Tbifariam secatur in S. Postea propter paraLeti RS, ct HE, GT S ad S E ita erit T R ad R H ; ct propter parasietas R V , or E T erit E V ad V Η, ut T R ad RH, T S ad S E : ostensa autem fuit T S aequalis S E ; igitur E
297쪽
V anualis est VH, quod est assuraeum. yatet quadratum L P nempe N E, seu o N in N L ad quadratum E P. fnempe ad quadratum N L , scilicet O N ad N L habere minorem proportionem , quam H E ad E I: ponamus iam O N ad Z X , ut H E ad EI, & per X ducamus X R, & iungamus E R. &c. Sunossa construmone
trioris casus, quando conus rectus E L Κ factus es similis cona ABC quadratum L P ad quadratum E P habebat eandem proportionem, quam O N ad N L, seu quam quadratum B α id γadratum e mari in hac altera suppositione conceditur quadratum B Od quadratum a A habere minorem proportionem, .um E H ad E Ia uisar D N ad N L minorem proportionem habebit, quam H E ad E I; ct fiat O N ad N X τι H E ad E I, erat N X minor quam N L, ct ideo punctum X intra circulum cades, ct per X ducta R X r parallela H mmtique secabis circulum in duobus punctu , τι in R , ct T. Guod vero rem a R X T disci debeat parandia ipsi H E , non quomodocunque, patet ex contextu sequenti, nam debent O X, O R secari in N , o V troportionaliter, quare tem
Ostendetur, quemadmodum dictum est, quod E T R , & A B C sint talsos cella , & similia , &c. .Quoniam arcus circuli E G , ct O H aequales sunt inter se ex constructione, erunt anguli E R O , ct O R H aequales inter se , or rapter parasielas O R , ct E T es angulus ORE AEqualis asterno T E R ; atque externas H R O aequalis es interno , Cr opposito RT E ; igitur duo angulia E T, ct R T, E aequales sunt intres ij se propterea triangulum ERT eritis cetium. Rufus quia duo anguli E L H , E R H in eodem circuli figmenta eo usitati aequales sunt inter se, is erat ex conseructione a ulus M E C aequalis angulo H L E ; igitur a uti H RE, Cr M B C aequales hunt inter se, Gr ideo consequentes anguo verticales E R T, O A B C aequales erunt inter se, es quoque triangulam ABC per axim com recti mosetium igitur duo inan E RT ,σ ASC kmitia sunt inter se. Et quia τι dii Iam es O N ad N X eandem proportionem habet, quam H F ad E I, atque pro Ire parastrias V N, Ut R X est O V ad V R τι O N ad N x, ct sumpta comuni altitudine V R erit
298쪽
rectangulum O V R ad quadrarum V R, τι H E ad E I r es vero rectangulum H V E aequiae rectanguis O V R propterea quodduae rectae lineae o R, H E ses Acant intra circulum in V igitur rectangulum H V E ad quadratum V R eandeproportione habet quam H E ad E I ; cum proportio recta uti H V E ad qua dratum V R 'composita sit ex duabus rationibus, lassus E V ad U R,seu R S ad
S E, propter parallelogrammam V E S R , o ex proportione H V ad V R, qua eadem est proportioni ipsius R S ad S T propterea quod triangula H V R, o R S T similia constituuntur as aquid antibas HV, RS, OVR, ST )quapropter duae proportiones R S ad S E , o R S ad S T componentes proportionem quadrari R S ad rectangulum FST eadim sunt rarionibus , ex quibus componitur proportio rectanguli H V E ad quadratum V R; ct ideo quadratum R S ad rectangulum EST eandem proportionem habebit, quam rectangulum
H V E ad quadratum V R, Ea eandem quam habet II E ad E I; igitur si Latronus , cuius vertex R , o basis circulus diametro E T , cuius planum perpem
diculare sit ad planum trianguli E R T , eris triangulum E RT foscelium per axim praedicti coni extensum , atq; ad ipsum sectionis D EF planum es quoque perpendiculare , se eius axis G E subtendit angulum E R H , qui deinceps es angulo verticis ; igitur planum D E F in cono E R T generat hverbolen , cuius axis incianatus es E H , o erectus E Ir o propterea conus E R T comprehendit hversiam DEF. Rufus s recta R X producatur quo que secet
peripheriam circuis L E ex alura parte in puncto II asque denuo coniungantur rectae IAM ET, O H r, quae extendatur quo que conueniat cum recta linea
ex puncto E parastela ipsi O r in puncto aliquo , quod concipiatur esse d; fleri
poteris alius conus cuius vertex T , basis cretulus diametro A d erectus ad planum trianguli similis cono E R T, siue A B C: Osendetur curi modo Erictum es, quod idem planum H D F esciet in cono T d E ea Em 6perbolen D E F.
Inde demonstrabitur quod E H ad E I necesse est , ut habeat eandem
proportionem , quam O e ad e Z : & hoc est absurdum , &c. quia conus X. E f continet sperbolen D E F nece fario eius axis transuersus E H subtendet angulum H κ E , qui deinceps es angui verticis trianguli per axim ς est pro re similitudine cimo rectorum, sunt triangula per axes A R C, E R T , ct E Z imilia inter se, se anguli verticales B , Z, ct R aequales erunt inter se , ideo consequentes anguli M B C , ct H R E, nee non H κ E aequales erunt imur sie , ct subtenduntur ab eadem recta linea H E ; ergo in eodem circuli si mento consistunt: ct propterea punctum Z in circuli peripheria H A E cad i. Postea τι se propositione 3 3. primi libri, est in hac eadem propositione demonstrauit Apollonius 2 constat quod H A ad EI habet eandem proportionem, qua O c ad e Z ; ct prius O V ad V R erat vi H E ad E I ; ergo O V ad V R 6-dem proportionem habet quam O e ad e X ; sed quia punctum Z non radit ista, R , neque in I alias conus E X f non esses alius a praecedentibus E RT , o ET d ; erga o e ad e Z non habet eandem Iroportioncm, quam O V ad U R, quod os absurdum.
Et demonstrabitur quod O V ad V R sit vi H E ad E I, &c. Repetatur denuo constructio primi casus huius propositionis , ut sat conus rectus L EF uis cono ABC, tunc quidem Padratum L P ad quadratum E P hab
bit e iam proportionem , quam O N ad N L , seu quam quadratum B ad
299쪽
DEinde sit sectio elliptica A B C,& transuersa illius A C.&erectus
A D , & circinducamus super A C in plano erecto ad lectioius,ianum ABC segmentum circuli, quod capiat angulum aequalem an- ulo F : &c. Rursus tonas exhiberi ribet itis cono duo E F G, qui duram basim ABC contineat , sitque axis transuersus esita sis C A , ei que larus
I Κ, quod est aequale ipsi C I in I A, ad quadratum I Aut A C ad A D , & C I in A I ad quadratum I Κ nempe K N ad
N O propter similitudinem duorum triangulorum , & ex A I , nempe NΚ ad I Κ nempe A N ut parallelas constituamus lineas , bus proportionibus componitur proportio quadrati NK ad AN in No. dcc. Sensus halas terius malia corrupti hic es. tauia ex construcrione HI a I K ciat ut C A ad A D , o sumpta communi alumine I Κ, erit
postrema suppositione estnceditur quadratum R ia Dadratum αγ halere nisiorem proportioncm , quam B E ad E I; igitur O N ad N L maiorem proportionem habebit, quam H E ad E I; sed quia e nus E RT ponitur continere sectionem D E F : haluit OUMUR earudem proportionem , quam H E ad E I τι ex 3 3. deduc tur , ct in hac re
N ad N L maiorem proportionem habebit, quam O N ad N X: dam , nam N X minor es, quam N L.
300쪽
dratum I K eandem proportionem halet, quam C A ad A D ; componitur clero proponio rectangul2 CI A ad quadratum IV ex duabus proportionibus laterum C I is I V , or A I ad I K: ct propter para eius N O , I K , atque Γ N , ct C I , o latus commune C O V duo triangula C I V , O K O N milia sunt i igitur K N ad N O es , ut C I ad I K ; O quia in parasita rammo I N IMtera opposita sunt aequalia K N ad N A eandem proportionem habebit quam AI ad I K i quapropter duae rationes K N ad N O , o K N ad N A componori proportionem quadrati K N ad rectangulum A NO, quae eadem es proportioni rectanguli C I A ad quadratum I K ; ct propterea quadrarum K N ad rMDngulum AN O eandem proportionem halebit, quam A G ad A D . Si igiturhat conus , curus et errex K basis circulus diametro A O descriptus , cuius ρί num perpendiculare si ad planum A K C ; atque per rectam A C aequi iam rem ipse L N planum ducatur perpendiculare ad idem planum A X C eener b Iar H Us , cuius axis transuersus erit A C , or latus rectam A D. Textus igitur corrigi debere ex dictis manifestum es.
Et quia angulus H Κ C nempe A O K aequalis est H A C, & angulus C H A aequalis est C Κ A remanet angulus H C A aequalis O A K erit H C A simile F E G simile quoque O K A; ergo , dic. moniam ex comstructione segmentum A H C capax es anguli aequalis an ulo F erit angulus AH C aequalis angulo F: O quia peripheria A H C secta es bifariam in H; ergo subie a latera A H , O H C aequalia sunt: se propterea triangulum A H cfoselium , o simile erit triangulo E F Gipropterea quod anguis verticales quales sunt inter se s sint vero duo avali A H C , ct A K C in eodem circuli segmento; ergo aequales sunt inter se; pariterque duo anguli C A H, in eoiam circuli sinento cor irati , qaalessent inter se