장음표시 사용
311쪽
2 o Apolloni j Pergari Conicor. Lib. VI.
pi op Section sin conicarum circa axim communem positarum datam comit et r. citonem a cindentium non in eius tertice , quas omnes eadem recta li-o nea contingat , erunt segulares tantummodo parabolae, or circulus, elli
pses et ero , hyperbole erunt infinitae.
Quantam cιrca communem axim DA constitui possent parabola , circulus, P op 17 insinitae hoeisola , ct infinitae elli Ues
habentes semilatas rectam axis aequale
ctionem minimam extrinsecus tangemitum , neque maximam intrinsecus taeentium eandem cenisectionem in puncto A extra verticem axis posito. Nam qualibet conisectio, cuius semur Π R rectum axis minus est breuisereante singularι D A intrinsecus raneis sectionem g A C in A , o si semierectum mavis fuerit eadem D A extransecus eandem Prop. is sectionem fi AC continget, neque unquam cessant praedicti contactus extrim- ii ceci , vel intrinseci quousque simierectum axis escitur aequale breuisecanti DPiopii. A : tunc non ambus contingit, se secat eam in A. Asare patet propos
Niψ . Constat etiam quod parabolarum unica tantummodo , ct cιrculorum unicus etiam abscindit consectionem B A C in A , ct contingit eandem contingentem A G in A. At hyperbolarum, atque Husium abscindentium eandem siectionem E A C in A , quas omnes eadem recta linea A G tangit in A non potest a gnari maxi
ma , neque minima. . . . - . ν ν -
Nam ut dierum est ad 17. Additarum huius libri infinita sperbola se si . contingentes in vertice axis desinunt in parabolam unicam , O post parabolam interius se se succesue contingunt infinita esti es ad axim maiorem adjacentes , qua desinunt in circulum unicam , ac post circulum interius eum contineunt in ita ellipses ad axim minorem adiacentes , quarum omnium semI γ cta latera axium aequalia seni breuisecanii singulara D A datae sectionis B AC. uare patet propositum.
312쪽
I diuidatur inclinatum secundum proportionem figurae, aut addatur uni axium ellipsi S linea , ,earumque differentia, aut aggregatum ad eandem lineam habeat eandem proportionem fi gurae: vocabo homologam inclinati PRAESECTAM. II.
Et homologam erecti INTERCEPTAM. III. Atque punctum , quod est extremum ipsius interceptae , & diametri : vocabo TERMINUM COMMUNEM. IV. Reliquum vero TERMINUM DIVIDENTEM.
Et differentiam, vel summam lateris, & interceptae: vocabo I
VI. Differentiam vero , aut summam lateris , N praesedis: Vocabo PR ESECTAM COMPARATAM : hoc autem latus resertur ad diametrum , quae bifariam diuidit lineam coniungemtem verticem sectionis, & terminum potentis huius lateris rreliquae
313쪽
reliquae vel O lineae reseruntur ad hoc latus. VII. Insuper vocabo duas diametros coniugatas , & aequales in ciliapsi, E aYALES. Et si quidem ad utrasque partes axis sectionis duae diametri educantur , quae ad tua erecta eandem proportionem ha beant , Vtique vocabo eas AE aYALES. VIII. Di ametros vero aequales ad utrasque partes duarum axium ellipsis cadentes , voco Homologas illius axis r suntque homo togae diametri in ellipsi transuersa ad traniuersam , Sc recta ad rectam.
interius in huerbola dividatur , aut exterius in eui , sicundum proportionem Aurae, figmentum homologum axis transuersi vocabo Praesectum , vis fuerit 'perbole , vel enusis AB, cuius axis transuersus A C , centrum D, ratus rectis A F , ct in perbola sererer C A inter vertices A, o C; in elli vero secetur exterius in puncto G, ita ut stimma, vel disserentia i arum G A, cr axis C A , ides C G aae G A habeat proportionem Dura scilicet eandem a , quam habet latus transuersum C A ad latas rectum A F; tunc quidem vocatur
recta tinea C G Praesecta. II. Atque G A vocaIur Intercepta . III. Punctum vero A extremum interceptae G A, es diametri C Avocabitur terminus communis duarum linearum,scilices axis C A, o addita 3 vel ablatae A G. IV. Punctum vero G, in quo axis A C interius, vel exterius diuiditur secundum proportionem Aura vocatur terminus Huidens ι Si mero secetur C H aequalis A G vocabitur et, C H intercepta , ct A H praesect , atque C terminus communis , or Hierminus diuidens.
V. Si diameter I L secuerit bifariam subtensam AR a sectionis ver .rice A eductum, atque a termino β . ac bii
314쪽
Eucatuν R E perpendicularis ad axim eum secam in E , -- quidem axis si mentum C E ab opposito vertice C dactum , vocat interpres Larus. Postea summam in prima elu ,-disserentiam in reliquis figuris Luris C E, ct intemcepta H C , nimirum V m lineam H E , vocat Interceptam comparatam. VI. Et Liens C E, espraesecta G C disserentia in tribus miorιμι euris, Osumma in figura quarta, idest G E , vocatur Praefecta comparara. VII. Ducantur an eltabi ABC dua Ha rari coniugata I L , O N O , qua inter sesint aquais1 Uet transuersa I L ad eius titus rectum eandem proportionem habeat, quam eius emisgata N O ad suum latus rectam ι tunc quidemoras parater Hamuros coniugatas I L, N O AEquales.
Continens Proposit. I. V. & XXIII. Apollonij.
PROPOSITIO LSI in parabola A B a termino
axis A D educatur recta lineae. A B subtendens segmentum lectionis AB, & ab eius termino ducatur BD ad axim perpendicularis ; utique illa chorda poterit eius abscissam DA in aggregatum abscissis, & erecti.
Fiat A F aequalis erecto k E. Quia quadratum AB est aequale quadrato DAMm cum
315쪽
eum quadrato D B , quod est aequale ipsi A D in A F i igitur est aequale ipsi F D in D A. Quod erat ostendendum.
parabola ABC cuiuscumque diametri B F erectus B H excedit axis A D erectum A E quadruplo abcillae A D potentis
a termino illius diametri adaxim ductae 13.& diametri C G, re- amotio iis ab axe, erectus C I maior est erecto B H diametri propinquioris B F quadruplo differentiae axis abscissarum potentium a terminis diametrorum ad axim ductorum.
Educamus A L, B Κ tangentes in A , B , & B N perpendicularem adii. lib. 1. B Κ , erit KD in D N aequale quadrato D B , quod est aequale ipsi A Ein A D ; ergo Κ D ad D A eandem proportionem habet, quam A E ad . . D N r estque D Κ dupla ipsius A I 37. ex r. 2 igitur A E est dupla in ipsius D N; quare A E cum duplo D Κ, nempe cum quadruplo A Dest Daequalis duplo Κ N, nempe B H eo quod N Κ ad B Κ tangentem ean- ... dem proportionem habet, quam assumpta M B ad B L coniugatam s . 'φ''' ' i. 2 propter similitudinem duorum triangulorum 2 ἱ ergo B H aequalis est quadruplo A D cum A E i quare erectus diametri B F excedit A E quadruplo A D . & A O maior est , quam A D ; ergo erectus diametri cC G remotioris maior est , quam erectus B F proximioris quadruplo Do differentiae abscissarum. Et hoc erat inendendum.
316쪽
A F ; igitur rectangulum F D A aequale es . rectangulo D A E una cum quadrato D A Ised quadratum ordinatim ad axim araticata II. lib. . R D quale es rectangulo D A E sub abscissa se laure recto contento ἔ uisur rectangulum F D A quale es duobus quadratis B D, est D A r estque quadratum A T sub endenistis rectum angulum D aequale Aobus quari iis B D , or D A . igitur quadratum sustens A B quale es rectangulo A D E sub asscissa D A, o sub D F , quae aquatis es e, dem assci se eum latere recto.
Notae in Proposit. V. & XXIII.
ΕΤ diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior est erecto B Hdiametri propinquioris B F , &c. Videtur Me a 3. propositio deficiens ,
cum omnino inuerisimile sit Apollonium non animaduertisse rem adeo facilem :quod nimirum diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior sit erecto Res diametri B F proximioris quadruplo disserentiae axis abscissarum potentium a terminis diametrorum ad axim duc oram.
Quare A E cum duplo Κ D , nempe cum quadruplo A D est aequalis duplo Κ N , nempe dimidio B H, &c. moniam B H latus rectum diame- 9. lib. I. νι B F ad duplum contingentis BKes τι MR ad BL ,sed propter aequi- distantes , se similitudinem triangulorum L B M , est K N E it M R ad BL , ita es duplum N K ad Antim R R; ergo latus rectum B H quale es Empti V sed prius offensam es quod D A qualis est medietati lassus D K, ct 33 D N aequalis medietati Vssus A E i igitur duplum K N aequale es duplo Κ D, seu quadruplo A D eum duplo D N , seu eum A E. Et A o maior est , quam A Di ergo erectus diametri C G remotioris maior est quam erectus B F proximioris , &c. Addidi in hac conclusione merba hae quadruplo D O di retia abscisarum qua videntur deficere. M
ni sum enim est, quod C I latus rectum diametri C G ab axe remotioris su perat latu rectum S H diametri F B axi propinquioris Dadruplo D O H rentia abscissarum axis as ordinatis a merticibus eatadem diametrorum ductim, nam 8 H aquatis ostens es E. A una cum quadruplo A ID , eademque ratione C I aquatis es eidem axis lateri recto E A cum quadruplo A O ; ergo excessC I supra B H erit aqualis quadruplo disserentia D O.
317쪽
Continens Proposit. II. III. IV. VI.
SI in sectione A B a termino comuni Amriuslibet interceptae aeducatur linea recta A B usq; ad sectionem, atque ab eius termino B ad axim A E ducatur perpendicularis B E; erit quadratum A B ad rectangulum contentum a rectis lineis inter perpendicularis incidentiam , de terminos interceptae , nempe A Ein G E habebit eandem proportionem , quim habet inclinatus, siue transuersus A C ad presectam C G
318쪽
, A F ad A C , & ut A G ad G C i ergo H E ad E C est ut A G ad GD C ; & componendo in hyperbolis . de diuidendo in ellipsibus , deindGcomparando homologorum differentias in duabus figuris prioribus, &summas homologorum in reliquis, fiet A H ad G E , ut C A ad C G ;. ergo A H in A E ; nempe quadratum A B ad G E in A E est ut C R- inclinatus, sue transuersis ad C G praesectant. Quod fuerat proposi
I hyperbolen , aut ellipsin A B tangat recta linea I M in I,& occurrat axi A C in M; utique ipsius I M quadratum ad quadratum semidiametri ND coniugatae ipsi I L habebit eadem proportionem , quam axis contenta M S ad eius inuersam
Edueantur AfM R perpendiculares ad axis usque ad I L, ponatu que linea P , quae ad I M eandem proportionem habeat, quam Κ I ad QI, seu eandem , quam habet M I ad I R; Ergo P est semissis erecti s lib. i. diametri I L sa. ex i. I atque D N dimidium coniugatae diametri NOpoterit P in I D , atque I M poterit Ρ in I R & ideo I R ad ID, nempe M S contenta ad S D inuersam eandem proportionem habet, qua quadratum tangentis I M ad quadratum N D semissis contusatae ipsius IL. Et hoc erat propositum.
319쪽
SI in hyperbole , aut ellipsi addantur axi transuerso , vel a ferantur ab inclinato duae interceptae A G , C H ab eius
terminis A, C, atque a vertice sectionis A educatur recta linea
A B ad terminum alicuius potentialis B E , S per centrum Dducatur diametri coniugatae I L, N Ο, ita ut rectus N O aequi- distet ipsi lineae A B : utique proportio figurae inclinatae, vel
transuersae coniugatarum , quae est eadem proportioni quadrati I L ad quadratum No, erit quoque eadem , quam habent lineae inter incidentiam illius ordinatim applicatae ad axim,&tem minos diuidentes duarum interceptarii, scilicet vi H E ad E G.
Educamus I M tangentem , & I S perpendicularem. Et quia A Destaequalis D C, & A K aequalis Κ B eo quod I L cum sit coniugata N Obifariam diuidit AB P erit C B parallela ipsi I D , & propterea M S ad S D , nempe A E ad E C propter similitudinem triangulorum est ut quadratum I M ad quadratum N D ex 7. & quadratum I D ad qua- oratum I M est ut quadratum C B ad quadratum B A spropter similitudinem triangulorum 2 ; ergo proportio quadrati I D ad quadratum N Dest composita ex ratione A E ad E C,& ex ratione quadrati C B ad quadratum B A ; sed proportio quadrati C B ad quadratum B A est composita ex ratione quadrati C B ad C E in E H , & ex ratione C E in E Had A E in E G , & ex ratione A E in E G ad quadratum A B ; est vero
quadratum C B ad C E in E H , ut C A ad A H 3. ex . atque A E in E G ad quadratum A B est ut G C ad C A a. in 7. 2 , & proportio CE in E Had AE HEG, componitur ex ratione C E ad A E, & ex
320쪽
H E ad E G , igitur proportio quadrati ID ad quadratum N D coinposita est ex proportione C A ad AH,&ex GCad CA, atque m C Ead EA,&AE ad EC, de tandem ex H E ad E G ; sed C A ad AH,& G C ad C A componunt proportionem C A ad ei aequalem A C : similiter C E ad E A,& A E ad E C est ut E C ad se ipsam: quare si harproportiones auscrantur, remanebit E H ad E G , ut quadratum I D ad quadratum N D : nempe erit eadem ac proportio figurae diametri I L. Quod erat ostendendum.
SI in sectione A B a termino communi A interceptae, &c. Addidi pa iacuiam utriuslibet intere M opropositio e cratur uniuersalis comprabem