장음표시 사용
301쪽
Ias A O , Γ Η sunt anguli asterni A o x , ct Η Γ o aequales inter se i igitur
angulus A Ο Κ aequalis erit angulo C A H ; ct propterea in Asitis triangulis R A O , ct H C A tertius angulus A C H aequatis erit terris angulo K A O , se propterea triangulum K A O fosicelium , o simile erit triangulo HAC , iue F G E : igitur conus , cuius vertex K M' circulus A O perpendicularis ad planum trianguli A Κ O erit conus rectus , ct similis cono E F G dato. , Alioquin contineat illum conus alius, cuius vertex sit triangu- Glum QI P , & ostendetur quemadmodum dictum est , quod planum transiens per axim illius coni erectum ad planum sectionis ABC sectio communis cum plano sectionis est A C, & quod punctum verticis illiu coni sit in circumferentia segmenti A H C , dcc. via supponitur, quod
conus V P His cono E F G contineat ellipsim ABC, cuius axis transuersus C A, or latus rectum A D ; igitur triangulum per axim coni ductum A P, nedum simile eris triangulo E F G, sed etiam perpendiculare erit ad ρt num Agusis A B C , o propterea con et in plano circularis siementi A H Cpariter erecti ad planum ABC, per idem axim A C extensum , is es angulus A C aequalis ariolo verticali F propter Uitudinem duorum triangulorum , se ex constructione primae partis' huius propositionis , est segmentum AH C capax anguti aequalis antulo F i secaturque bifariam in H ; igitur angulus
A I s aequalis ias F in peripheria figmenti A H C exsit. Ducatur postea S parallela lateri transiuerso HIipsis A C, quae secet ba m trianguli per axima a P productam in S , ct a punera H bipartita diuisionis segmenti A H Cconiungatur recta lima H a producaturq; quo si occurrat rectae linea C A in R.
radisia duo anguli A H C, or A a C in eode circuti segmento consituti aequale sunt tuter se' pariterq; duo a uti C A H , O C ITH meos circuli segmento exsentes sunt aequales, se est angulus A P aequalis angulo P A mn tria mo soscelio ad A P : or angulus P A ad aequalis angulo C A H in triangulis simimus; igitur angulus A P I aequalis est alterno angulo P αΗ; ct propterea
302쪽
O recta linea C P α es communis ; igitur triangula C R ae, CT αμ Ps milia sunt, ct spatium R S parasielogrammum est; eritque ut prius dictum esproportio quadrati QS ad rectangulum A S P eadem proportioni rectangui CR A ad quadratum R es vero quadratum αμ ad rectangulum A S P ,τι et psis axis ira uersus C A ad eius latus rectum A D , propterea quod conus A ra supponitur continere HB M A B C; igitur rectangulum C R A ad quo dratum R mandem proportionem habet, quam C A ad A D; es ver, rectam gulum H R α aequale rectangulo C R A i igitur rectan ulum H R Vota quod tum R I ea H R ad R mandem proportionem habebit , quam C A ad AD ; sed in priori ea facta es H I ad I K in eadem proportione , quam C A ad A D; igitur H R ad R VIandem proportionem habebit quam HI ad I K. Ergo diuidendo HK maior ad minorem KI erit ut minor H ad in iorem QI , &c. Iris quia H R ad R est G H I ad I Κ, ct diuid maea H id α t eandem proportionem hasebit quam H K ad K I, or permutando H . ad H K erit ιι α ad K I quod es absurdum ; quandoquidem in circulo Fubtensa H α a centro remotior minor es , am H R , at exterius comprehensa V maior es , quam K I. αuapropter fieri non potes ,
quis alius conus A ad P praeter iam dictos contineat in ABC, mitis dato cono E F G . Textus ergo eanfusus corrigi aebebat.
Ad propositionem 77. obri quinti egi de
contactibus circulorum , se sectionum conia 'carum, eorumque admirabilis smpromata a nemine adhuc quodsiiam excogitata patefeci, non tamen praedicta disiceptatio omnino pers cta, se absoluta sis: itaque iuxta Dci exigemriam hic anseram coronidis loco eiusdem doctris
Per rectam lineam conivnstentem ever
lices duorum conorum eandem basim lihentium ducere duo plana eorumque
num tangentia: oportet autem rectam neam merices coniungentem extra perapheriam circuli communis basis cadere. Circulus A M t communis basis duo Aconorum , quorum vertices B , ct E , ct c ni unera recta linea B E extra peripheriant circuli A M C cadat : duci d. bent duo plana
tangentia virosique conos per eandem rectam Iineam B E extensa. Et primo rem linea
E B plano circuli A MC aequi et, o ducto quolibet plano per E B circulum sicante in recta linea N O erit i a No parallela E S: tune ducatur diameter A M perpendicularis ad N O , or per A , o M ducantur A D, MV tangentes c rculum M perpendiculares ad
303쪽
idem Hametrum M A; erunt igitur rangentes A D, ct M V Zaralliae eidem N O, erat au
dem Ani plano , utrum' e conum tangem νω- per vertices E , ct B ducatur. ct pis AD basis eirculum tangentem. Eadem ratione M V , ct E B in eodem plano virum fue couum tangente exscnt. Si vero recta E B plano circuli non quid at producta alicubi planum eiusdem circuis suasit extra circulum usum, ιι in T , cr tunc quidem a puncto T extra circulum posito ducantur dua contingentes T Mor I M. Manissum est, rectas onera AT,B E m eodem plano iacere e transit vero prae' dictum planum per vertices A, o E duorum conorum , atque 'r T A tangentem circulum basis communis ; igitur να- A E B vir-que conum contingit. Eodem modo Hanam EB M ex altera parte utrumq; conum tanget. ει hoc erat facundum.
Addit cuius diameter A L non sit axis, per eius merticem A aliam conse
ditionem in eodem plano describer , quae priorem ab findat, atque eadem
recta linea e tramq; sectionem tangat in puncti muti .e earum abscissionis. Sicut in conseructione prop. II. ct i a. adit. factum est, describatur conus B AC compreMMens sectionem H A I, cu ius vertex B basis circulus A M C persectionis terticem A GIIus, ct trasu-gulum per axim B A C e Ociat diame- iram A L : cr in duobus circulis ae Iaώ- distantibus A C M , O in eo , qui Aerse Iis3is basim H I aeacitur ii is msectionis conica designet duas ρarallelas A D, H I, or planum trianguli per aximi cociat circulo ru Hamuros C A, ET eum, qui per L ducitur aruidis inter inter se' ergo sicuti basis Η I perpendiculans est ad circuti diametrum per L ductam, si, ad basim trianguli per axim , ita D a
304쪽
rependienturiis es ad circuci diametrum C A, es propterea A D, planorum
Η A r, o AC M communis sectio, tanget circulum A C, o ideo supersiciemi am conicam , O Fctionem is ea existentem continget; ct diameter A L non erit perpenicularis ad tangentem, seu ordoatim anticatam A D per verticem A , alias A L est axis , quod non pomtur. Deinde is plano D A B ex A dmeatur recta linea A E perpendicularis ad A D supra , vel infra circulum , ct
vertice quoliber puncto Esumpto in recta linea A E, es basi circulo AC M a alter eontis E AC, in cuius superficie plana D A H I designes sectione F A G , ct
in ea triangulum per axim E AC Giciat diametrum A Rr Et quia eadem re
Ga linea D A perpendicularis est ad AC, atque ad A E se secantes in A ; ergo D A perpendicularis es ad planum C EA, atque planum D AC extensam per perpendicularem D A , erit quoque perpendiculare ad planum trianguis per axim C EA, quare triangulum per axim sicut diamet M A X, qua erit axis sic ionis F A G, atque D A serpena talaris eris ad axis A r existentem in plano CE A, ad quod D A es perpendicularis , ct eum ea conuenit: quare D A ordinatim ad axim applicata perverticem A tanget sectionem F A G, qua 3 -' ' prius in eodem puncto A tangebat sectionem H A I in eodem plano exissentem', cst pro erea eadem recta A D utramque sectionem tangit in puncto A. Postea coniungatur recta linea B E , o quia recta lineae B A, A D , A E sunt in eodem plano tangente utrumque conum cum per vertices R., UT E , atque per DA contingentem circulum basis communis ricatur ct E A, O B A an lumconstituunt, cum E A posita sit perpendicularis ad D A . at B A ad eandem sit inclinata , cse existunt in eodem plano : ergo recta B E parallata es , aut δει
contingentem D A extra circulum ut in D. Poterit igitur ex propos. 1 F. additarum duci per rectam B E planum altad B EM U utrumq; eonum contingens,
305쪽
c per rectam B E extens ur aliud planum E N Ο Γ inter duo plana contingentia prope verticem A ubicum; cadens , quod secet utrumque conum, se ei culam basis in recta linea N O , Cr ope cies duorum conorum in lateribus SN E N , Γ O, E O R, quarum B N eccurret Iemsectioni A H in quoluet eius puncto .e prope verticem A, eo quod portis A H, ct peripheria A N C excepto puncto eius A rotae inter duo plana conos sangentia intercipiuntur , o eadem ratione E O occurret semisectioni A G in quesibet eius puncto A vltra verticem A adpartes G . Et quoniam in eodem plano in anguli E N B scilicet plani B N O E secantis vrrumque conum 2 a puncto E ducitur recta linea Eo intra angulum N E B; ergo et herius producta secabit latus B N sub endentem anguIum N E Rinter puncta N , o B, ut in X, ct propterea recta linea N X intra tria-sulum E N O, T Meo intra conum E A C intercepta eris smiliter recta linea OX intra triangulum B NO, ct intra conum B AC interclusa erit: quare quodlibet aliud panctu Valeris conici B N citra, vel ultra interclusa portione D X cadet necesario extra superficiem coni E A C, ct ideo quodlibetpunctum inproductione titeris cani R N sumptumo in semisse sectionis conica H Aprope verticem A cadet extrasemissem sectionis F A , quae in supers-cie coni E A C exsit, or ad eas dempartes vergit. Pari modo quoviliber aliud punctum R lateris conici E O citra , vel virea interclusam portione X O cadet extra superAciem coni B A C, ct ideo quodZUGDnuuR sumptum in medietate sectionis conicae A G prope venicem A cadet extra medietatem sectionis A I, quae
in superficie coni R A C existit, ct ad easdem partes vergit. Igitur δε- etio H A I abscindis consectionem
F A G in Certice communi A, et liambo tanguntur ab eadem recta L,
306쪽
Si fuerint quotcunque conisuper circulum communem basis descripti,habentes latus commune indefinite extensum in triangulis per axes ad bases perpendicularibus, atque per te minum lateris communis duc tur planum fliciens conisecti nes tangentes basim: habebunt illae latera recta aequalia inter
se , eratque sectio fingularis, si
fuerit para te , vel circulus rs me fuerit e ipsis , aut Θ- perbole erunt infinitae .
Sit contis A D C singularis, se A B Cio multiplex, habentes ei culum A C baseos communem , ctiatus A B D productum comm
ne sumptum sis in triangulis per
axes conorum perpendisularibus ad circulum basis B C , atque a te mino a ducatur planu sicans ei cuti A C planum in recta linea,
quae perpendicularis sit ad diam trum C A , quod e iat in cono quidem AR C sectionem AN, cuius latus rectum sit X, o latus transuersum A F r in cono vero A D Cσciat sectionem A M, cuius latus rectum Z , cst diameter communis A E : sitque sectis A Nhyperbole , circulus , aut esti s
rem; Sectio verisingularis A M in cono D A C sit parassis . o duratur B Hparallela diametro semonis A E secans cuculi diametram A C in Π catur C o paraia a D A secans A E in o. Dico latus rectum as,raia T
parabola AM inter se aequales earum; titera recta Z aqualia nuae in tribus ssuras apponetur , ut con o euisetur. moniam is latus remm X ad ιν fuersum A Ficctionis A N , ita est rectangulum a re C ad quadratum B H - D.dc ra
307쪽
ponunt ver. hae duae proportiones rasionem qη-- C A ad rectangulum FA O : ergo τι rectangulum A H C ad quadratum H S . ita est quadratum C A ad rectangulum F A O , o propterea ut X ad A F, ita erit quadratum A C ad rectangulum F AO, sed is F A ad A D ssumptis aequalibus altitudinibus A O , C D 9 ita es rectangulum F A Oad rectangulum AD C; quare ex aquati X ad A D eris ut quadratum A C ad rectangulum AD C; tandem τι Z latus rectum par . tib i. boles A M ad D A ita es quadratum A C ad rectangulum A DC;
Ur X , ct Z ad eandem D Aent eandem proportionem quam quadratum A C ad rectanguis L A D C , ct propterea latera recta
X , ct Z aequalia sunt inter se. Et quoniam in quolibet casu secti
nis conica A N latus rectum X semper aequale est Z lateri recto et nius eiusdemq; paraboles A M tergo latera recta X reliquarum
omnium sectionum aequalia sentister se , licet siectiones ista μι inaequales , o habeant latera tra-suersa inaequalia , i- neque eiusdem speciei sint . a uod erat pro ρ situm. Admiratione dignum praecipue
es in hac propositione, quod ρ-
ctis A N fuerit circulus , unicus tantummodo erit ; nam circuli latus rectum X aequale erit eius diametro, seu axi transuerso A F; emque semper latus rectum eiusdem mosura, ut sensum es ἰ Ui 'r . . circuli diameter F A idem semper erisi se noterea circulus , qui a iaci pianstgenerari potest singularis erit , nimiram illa , qai in unico cono A R C efficis triangula per axim ilia , or siubeo,trajia B A C , ct B F A. Manissum g q; es parabolam A M singulaνem j se, nisis sisnomiis idem circulus basis AC, o in plano per axim com comune latis, A D B semper eosde angulos D A E, o D A C tisicere conceditur igitur ii semis A M sis parabole necesiario recta ἐpuncto C duci debet paralliti diameινι paraboses A E: cum ergo in trianguis' axim D A C detur LO A C invariabilis ista circalas unicus Iunonitur e V que
308쪽
que anguli D , o D A C ; dabitis quoq; eius species smper eadem, immo tria gulum per axim invariabile erat, qui semper eodem modo inclinatur ad circ. tam basis C A r o propterea conus D A Cuemper idem eris, ct eodem modo sectus, et nis sectio paraboles A M eadem semper omnino erit, habens idem latus rectum Z . perbole vero, aut HB ι titera C B possum Dpra , vel infra C D parallelam iasii A E a puncto C dactam, extendi, O sic escientur transuer-s latera A F inaequalia inter se, cumque conι Ariones A N habeant Diera recta X aequalia inter se, titera vero transuersa A F inaequatia , ct 6 rbum ' rum commune latus rectam habentium ilia maior est, cuius axu trafuersus es C ic minor r est duarum et sitim commune latus rectum habentium , illa masor es cuius axis transuersus es maior I igitur esse es , aut fperbole , qua in conis praedicta ore constructis deseribuntur non singulares sed insinuae esse possunt. Vbi notandum ess, quod ellibes s uni esse ea quae ad maiores, aut ad minores axes adiacent. Pari modo constat quod se in conis superius expessis panis ctio'es conica constituentur ad eundem axim quinque sectiones commune latus rectum habentes se se in eodem tertice tangentes , se earum intima erit HIL MOοι
Isis , qua ad axim minorem adiacet, est non erit unica, sed multiplex, ct om- ''nes cadent intra circulam , circulus vero intra est sim ad axim maiorem acco- Conici modatam cadet, haec vero intra parabolen constituetur , o inter circulum , separabolen insinuae eEVses s in eodem puncto verticis tangentes couocari pos
309쪽
ctu tam A R maior pomtur qua A D fumi poterit recta A X minor quidem , quam A R , hed maior quaa D , O centro X interuallo X A ex pr. 1 de strabatur circulus I AS. Patri adiit. ex demonstratissium ius 2 circulumi Is extrinsecus tangere conisectionem Mailrol. R A C; at sectis T V extrinsecus pr- 3 6 9 circulum I S tangit in eodem puncto 'con . Τ verticis A , ergo sectu T V exirim secas tangit consectionem B A C in eadem puncto A. αuod erat osten
PROP. Si in eodem plano circulus F A G secuerit consectionem H A I i , ' pune, A quod non sit mertex axis eius, atque eadem recta linea D Acorum et circulum , ct sectionem in eoim puncto A; Dico quod quaesiuia da S A Z in eodem plano cum issis posita cuius axis sis id in circuli diameter A X habens T semissem lateris recti axis aequale radio circuli F A G : secabit quoque eandem confectionem H A I in eodem puncto ά; atque continget eandem rectam lineam AD in A.
Describantur ut in i 6. additarum huius libri factam es duo coni ABC, Malenus comprehendens sectionem H A.I , cr conas rectus E A C comprehendens circularem subconstanam se Iunem FAG, quorum basis communis sis
310쪽
circulus A M C , ira τι idem planum per vertices conorum B , or E , o perA D contingentem eundem circulum basis extensum tangat utramque conum
in lateribus A B , or A E. Psea si S A Z optatur parabole ducatur In plano A E C ex C recta C N paratula A K axi sectums F A G , si vero S A Zdsideratur sperbole, aut e D snodaca r axis A K is directum extra aut inua sectionem , is in recta linea K A O secreur homo A O aquatis lauri transue se se Donis S AZ, coniungaturque recta linea C O , hecans EA m N es ad axis x A in plano A E C erecto ad circus A M C , exstit overtice Nflat alter conus NC A. Manifestum es in reno recto E A C Eesignari ab e dem plano D A K circulum F A G , at in reno recto N AC estetur aba se aio conica circa communem a m A A , qu ese se mutuo , or eandem rectam Iineam D A tangent, m communi vertice A , atque circuti F A G, o sectio. Prop ΙΠnis genita in cono N A C duo latera recta erunt aequalia , ct trepi ea secti Mis genita in cono N A C semilatus rectum aequale eras radio circuis Theu di--idio erecti sectionis H A I , orsi habueriι latus transuersam erat aquale Ao 1i ergo sectio genita in cono N A C , ct freno S A Z errea communem aximi A fi habent latus rectum cummune dapiam ipsius T, Cr raram commune latus transuersum A O: 'uare sectio genua in eos N AC, o S A Z aquales sunt lim inter se , or congruentes ; quapropter idem planum D A A , quia σοι in cono Scaleno B A C sectionem H A I . designas quoque rn cono recto NAC secti nem S A Z d hasens vero hi dis com eirculum basis commanem , ct irim planum per contingentem A D , or per vertices B , o N ductum utrumque co num tangis ἔ quar is demon rarum es in i 6. Adiat. harus y sectio conica S A Z asserandet aliam sectionem H A I, ct amsa tangentur as eadem recra ea D A in eodem puncto mutuae asscisonis A. a uia erat tropositam.
A circulus T A S constat ex prop. 1 o. additaram libri quinti circulum TA S secare com ctionem B A C in A , eumque circa eundem axim D A p naatur circulus T A S , atque eoni stilo I A X , cuius latens recti semiss ἀ-
qualis es D A radio cireuti T A S , ergo coniseelio I A X abscindit conisectionem B A C in eodem puncto A , in quo secatar a circulo T A S , o tanguntur ab eadem coniingente G A in puncto A. Iduod erat, e .